Построение сечений многогранников

ТРУДНЫЕ ТЕМЫ В ГЕОМЕТРИИ 10 КЛАССА
Письменская Людмила Андреевна
Заслуженный учитель Кубани
учитель математики МОУ СОШ № 58
станицы Варениковской Крымского района
Краснодарского края
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ.
Эта тема считается трудной. Если работать на обычной
доске, много времени уходит на построение
рисунков, условие задачи не всегда позволяет четко
изобразить сечение. На интерактивной доске с
помощью программы «Живая математика» эти
проблемы уходят сами собой. Она не только
позволяет дать яркое изображение рисунка, но и
при необходимости может повернуть его в нужном
ракурсе. Кроме того, можно осуществить пошаговое
построение, при необходимости вернуться к
предыдущим рисункам.
 Урок рассчитан на средний класс.
УРОК № 20
ТЕМА УРОКА:ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ.
ЦЕЛИ:
Развивающие..
 Развить у учащихся пространственное мышление.
1.
2. Обучающие
 Научить учащихся строить рисунки с помощью программы «Живая математика»
 Выработать навыки построения сечений параллелепипеда и тетраэдра.
3. Воспитательные
 Применять построенные рисунки к решению расчетных задач.
 Применять построенные рисунки к решению практических задач
Оборудование:


Интерактивная доска
Персональные компьютеры у учащихся
ПЛАН






1. Организационный момент – 1 минута
2. Проверка домашнего задания – 3 минуты
3. Изучение нового материала – 13 минут (теоретические положения 3 мин,
практические построения 10 минут)
4. Закрепление нового материала - 21 минута ( работа у доски 8 минут,
индивидуальная работа за персональными компьютерами 8 минут,
самостоятельная работа 5 минут)
5. Домашнее задание – 2 минуты
6. Итог урока – 3 минуты/
8 мин
3 мин
1 мин
3 мин
13 мин
21 мин
8 мин
10 мин
5 мин
3 мин
2 мин
ХОД УРОКА




1. Организационный момент.
Оргмомент. Учитель: В данный момент перед
страной стоит непростая задача: превратиться
из мирового поставщика сырья в мощную
индустриальную державу. Для развития
индустрии самой необходимой
специальностью является специальность…
Ученики: инженера.
Учитель: верно. Сегодня мы прикоснемся к
очень важной составляющей инженерного
дела – инженерной графике. Именно
инженерам приходится сталкиваться с
сечением различных геометрических тел
плоскостями. Итак, тема урока «Сечение
многогранников»








2. Проверка домашнего задания.
Учитель на доске помещает заранее
подготовленные вопросы из учебника:
1. Существует ли параллелепипед, у которого
А) только одна грань прямоугольник.
Б) только две смежные грани – ромбы.
В) все углы граней острые.
Г) Все углы граней прямые.
Д) Число всех острых углов граней не равно
числу всех тупых углов граней?
Ученики:

А). Нет, так как у параллелограмма
противоположные грани равны.

Б) Нет, так как у параллелограмма
противоположные грани равны.

В) Нет, таких параллелограммов не существует.

Г) Да, прямоугольный параллелепипед.

Д)Нет, в каждой грани два острых и два тупых
угла, либо все прямые.
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
1. Теоретическая часть.
Учитель:
Любой многогранник можно рассечь плоскостью. С
этой задачей сталкиваются не только в
геометрии. Инженерная графика предполагает
построение сечений различных тел.
Определение. Секущей плоскостью многогранника
называется плоскость, по обе стороны от которой
имеются точки данного многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранника
по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого
являются эти отрезки, называется сечением
многогранника.
Возьмем параллелепипед.
Что вы можете сказать о противоположных гранях
параллелепипеда?
Ученик: противоположные
грани параллелепипеда
параллельны.
ХОД УРОКА
M
1. На ребрах параллелепипеда ,
выходящих из одной вершины,
даны три точки K,L,M. Построить
сечение параллелепипеда
плоскостью KLM.
D'
C'
A'
B'
L
K
D
C
A
B
M
D'
C'
A'
Решение.
Шаг 1. Строим KL
Шаг 2. Строим КМ
Шаг 3. Строим ML
Треугольник KLM –
искомое сечение.
B'
L
K
D
A
C
B
.
На параллельных ребрах параллелепипеда
даны три точки K, L, M.
ЗАДАЧА
Построить сечение параллелепипеда
плоскостью KLM.
Построение
D'
C'
A'
B'
KK'
MM'
ML
D'
C'
A'
B'
M
A
L
C
L
A
B
B'
B'
A'
L
A
B
Шаг 3
C
A'
D'
A
L
B'
D
C
A
B
M
L
C
B
Шаг 4
Шаг 5
C'
M'
M
M' C'
B'
M' C'
M
Шаг 1
K'
D'
K'
K
D
D
Шаг 2
M' C'
K
C
B
A'
D'
K'
M
K
D
D
K'
C'
M
K
K
A'
KL
D'
B'
D'
M
K'
A'
K
Рисунок можно повернуть
D
A
L
B
Рисунок можно повернуть.
C
K
L
C
B
D
A
ВОПРОСЫ К ЗАДАЧАМ.
Учитель: Параллелепипед имеет шесть Ученик: Его сечениями могут быть
граней. Какими многоугольниками
только треугольники,
могут быть сечения
четырехугольники, пятиугольники
параллелепипеда?
и шестиугольники.
Учитель: У тетраэдра четыре грани.
Ученик: Так как тетраэдр имеет
Какими многоугольниками могут
четыре грани, то его сечением
быть сечения тетраэдра?
являются только треугольники и
четырехугольники.
Учитель:
Для построения сечения достаточно
построить точки пересечения
секущей плоскости с ребрами
многогранника, после чего
остается провести отрезки,
соединяющие каждые две
построенные точки, лежащие в
одной и той же грани.
УЧАЩИМСЯ ПРЕДЛАГАЕТСЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА
НА ПЕРСОНАЛЬНЫХ КОМПЬЮТЕРАХ.
Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC.
Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей
через точку M параллельно основанию ABC.
Шаг 2
PQ
AB и проходит через точку М
QR
D
Шаг 1
D
BC
D
R
P
M
M
Q
P
C
Q
A
M
C
C
A
B
A
D
D
B
R
M
Q
C
B
C
M
C
A
B
B
Шаг 3
можно рисунок развернуть.
P
Q
A
P
A
R
P
Q
R
M
B
D
Шаг 4
Постройте сечение тетраэдра SABC, проходящее через середины ребер АВ и
ВС параллельно ребру SB. Докажите, что оно пересекает грани SAB и SBC по
параллельным прямым.
Учащиеся выполняют работу на компьютерах самостоятельно, затем
решение выводится на доску и обсуждается.
ЗАДАЧА
S
Построение
Шаг 2.
Шаг 1.
S
S
L
L|
KK|||SB
|| SB
L'
C
L'
L
B
K'
C
K
A
C
L
B
L
K
A
S
B
K
A
S
L'
L'
K'
K'
C
C
L
B
L
K
Шаг 3.
A
B
Доказательство
SB по построению
•KK/||SB по построению
•LK – средняя линия треугольника АВС, LK ||AC
•L|K| ||AC по той же причине.
• Следовательно, сечение – параллелограмм,
•отсюда следует, что LL||| KK/
•LL|||
K
Шаг 4.
A
На ребрах АВ, BD,CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N,P.
Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. Рассмотреть все
возможные случаи.
ЗАДАЧА.
Построение
Дано
Шаг 4
Шаг 1
D
1. Пусть NP

