НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ Рыскин Н.М. Саратовский госуниверситет Факультет нелинейных процессов Модуляционная неустойчивость 2 æ¶ A ö w¢¢¶ 2A 2 ¶ A ÷ 0 ÷ i çç +V + + b A A = 0 ÷ 2 çè ¶ t ¶x ÷ ø 2 ¶x Þ 2 w0¢¢ 2 k - b A0 2 i (Kx - Wt ) a( x , t ) = a + e + a- e v gK ) æw¢¢K 2 ö 2 ÷ ç 0 ÷ ¢ ¢ ç = ç - bw0 A 0 K 2 ÷ ÷ ÷ çè 2 ø vg (w, A0 ) = V + w0¢¢k (w, A0 ) A ((xx,,tt))== (AA00 exp + a[(ix(,kx t ))-exp wt )éêëi](kx - wt )ù ú û w = kV + (W- 2 нелинейное дисперсионное соотношение ( - i K *x - W*t ) K 02 = 4b A 0 2 K m2 = K 02 2 l m = b A0 2 w0¢¢ Переход к хаосу при МН магнитостатических волн в пленках ЖИГ • Дудко Г.М., Казаков Г.Т., Кожевников А.В., Филимонов Ю.А. // Письма в ЖТФ 13, 736 (1987). • Дудко Г.М., Филимонов Ю.А. // Письма в ЖТФ 15(2), 55 (1989). • Дудко Г.М., Славин А.В. // ЖТФ 31 (6), 114 (1989). • Демидов В.Е., Ковшиков Н.Г. // Письма в ЖЭТФ 66, 243 (1997). Переход к хаосу при МН магнитостатических волн в пленках ЖИГ удвоения периода разрушение квазипериодичности Два типа неустойчивости lim u (x , t ) = ¥ t® ¥ Абсолютная неустойчивость lim u (x , t ) = 0 t® ¥ Конвективная неустойчивость Л.Д. Ландау (1954), P. Sturrock (1958) МН — абсолютная или конвективная? +¥ a (x , t ) = òa - ¥ k exp éëi (Kx - W(K )t )ù ûdK 2p f (K )t a (K s )e s i W¢¢(K s )t Вычислим интеграл методом перевала: a (x , t ) ; f (K ) = i Kx t - W(K ) , K s - точка перевала, d W(K s ) dK = 0 ( ) Нормированные переменные: w = W l m , z = K K m Характеристическое уравнение: dw = 0 Þ dz ( ) w = az + i z 2 2 - z 2 , a= vg A0 2 w0¢¢b a 2 m a a 2 - 16 zs = ± 1 + - точки перевала 8 > 0 Þ a 2 > 16 Критерий абсолютной Re éêëf (K s )ùúû x t= 0 неустойчивости: или b A0 2 2 2 ö 1væ gV ÷ ç > ç + w÷ ÷ ÷ çè2 ¢ ¢ ¢ ¢ 83w w ø 0 0 МН — абсолютная или конвективная? Дисперсионная характеристика для нелинейного уравнения Шредингера в случае конвективной (1) и абсолютной (2) МН. Заштрихован диапазон волновых чисел, в котором имеет место неустойчивость Нелинейный эффект перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной Конвективная МН Абсолютная МН Переход к хаосу С ростом амплитуды входного сигнала происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения Нелинейное уравнение Клейна–Гордона w2 = c 2k 2 + wc2 ( A 2 ) 2 2ö ¶ 2A 2 ¶ A 2æ ÷ ç c + w A A= 0 ÷ c ç 2 2 è ø ¶t ¶x wc2 = w02 (1 - m A 2 ) w02 w = 2 1+ mA 2 c Без ограничения общности можно положить w0 = c = m = 1 Нелинейное уравнение Клейна–Гордона A 0 = 0.3 С ростом амплитуды вначале происходит переход от конвективной неустойчивости к абсолютной. Затем из-за уменьшения дисперсии происходит обратный переход к конвективной неустойчивости. A 0 = 2.0 A 0 = 3.0 Нелинейное уравнение Клейна–Гордона 2 1 — область непропускания; 2 — область автомодуляции (абсолютная МН); 3 — область стационарного распространения сигнала (конвективная МН) K0 > k Þ mA > w2 - w02 2 æ 2ö w > wc çç A ÷ Þ m A > è ÷ ø w2 w02 - w2 w2 Нелинейное туннелирование Newell A.C. // J. Math. Phys. 19, 1126 (1978). • Квазилинейное туннелирование • Солитонное туннелирование • Туннелирование с потерями Нелинейное туннелирование а A0 0.75 A0 1.15 A0 1.1 A0 1.2 Зависимости амплитуды сигнала от времени в точке L=20 при w p/4 и различных значениях амплитуды входного сигнала Нелинейное туннелирование A0 0.75 A0 1.2 Картины пространственно-временной динамики Нелинейная динамика МН в периодической брэгговской структуре 2 w2 = n 0k + k2 nl n 1,2 = n 01,02 + n 1,2 I æ¶ A ¶ A+ ö 2 ÷ i çç + + + n A + n A + 2 A÷ 0 k nl + ÷ çè ¶ t ø ¶x æ¶ A ¶ A- ö 2 ÷ i çç - + n A + n A + 2 A+ ÷ 0k + nl è ¶t ø ¶x ÷ ( 2 ( 2 )A + = 0, - = 0. )A n 1nl + n 2nl n nl = , 2 n - n 02 n 0k = 01 . p Численное моделирование методом FDTD Параметры структуры: толщина одного слоя 0.5 мкм, число слоев 100, период структуры 1 мкм, поперечный размер слоев 1 мкм, линейная часть показателей преломления слоев n1=1.45, n2=2.0. ПВ – подводящий волновод Дисперсионные характеристики структуры для различных значений амплитуды входного сигнала: 1 – A=1.0, 2 – A=3.0, 3 – A=3.5 Численное моделирование методом FDTD Ain = 6.0 Ain = 6.7 Ain = 7.0 Численное моделирование методом FDTD Ain = 10.0 Ain = 15.0 Численное моделирование методом FDTD Ain = 6.0 Ain = 10.0 Ain = 7.0 Мгновенные распределения z-компоненты поля вдоль оси системы