ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Нет науки, более дост ойной наших размышлений Лаплас

Играет не только человек,
играет вся природа
И.Гете
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Нет науки, более дост ойной наших размышлений
Лаплас
АВТОР: Смирнова Н.В., учитель математики, информатики
© МОУ Гимназия № 8 2008- 2009год
• Насколько достоверна
информация метеостанции?
• Ждет ли успех азартного игрока?
• Когда лучше идти на экзамен,
если выучены не все билеты?
«Решение задач - практическое искусство, подобное плаванию,
катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно
только подражая образцам и постоянно практикуясь»
Д.Пойа
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
• «Неразрывно связана с нашей повседневной
деятельностью»
У.Уивер
• «Здравый смысл, сведенный к
исчислению»
Лаплас
• «Наука, изучающая закономерности
массовых случайных явлений»
В.Афанасьев
• «Вероятностные закономерности впервые
были обнаружены в азартных играх»
М.Суворова
Блез Паскаль (Французский физик,
математик, философ. 1623 – 1662)
Пьер Ферма
(французский математик, 1601-1665)
в частной переписке решали задачу, с
которой обратился к Блезу Паскалю
придворный французского короля
шевалье де Мере (1607 – 1648), сам
азартный игрок.
• Сколько раз надо бросить две игральные
кости, чтобы случаев выпадения пары
шестерок было больше, чем случаев не
выпадения пары шестерок?
• Как справедливо разделить
поставленные на кон деньги, если игроки
прекратили игру преждевременно?
ЗАДАЧА ДЕ МЕРЕ:
как справедливо разделить поставленные на кон
деньги, если игроки прекратили игру
преждевременно?
Лука Пачоли (итальянский математик) в 1494 предложил делить
ставку пропорционально набранным очкам или
партиям;
Джироламо Кардано предлагал делить ставку с учетом
количества партий
Никколо Тарталья предлагал, что отклонение от
половины ставки должно быть
пропорциональноразности выигранных партий
Блез Паскаль рассматривал разные ситуации частных
задач, и на основе изучения свойств таблицы
биноминальных коэффициентов
Пьер Ферма составил таблицу возможных исходов
Никколо Тарталья
(итальянский математик, 1499-1557)
Провел подсчет различных
комбинаций при игре в кости и
установил, что целесообразно
делать ставку на выпадение 7 очков
при бросании 2 костей;
Джироламо Кардано
(итальянский философ и врач, 1501-1576)
«Книга об игре в кости» (1526,
опубликована в 1663г.). Рассмтривал
многие задачи, связанные с бросанием 2 и
3 игральных костей. Предположил, что
азартные игры были изобретены
Галамедом во время десятилетней осады
Трои;
Галилео Галилей
(1564-1642)
«О выходе очков при игре в кости».
Привел исчерпывающее решение
задачи о числе возможных исходов
при одновременном бросании 3
игральных костей.
Основатель современной теории
вероятностей А.Н. Колмогоров
«Вероятность математическая- числовая
характеристика степени возможности
появления какого-либо определенного
события в тех или иных определенных,
могущих повторяться неограниченное
число раз условиях»
А.Н. Колмогоров
Исторически первым определением понятия
вероятности является то определение, которое в
настоящее время принято называть классическим
классической вероятностью события А
называется отношение числа благоприятных
исходов (обязательно наступивших) к общему числу
несовместных единственно возможных и
равновозможных исходов.
Р(А) = m/n
m – число исходов, благоприятных для события А;
n- общее число несовместных единственно
возможных и равновозможных исходов.
ВЕРОЯТНОСТЬ ИЗМЕРЯЕТСЯ ЧИСЛОМ!
РЕШЕНИЕ ПЬЕРА ФЕРМА:
Пусть до выигрыша всей встречи игроку А
недостает 2 партий, а игроку Б 3 партий.
Как справедливо разделить ставку, если
игра прервана?
