ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
В.В.ВИТЯЗЕВ
СПбГУ
СОДЕРЖАНИЕ








История вейвлетов
Сфера применения вейвлетов
Непрерывное вейвлет-преобразование
Вейвлет-спектры
Вейвлет анализ движения полюса
Вейвлет-анализ кривой блеска 3С273
Вейвлет-анализ чисел Вольфа
Вейвлеты на плоскости и на сфере
История вейвлетов
 Фурье, 1807
 Хаар, 1909
 Jean Morlet, Alex Grossmann, 1984
 Ingrid Daubechies,1992
…
Вейвлеты. Вейвлет-преобразования сигналов
•
• Введение в вейвлет-преобразование. Роби Поликар. > rar, 630 kb.
• Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. Астафьева Н., 1996.
> zip/pdf 590 kb, <> djvu, 670 kb.
• Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет-преобразования.
> Жак Леваль. djvu, 135 kb. <> zip/pdf 330 kb
• Введение в вейвлет-преобразование. Перевод Грибунина В. > zip/pdf 620 kb
• Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. Новиков Л. > Подробнее
• Десять лекций по вейвлетам. Добеши И., 2001. > djvu 2.7 Mb, <> djvu 2.7 Mb.
• Теория и практика вейвлет-преобразования. Воробьев В., Грибунин В. 2002.
> link, djvu , <> tif1, 2.4 Mb, > tif2, 3.4 Mb, > Прил., pdf 800 kb, <> djvu, 1.2 Mb.
• Вейвлеты и их использование. Дремин И. и др. 2001. > zip/pdf 840 kb, <> djvu, 600 kb.
• Теория и применение вейвлетов. Илюшин, 2001. > zip/doc 260 kb.
• Вейвлет-анализ и его приложения, 2003. > htm 12 kb
• Стационарное вейвлетное преобразование. Алексеев К., 2002. > Сайт, > zip/htm 2270 kb
• О систематизации вейвлет-преобразований. Переберин А., 2001. > pdf 370 kb
• Вейвлеты, аппроксимация и приложения, 2001. > Сайт, > zip/htm 2150 kb
• Введение в теорию базисов всплесков. Петухов А., 1999. > zip/pdf 750 kb
• Основы теории всплесков. Новиков И., 1999. > zip/pdf 470kb
• Разработка численных методов и программ вейвлет-анализа данных. Шитов А., 2001. > exe/pdf 3 Mb
• Блок целочисленных фильтров для Wavelet Toolbox. Алексеев К. > pdf 673 kb
• Статьи из журналов по вейвлетам. > zip/pdf 600 kb
• А.Яковлев. > Основы вейвлет-преобразования сигналов
• Н.Смоленцев. > Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB
• C. Уэлстид. > Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений
• Вейвлеты в компьютерной графике. Теория и приложения
• Дьяконов В. > Вейвлеты: от теории к практике
• Чуи К. > Введение в вейвлеты
Применение вейвлетов
 Анализ временных рядов
 Анализ изображений
 Сжатие больших массивов информации
 (алгоритмах по идентификации отпечатков пальцев, используемых
ФБР, преобразования *.bmp и *.tiff файлов в *.jpg файлы)
 Задачи фильтрации и чистки многомерных
сигналов
 Задачи численного анализа
WHAT WHY AND HOW
of WAVELETS
 The wavelet transform is a tool that cuts
up data or functions or operators into
different frequency components, and then
studies each component with a resolution
matched to its scale".
 Ingrid Daubechies,

"Ten lectures on wavelets", 1992.
 Вейвлет - анализ называют микроскопом,
поскольку он позволяет исследовать
каждый масштаб с необходимой и
достаточной для него разрешающей
способностью. Как образно сказано, можно
увидеть и лес, и деревья.
Бальтазар ван дер Аст
(1593-1657)
Анри Матисс (1869-1954)
Wavelets had... no definition in
the glossary.
Thus I provide my own crude
one:
wavelet transforms are a lot like
Fourier transforms,
but you get more choices.
Virginia Trimble, 1997
Преобразования Фурье
f ( ) 


f (t )ei 2 t dt


f (t ) 

f ( ) ei 2 t d

f (t )  A cos(2 0t )
f ( )  A  (v  0 )   (v  0 ) 
Ограничения преобразования Фурье
GT ( , b) 




1
T

f (t ) e
( t b ) 2
2
ei 2 t dt
Вейвлет-преобразование
f (t )  L ( R)
2
a , b  R, a  0


 t b 
f (t ) * 
 dt
 a 
a - масштаб
b - сдвиг
1
W ( a, b) 
a

Обратное преобразование
 
 t  b  1 dadb
W
(
a
,
b
)



2

a
a
a


 
f (t )  C1 

C 
2
1
   d  

Частотно-временная локализация
e  i 2 t
 t b 
*

 a 
b
Происхождение слова wavelet
 Morlet,Grossmann: ondelette (фр.)
 Английский вариант: wavelet
 Русский вариант: всплеск
ВОЛНЫ и ВСПЛЕСКИ
MHAT-вейвлет
2
d
 (t )  2 e
dt

t2
2
 (1  t )e
2

t2
2
 ( )  2  e
2

2
2
Вейвлет Морле
 (t )  e

t2
 2 i 2 t
e
 ( )    e
 2 (2  )2

4
Вейвлет-спектры
Аналог равенства Парсеваля



1
f (t ) dt  C
2
 

W ( a, b)
2
 
da db
a2
Локальный спектр (скалограмма)
E ( a, b)  W ( a, b)
2
Глобальный спектр (скейлограмма)

Ew (a) 
 W ( a, b)

2
db
Визуализация вейвлет-спектров
ВЕЙВЛЕТ-ПОРТРЕТЫ
Синусоида
СИНУСОИДА с ПЕРЕМЕННЫМ
ПЕРИОДОМ
ВЕЙВЛЕТ-ПОРТРЕТЫ
Дискретный белый шум
АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ БЛЕСКА КВАЗАРА 3С273
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ЧИСЕЛ ВОЛЬФА
Скалограмма чисел Вольфа
ДВИЖЕНИЕ ПОЛЮСА
в 1840 – 2007 гг. (IERS , C01)
Фурье-спектры x- и y- координат полюса
Вейвлет-спектры x- и y- координат полюса
Вейвлеты на плоскости
ПОИСК СКОПЛЕНИЙ ПО КАТАЛОГУ TYCHO-2
ВЕЙВЛЕТЫ НА СФЕРЕ
ВЕЙВЛЕТЫ НА СФЕРЕ
http://lanl.arxiv.org/abs/0708.3874v1 29 August 2007