Свойства многочленов. О многочленах учащиеся впервые

Свойства многочленов.
О многочленах учащиеся впервые
получают представление в 7 классе.
Знакомятся с определением, выясняют, что
называют коэффициентами и степенью,
учатся выполнять простейшие действия с
многочленами.
Остаются
слабо
изученными несколько вопросов: деление
многочлена на многочлен, возведение
многочлена в степень, корни многочлена, разложение на множители
многочленов. Профильное изучение математики в 11 классе позволяет
расширить знания и представления о многочленах. Учащиеся знакомятся с
теоремой Безу и схемой Горнера, учатся делить многочлены и решать
уравнения с несколькими переменными.
Контрольная работа № 1 «Многочлены».
Вариант 3 (2ч).
№1. Найдите остаток от деления многочлена f ( x)  13x 3  67 x 2  3x  4 на
многочлен p( x)  x 2  5x  1 .
Решение: можно выполнить деление многочленов «в столбик», а можно
решить вопрос при помощи системы уравнений, введя неопределённые
коэффициенты.
13х3 + 67х2 – 3х + 4 х2 + 5х + 1
13х3 + 65х2 + 13х
13х + 2
2
2х - 16х + 4
2х2 + 10х + 2
-26х + 2
Итак, мы получили, что f(x)=p(x)∙(13x+2)+(-26x+2), таким образом,
многочлен r(x)=-26x+2 и есть искомый остаток.
Ответ: -26х+2 – искомый остаток.
№2. Дан многочлен
f x, y   7 xy 2  xy 2 (3) x 3  11yxy  17  7 x 2  2 y 2  2 x 2 y 2 x 2  2 x  y x  y  .
а) Приведите данный многочлен к стандартному виду.
б) Установите, является ли данный многочлен однородным.
в) Если данный многочлен является однородным, определите его
степень.
Решение: а) приведём многочлен к стандартному виду: для этого раскроем
все скобки и приведём подобные слагаемые:
f(x,y) = 7ху2 - 3х4у2 - 11ху2 + 17 - 7х2 + 2у2 - 2х4у2 - 2х2 + 2ху – ху + у2 = -7х4у24ху2 - 9х2 + ху + 3у2 + 17. Итак, стандартный вид многочлена (в порядке
убывания степеней переменных) имеет вид f(x,y)=-7х4у2-4ху2-9х2+ху+3у2+17.
Ответ:
f(x,y)=-7х4у2-4ху2-9х2+ху+3у2+17.
Многочлен
не
является
однородным, но его степень определить можно, она равна 6 (степень
старшего одночлена).
№3. Разложите многочлен на множители: а) 4 y 2  y  3  3  y 2 ;
б) 8a 3  36a 2 b  54ab 2  27b 3 .
Решение: а) 4у2∙(у-3)+(3-у)2=(у-3)∙(4у2+у-3)=(у-3)∙(у+1)∙(4у-3);
б) 8a3-36a2b+54ab2-27b3=(2a)3-3∙(2a)2∙3b+3∙(2a)∙(3b)2-(3b)3=(2a-3b)3.
Ответ: a) (у-3)∙(у+1)∙(4у-3); б) (2a-3b)3.
№4. Решите уравнение: а) y 3  2 y 2  3 y  10  0 ; б) xx  1x  2x  3  3 .
Решение: а) уравнение приведённое, проверим, есть ли у него целые корни.
По теореме Безу, корни являются делителями свободного коэффициента, т.е.
10: ±1; ±2; ±5; ±10. Проверив у=-2, получим верное числовое равенство:
-8-8+6+10=0, таким образом, мы знаем один из корней, а, следовательно, и
линейный множитель при разложении на множители многочлена третьей
степени: у3-2у2-3у+10=(у+2)∙(у2-4у+5). Значит, нам нужно решить квадратное
уравнение у2-4у+5=0, но у этого уравнения действительных корней нет, так
как его дискриминант отрицательный. Таким образом, -2 – единственный
корень нашего уравнения.
б) преобразуем уравнение к виду: (х2+3х)∙(х2+3х+2)-3=0 или (х2+3х+11)∙(х2+3х+1+1)-3=0, откуда (х2+3х+1)2-1-3=0 или (х2+3х+1)2=4. Решение
последнего уравнения сводится к решению совокупности двух квадратных
 х 2  3 х  1  2,  х 2  3 х  1  0,
3  13
х

.

2
2
2
х

3
х

1


2;
х

3
х

3

0;


уравнений: 
Ответ: а) -2; б)
3  13
.
2
2 y 2  xy  3
№5. Решите систему уравнений  2
 y  4 yx  3 x 2  6.
Решение: умножим первое уравнение системы на 2 и вычтем из него
почленно второе уравнение, получим: 3у2-6ху+3х2=0. Откуда х-у=0 или х=у,
но при этом условии первое уравнение системы принимает вид: х 2=3. Таким
образом, система уравнений имеет два решения: ( 3; 3) и ( 3;  3) .
Ответ: ( 3; 3) и ( 3;  3) .
№6. При каких значениях параметра a многочлен
f ( x)  x 2  2a  1x  2a x 2  a  2x  2a x  1 имеет кратные корни?
Найдите эти корни.
Решение: используя теорему Виета многочлен f(x) можно разложить на пять
линейных множителей: f(x)=(х+1)∙(х+2а)∙(х-2)∙(х-а)∙(х-1). Следовательно,
корнями многочлена f(x) будут числа: -1; -2а; 2; а; 1. Для того, чтобы
многочлен f(x) имел кратные корни нужно выполнение одного из равенств
для полученных корней:
1) а=-1; 2) а=2; 3) а=1; 4) -2а=-1 при а=0,5; 5) -2а=2 при а=-1; 6) -2а=1 при а=0,5; 7) -2а=а при а=0.
Ответ: заданный многочлен будет иметь кратные корни при а=0; а=±0,5;
а=±1; а=2.
При а=0, х=0 – корень кратности 2;
при а=1, х=1 – корень кратности 2;
при а=2, х=2 – корень кратности 2;
при а=0,5, х=-1 – корень кратности 2;
при а=-0,5, х=1 – корень кратности 2;
при а=-1, х=-1 – корень кратности 2 и х=2 – корень кратности 2.