•
•
•
Игра может быть продолжена максимум еще 4 партии
Число способов, которыми игра могла бы закончиться, не может быть
одинаково вероятно
Возможные способы окончания серии игр с победой игрока А:
–
–
–
–
Победил, проиграл, победил, без разницы
Проиграл, победил, проиграл, победил
Победил, победил, без разницы, без разницы
Проиграл, проиграл и т.д.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
а
а
а
а
а
а
а
а
б
б
б
б
б
б
б
б
а
а
а
а
б
б
б
б
а
а
а
а
б
б
б
б
а
а
б
б
а
а
б
б
а
а
б
б
а
а
б
б
а
б
а
б
а
б
а
б
а
б
а
б
а
б
а
б
ЗАДАЧА ГЮЙГЕНСА: трое игроков (А,В,С) по очереди
извлекают по одному шару из урны, содержащей 5 белых
и 3 черных шара. Побеждает тот, кто первым извлечет
белый шар. Каким по счету выгоднее тянуть шар?
А
5/8
3/8
В
5/7
2/7
С
5/6
А
5/5
1/6
• Р(А) = 5/8 + 3/8*2/7*1/6*5/5 = 36/56
• Р (В) = 3/8*5/7 = 15/56
• Р (C) = 3/8*2/7*5/6 = 5/56
Таким образом, если у игроков есть выбор, то
выгоднее стоять первым, т.к. шансов на победу
больше! НО 100% ГАРАНТИИ НЕТ!
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предмет теории
вероятностей
математические модели
случайных явлений
Под случайным явлением понимают
явление, предсказать исход которого
невозможно
(при неоднократном воспроизведении одного и того
же опыта оно протекает каждый раз
несколько по-иному)
Примеры
случайных явлений
• выпадение герба при подбрасывании
монеты
• выигрыш по купленному лотерейному
билету
• результат измерения какой-либо
величины, длительность работы
телевизора
СОБЫТИЕ
СОБЫТИЕ - явление, которое
происходит в результате
осуществления какого-либо
определенного комплекса
условий.
ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик.
Определим события:
А {выпадение шестерки};
В {выпало число очков, кратное 2};
С {выпало более 3 очков}.
Эксперимент
(опыт)
заключается в наблюдении за
объектами или явлениями в
строго определенных
условиях и измерении
значений заранее
определенных признаков
этих объектов (явлений)
ПРИМЕРЫ
•
•
•
•
•
•
сдача экзамена
выстрел из винтовки
бросание игрального кубика
химический эксперимент
Подбрасывание монеты
Прогноз погоды
СОБЫТИЯ
НЕСОВМЕСТНЫЕ
ПОЯВЛЕНИЕ ОДНОГО СОБЫТИЯ В
ЕДИНИЧНОМ ИСПЫТАНИЕ
ИСКЛЮЧАЕТ ПОЯВЛЕНИЕ ДРУГОГО
ЕДИНСТВЕННО
ВОЗМОЖНОЕ
ПРИ РАССМОТРЕНИИ ГРУППЫ
СОБЫТИЙ МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ
ТОЛЬКО ОДНО ИЗ НИХ
РАВНОВОЗМОЖНЫЕ
СОБЫТИЯ ИМЕЮТ РАВНЫЕ
ВОЗМОЖНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ
НАЙДИ ПАРУ
РАВНОВОЗМОЖНЫЕ
СДАЧА ЭКЗАМЕНА (ЗАЧЕТ-НЕЗАЧЕТ)
ЕДИНСТВЕННО
ВОЗМОЖНОЕ
ВЫПАДЕНИЕ ОДНОЙ ИЗ ГРАНЕЙ
КУБИКА
НЕСОВМЕСТНЫЕ
Дата рождения человека
Типы событий
СОБЫТИЯ
СЛУЧАЙНЫЕ
ДОСТОВЕРНЫЕ
событие, которое может
произойти или не
произойти в результате
некоторого испытания
событие, которое
обязательно произойдет в
результате данного
испытания
0<Р(А)< 1
Р (А) = 1
НЕВОЗМОЖНЫЕ
событие, которое не
может произойти в
результате
данного испытания
Р (А) = 0
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
Случайным событием называется
любой исход опыта, который может
произойти или не произойти.
События обозначаются, как правило,
заглавными буквами латинского
алфавита: А, В, С, ... .
