7.мелехова 8б о квадратных ур-ниях

Творческая работа
по теме:
«Нестандартные приемы
решения квадратных
уравнений»
Выполнила ученица
8Б класса
МБОУ « Лицей №1»
Мелехова Софья.
О квадратных уравнениях
Из геометрического метода нахождения
квадратных корней вытекает
любопытнейший способ решения
квадратных уравнений. Рассмотрим его
на нескольких примерах.
Пусть надо решить
уравнение:
х2+10х+9=0,
уравнение имеет вид
x²+px+q=0,
D=100-36=64,
D>0-уравнение имеет 2 р.д.
корня.
Выполним следующее
построение:
В
Е
D
С
А
Сначала по катету ВС=√q=√9=3 и гипотенузе
AB=p/2=10/2=5 построим прямоугольный
треугольник АВС. Заметим сразу, что
AC=√(р/2)²-q=√5²-3²=4. А теперь радиусом,
равным р/2=5, проведем окружность с центром в
точке А.
Она пересечет продолжение катета АС в двух
точках, которые обозначим D и E . Заметим, что
отрезок DC составлен из АС =√(р/2)²-р=4 и
АD=p/2=5,т.е.DC=9=|х ₁| . Отрезок СЕ=1=|x₂| есть
разность отрезков AE= p/2=5 и АС=√(p/2)²-q=4
т.е. отрезок СЕ=1= | х₂| . Так получилось, потому
что отрезок ВС есть корень квадратный из
произведения отрезков |x₁| и |x₂|.(по теореме о
пропорциональных отрезках в прямоугольном
треугольнике).
Получился такой порядок. Сначала, имея
уравнение x²+px+q=0, построим отрезки p/2 и √q
Это всегда можно сделать. Начнем строить
прямоугольный треугольник по двум отрезкамгипотенузе и катету. Сначала отложим катет,
равный √q. Это тоже всегда получится. Возьмем
теперь раствор циркуля, равный p/2, ножку
циркуля поместим в точку В и проведем дугу
окружности, чтобы получить точку А.
А вот это получится далеко не всегда!
Если катет √q больше гипотенузы p/2, то
треугольника не построить. Иначе можно сказать,
что если √q> p/2, то p²/4 –q дискриминант
квадратного уравнения отрицателен ,и такое
уравнение решений не имеет.
p может быть меньше 0, а q должно быть
только положительным числом, а все остальное
делается одинаково и для p>0, и для p<0.
Надо только знать, какие знаки приписать числам,
выражающим длины отрезков СЕ и DС. х₁=-9 х₂=-1
В случае, когда перед q стоит знак минус(мы не
будем считать q отрицательным числом, а просто
будем говорить, что вычитается положительное
число) , построение производится иначе, и здесь
старый рисунок уже не поможет.
Итак, пусть дано уравнение:
х2+8х-9=0,
D=16+9=25 , D>0, уравнение имеет 2р.д.к..
Выполним следующее
построение:
С
Е
В
D
А
Построим прямоугольный треугольник АВС
С катетами ВС=√q=3 АС= p/2=4. Его гипотенуза АВ
по теореме Пифагора √(p/2)²+q =5. Заметим сразу,
что такое построение возможно всегда, тут нет
каких-либо исключений. А теперь радиусом p/2=4
проведем окружность с центром в точке А.
Она пересечет гипотенузу и ее продолжение в
точках D и Е. Нетрудно убедиться, что DB=|х₁|, а
ВЕ=|x₂|.
Знак модуля поставлен для этого, чтобы можно
было рассматривать эту задачу и для p<0,
знаки корней надо находить по теореме Виета.
DB=АВ-АD=5-4=1;
ВЕ= DB + АD+АЕ=1+4+4=9;
х₁+ x₂= -p ; х₁* x₂= q – по теореме Виета.
х₁+ x₂ = -8,
х₁=1,
х₁* x₂= -9,
x₂=-9.
Решим это уравнение по формуле корней:
х2+8х-9=0;
а=1 R=4 c=-9;
D= R²- ac;
D=42 + 1*9=16+9=25;
D>0, ур-ние имеет 2р.д.к.;
х = -R √D ;
а
х₁=-4 – √25, х₂=-4 + √25,
1
1
х₁=-9,
х₂=1.
Конечно, решать уравнения по формуле
проще, чем выполнять эти замысловатые
построения. Но интересно отметить сейчас
важный факт: квадратные уравнения могут
быть решены геометрическим путем.
Иногда в науке важно установить саму
возможность решения задачи заданными
средствами, а уж надо будет решать
именно этими средствами или не надодругое дело.