Парабола
реклама
Почти все названия геометрических фигур греческого происхождения, как и само слово геометрия, происходящее от греческого слова геометрия — землемерие. Однако: эти слова вошли в русский язык не непосредственно с греческого, а через латинский язык. «Конус» — это латинская форма греческого слова «конос», означающего сосновую шишку. Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус — конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса). Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём). Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом. «Цилиндр» происходит от латинского слова «цилиндрус» , являющегося латинской формой греческого слова «кюлиндрос» , означающего «валик» , «каток» . Цилиндр (греч. kylindros, валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз. Бесконечное тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называется бесконечным цилиндром, ограниченное замкнутым цилиндрическим лучом и его основанием, называется открытым цилиндром. Основание и образующие цилиндрического луча называют соответственно основанием и образующими открытого цилиндра. Конечное тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя выделившими её сечениями, называется конечным цилиндром, или собственно цилиндром. Сечения называются основаниями цилиндра. По определению конечной цилиндрической поверхности, основания цилиндра равны. Очевидно, образующие боковой поверхности цилиндра — равные по длине (называемой высотой цилиндра) отрезки, лежащие на параллельных прямых, а концами лежащие на основаниях цилиндра. К математическим курьёзам относят определение любой конечной трёхмерной поверхности без самопересечений как цилиндра нулевой высоты (данную поверхность считают одновременно обоими основаниями конечного цилиндра). «Призма» — латинская форма греческого слова «присма» — опиленная (имелось в виду опиленное бревно). Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Виды призм Призмы бывают прямые и наклонные. Прямая призма — призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту. Наклонная призма — призма, у которой хотя бы одно боковое ребро не перпендикулярно основанию. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро. Правильная призма — прямая призма, основание которой является правильным многоугольником. Свойства правильной призмы 1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. 2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. 3. Боковые ребра правильной призмы равны. Сумма всех сторон многоугольника — периметр — означает «измерение вокруг» (греческое «пери» — вокруг, около). «Сфера» — латинская форма греческого слова «сфайра» — мяч. Сфера (греч. - шар) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Формулы нахождения площади поверхности сферы S = 4?r2 S = ?d2 «Пирамида» — латинская форма греческого слова «пюрамис» , которым греки называли египетские пирамиды; это слово происходит от древнеегипетского слова «пурама» , которым эти пирамиды называли сами египтяне. Современные египтяне называют пирамиды словом «ахрам» , которое также происходит от этого древнеегипетского слова. Пирамида (др.-греч., род. п.) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса. Элементы пирамиды вершина пирамиды — точка, не лежащая в плоскости основания; боковые грани — все грани, кроме основания; боковая поверхность — объединение боковых граней; полная поверхность — объединение основания и боковой поверхности; боковые ребра — общие стороны боковых граней; высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра); диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания; апофема — высота боковой грани правильной пирамиды. «Трапеция» происходит от латинского слова «трапезиум» — латинской формы греческого слова «трапезион» — столик. От этого же корня происходит наше слово «трапеза» , означающее по-гречески стол. Трапеция (от др.-греч. — «столик») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого произвольная пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. Элементы трапеции: Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции. Виды трапеций: Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной) Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. Греческое слово «гипо» означало «под, внизу, снизу», а «тейнейн» — натягивать (например, тетиву лука). Из этих двух слов образовался термин «гипотенуза» — сторон» прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, как бы «натянутая» между катетами. Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы (то есть квадрат её длины) равен сумме квадратов катетов (то есть длин двух других сторон прямоугольного треугольника). Например, если длина одного из катетов равна 3 м (квадрат его длины равен 9 м), а длина другого — 4 м (квадрат его длины равен 16 м?), то сумма их квадратов равна 25 м?. Длина гипотенузы в этом случае равна квадратному корню из 25 м?, то есть 5 м. Слово «гипотенуза», возможно, происходит от древнегреческого (hypoteinousa), сочетания слов «hypo-» («под») и teinein («протянуть»). Возможно также, что в оригинале это слово в древнегреческом языке обозначало подпорку или что-то подобное, происходя от сочетания слов «hypo-» («под») и tenuse («сторона»). Парабола — от греческого «пара» — рядом — и «баллейн» — бросать (от второго из них происходит и слово баллистика). От первого из этих корней в сочетании с «аллелос» (идущий) произошел термин параллельность; если добавить «грамма» — черта, линия по-гречески — получится слово «параллелограмм». Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом. Свойства: Парабола — кривая второго порядка. Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе. Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы y2 = x фокус находится в точке (0,25; 0). Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе. Парабола является антиподерой прямой. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб. При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид. Построение параболы: Параболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси параболы. Связь с реальным миром Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (нейтронной звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер). Множество траекторий полёта в однородном гравитационном поле без сопротивления воздуха какого либо объекта (мяча, артиллерийского снаряда) соответствует параболе. При вращении тонкого прямоугольного сосуда с жидкостью вокруг его горизонтального центра поверхность жидкости в сосуде принимает форму параболы. Свойство параболы о фокусировании параллельного пучка прямых используется в конструкции прожекторов, фонарей, фар, а так же телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях. Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов. А квадрат — от латинского «кваттуор» (четыре) — всего-навсего фигура с четырьмя сторонами... Слово же «эллипс» происходит от... недостатка, изъяна («эллейпсис» по-гречески) — это деформированный круг, утративший свойственное кругу совершенство формы. Эллипс (др.-греч. — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна, то есть | F1M | + | F2M | = 2a. Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость. Свойства Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X). Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы. Эволютой эллипса является астроида. Эллипс также можно описать как фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование ортогональную проекцию окружности на плоскость. Пересечение плоскости и кругового цилиндра «Линия» происходит от латинского слова «линеа» — льняная (имеется в виду льняная нить). Элементарная геометрия В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и также трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы. Кривой Жордана называется образ непрерывного инъективного отображения окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой или простой дугой. Следует отметить что кривая Жордана является довольно сложным объектом, например возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега. Существует большой соблазн определить кривую как образ непрерывного отображения отрезка в пространство. Однако возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат, например, кривая Пеано. Более того, согласно теореме Мазуркевича, компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка. Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений. В аналитической геометрии кривая на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0. При этом на функцию F накладываются ограничения, которые гарантируют, что это уравнение имеет бесконечное множество несовпадающих решений и это множество решений не заполняет «куска плоскости». Алгебраические кривые Важный класс кривых составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением F(x,y) = 0, называется алгебраической. . Алгебраические кривые, задаваемые уравнением 1-й степени, суть прямые. Уравнение 2-й степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет квадрики, то есть вырожденные и невырожденные конические сечения. Примеры кривых, задаваемых уравнениями 3-ей степени: циссоида Диокла, Декартов лист. Примеры кривых 4-ой степени: лемниската Бернулли и овал Кассини. Пример кривой, определяемой уравнением чётной степени: (многофокусная) лемниската. Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в алгебраической геометрии. При этом бо?льшую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на комплексной проективной плоскости. В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида F(z1,z2,z3) = 0, где F — однородный многочлен трех переменных, являющихся проективными координатами точек. Типы кривых: Плоская кривая — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости, Простая дуга, Путь — непрерывное отображение отрезка [0,1] в топологическое пространство. . Трансцендентная кривая, Типы точек на кривой, Точка излома, Точка перегиба плоской кривой, Обобщённые кривые Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы: Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотноВажный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая L, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество L', гомеоморфное L. Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой. Впоследствии это определение было обобщено Урысоном: Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство C топологической размерности 1. Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой Слово «горизонталь» происходит от греческого «горизонт» — разграничивающий, так как горизонт как бы отделяет небо от земли. Вертикальная линия — линия, направление которой как бы совпадает с направлением отвеса; она перпендикулярна горизонтали. Слово «перпендикуляр» происходит от латинских «пэндере» — висеть — и «пэр» — сверх, верх, — т.е. «перпендикуляр» переводится как «висящий сверху», или «отвесный». Горизонталь — прямая в начертательной геометрии, параллельная горизонтальной плоскости проекции в аксонометрическом или ортогональном чертеже, проецируется на горизонтальную плоскость в истинную величину. «Пункт» происходит от латинского слова «пунктум» — укол. Непосредственно из латинского языка мы заимствовали слово «пункт» , употребляющееся иногда в значении «точка» (отсюда «пунктир» ) и линия.. Слово же «корень» (квадратный, или корень уравнения) пришло в математику от арабов. Арабские ученые представляли себе квадрат числа вырастающим из корня — как растение, — и потому называли корнями такие числа. «Ромб» происходит от латинского слова «ромбус» — латинской формы греческого слова «ромбос» , означающего бубен. Мы привыкли к тому, что бубен имеет круглую форму, но раньше бубны имели форму квадрата или ромба, о чем свидетельствуют изображения «бубен» на игральных картах. Ромб (греч. ρομβος) — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом. Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского В математике, спираль — это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой. Тела, имеющие форму спирали Раковина у брюхоногих Цитоскелет эукариот Спираль в балансе механических часов Спиральная заводная пружина в механических часах и в заводных игрушках, спиральная пружина в стрелочных индикаторах магнитофонов, радиоприёмников, в измерительных головках магнитоэлектрических головок амперметров, вольтметров, омметров, тестеров и др. Циклон, Антициклон Спиральные галактики Коллаген - Фибриллярный белок с правозакрученной спиралью Таким образом, названия геометрических фигур первоначально были названием конкретных предметов, имеющих форму, более или менее близкую к форме данной фигуры Литература Бронштейн И., Парабола, Квант, № 4, 1975. Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982 г. Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр. А. А. Акопян, А. В. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка. Москва, Издательство МЦНМО, 2007 год. Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии НИЦ РХД, Институт компьютерных исследований, Инст-т компьют. исслед., Ин-т комп.исслед., ИКИ, , ISBN 593972-300-4, 2004 Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия», 1988 г.