примеры случайных
экспериментов
Опыт 1
Подбрасывание монеты
Испытание
подбрасывание монеты;
События
монета упала «орлом» или «решкой»
«решка» - лицевая
сторона монеты (аверс)
«орел» - обратная
сторона монеты (реверс)
Опыт 2
Подбрасывание кубика
Испытание
События
подбрасывание кубика
выпало 1,2,3,4,5 или 6
очков (и другие)
Опыт 3
Выбор перчат ок
В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток.
Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки
Испытание
События
Не глядя достать две перчатки
Обе перчатки на левую руку,
обе на правую или правая-левая
Опыт 4
«Завт ра днем – ясная погода»
Испытание
наступление дня
События Например, ясная погода
Распредели события по их типам
СЛУЧАЙНЫЕ
ДОСТОВЕРНЫЕ
НЕВОЗМОЖНЫЕ
1. После зимы наступает весна.
2. После ночи приходит утро.
3. Камень падает вниз.
4. Вода становится теплее при нагревании
5. Выиграть приз в спортлото
6. Бутерброд падает маслом вниз
7. В школе отменили занятия.
8. Поэт пользуется велосипедом
9. В доме живет кошка.
10. З0 февраля день рождения у моего друга
11. При подбрасывании кубика выпадает 7 очков.
12. Человек рождается старым и становится с каждым днем моложе.
Дайте характеристику событиям
достоверные, невозможные или случайные
Некто задумал натуральное число.
Событие состоит в следующем:
а)
задумано четное число;
б) задумано нечетное число;
в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным;
г) задумано число, являющееся четным или нечетным.
Дайте характеристику событиям
достоверные, невозможные или случайные
В мешках лежит 10 шаров:
3 синих, 3 белых и 4 красных
а) из мешка вынули 4 шара и они все синие;
б) из мешка вынули 4 шара и они все красные;
в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались
разного цвета;
г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось
шара черного цвета
РЕБУС
«исход»
ИСХОД
ИСХОДОМ (элементарным
событием) называется один из
взаимоисключающих друг
друга вариантов, которым
может завершиться случайный
эксперимент
Определить число возможных исходов в
каждом из рассмотренных выше опытах
Опыт 1
2 исхода: «орел», «решка»
Опыт 2
6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Опыт 3
3 исхода: «обе перчатки на левую
руку», «обе перчатки на правую
руку», «перчатки на разные руки».
ИСХОДЫ
ОДНОЗНАЧНЫЕ
Предполагают
единственный
результат того или
иного события:
смена дня и ночи,
времени года
НЕОДНОЗНАЧНЫЕ
Предполагают
несколько различных
результатов того или
иного события: выигрыш
в Спортлото; результаты
спортивных игр
Запишите множество исходов для
следующих испытаний
а) В урне четыре шара с номерами два, три, пять,
восемь. Из урны наугад извлекают один шар.
б) В копилке лежат три монеты достоинством в
1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. Из копилки
достают одну монету.
в) В доме девять этажей. Лифт находится на
первом этаже. Кто-то из жильцов дома вызывает
лифт на свой этаж. Лифтовый диспетчер
наблюдает, на каком этаже лифт остановится.
В каждом из следующих опытов найдите
количество возможных исходов:
а) подбрасывание двух монет;
б) подбрасывание двух кнопок;
в) подбрасывание двух кубиков;
г) подбрасывание монеты и кубика;
д) подбрасывание монеты, кнопки и кубика.
ГИПОТЕЗА
Если теория вероятностей появилась
благодаря появлению и развитию
азартных игр, то должен быть вклад
ученых в развитие теории азартных игр
ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС
За что игроманы должны благодарить
науку?
Домашнее задание
№1.
Приведите по 3 примера достоверных, невозможных и случайных событий.
№2.
Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и
какое случайное:
а)понедельник не наступит;
б) я сдам экзамен на 5;
в) 1 сентября начнется учебный год.
№3.
Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Укажите, какое из следующих
событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное. Событие состоит
в следующем:
а) их дни рождения не совпадают;
б) их дни рождения совпадают;
в) Петя родился 29 февраля, а Толя – 30 февраля;
г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День
независимости России (12 июня);
д) дни рождения в этом году.
№4.
Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми.
Сколько возможных исходов у этого опыта? Какие?