AC
Шаг 3
D
D
D
P
P
N
N
P
P
N
N
B
B
M
M
C
B
M
B
M
A
C
A
C
A
Шаг 6
A
D
Шаг 2
Шаг 5
D
D
P
N
P
P
B
N
M
N
B
M
D
A
C
B
M
C
A
P
N
A
A
C
M
Можно повернуть
B
C
C
ЗАДАЧА
НА РЕБРАХ АВ, BD,CD ТЕТРАЭДРА ABCDОТМЕЧЕНЫ ТОЧКИ M,N,P. ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА ПЛОСКОСТЬЮ
MNP. РАССМОТРЕТЬ ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ СЛУЧАИ.
УЧАЩИМСЯ ПРЕДЛАГАЕТСЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО РАССМОТРЕТЬ СЛУЧАЙ, КОГДА NP || AC

Учащиеся повторяют шаг 1 и шаг 2 из
предыдущего построения. Затем следуют
условию задачи.
D
D
D
N
N
N
P
P
P
A
C
M
A
C
A
C
M
Q
M
Q
Q
B
B
B
Шаг 5
D
Шаг 4
Шаг 3
D
N
P
P
N
A
C
M
Q
A
Q
C
B
M
B
Повернутый рисунок
Шаг 6
ЗАДАЧА.(КАРТОЧКА ДЛЯ СИЛЬНОГО УЧЕНИКА.)
В ПРАВИЛЬНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЕ ДАНА СТОРОНА ОСНОВАНИЯ А, УГОЛ НАКЛОНА
БОКОВОГО РЕБРА К ПЛОСКОСТИ ОСНОВАНИЯ. ЧЕРЕЗ ЦЕНТР ОСНОВАНИЯ ПРОВЕДЕНО СЕЧЕНИЕ ПИРАМИДЫ
ПЛОСКОСТЬЮ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДВУМ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ РЕБРАМ. ОПРЕДЕЛИТЬ ПЛОЩАДЬ СЕЧЕНИЯ.
S
F
O2
P
B
E
A
O
O1
D
C
КАРТОЧКА ДЛЯ СРЕДНЕГО УЧЕНИКА.
ЗАДАЧА. ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ КУБА ПЛОСКОСТЬЮ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ
СЕРЕДИНЫ ДВУХ СМЕЖНЫХ РЕБЕР КУБА И НАИБОЛЕЕ УДАЛЕННУЮ ОТ
СОЕДИНЯЮЩЕЙ ИХ ПРЯМОЙ ВЕРШИНУ КУБА. ПОСТРОЕНИЕ ОБЪЯСНИТЬ.
Решение.
Пусть K и L – середины ребер D1C1 и C1B1 куба
ABCDA1B1C1D1. Наиболее удаленной от KL
вершиной является A. Плоскость сечения
пересекается с плоскостью A1B1C1D1 по прямой
KL. Продолжим KL. До пересечения с прямыми
A1D1и A1B1 в точках E и F. Точка Е принадлежит
плоскости ADD1A1. В этой же плоскости
расположена еще одна точка сечения – точка А.
Следовательно, плоскость сечения пересекается с
плоскостью ADD1A1 по прямой АЕ. Обозначим
через N точку пересечения этой прямой с ребром
DD1. В плоскости грани DCC1D1 имеем точки К и
N, принадлежащие сечению. Строим отрезок KN,
являющийся стороной многоугольника сечения.
Аналогично находится точка М. Окончательно
получаем , что сечением является пятиугольник
KLMAN.
E
D1
K
C1
L
A1
N
D
A
F
B1
M
B
C
КАРТОЧКИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ДЛЯ СЛАБЫХ УЧЕНИКОВ.
Карточка 1.
Построить сечение куба плоскостью, проходящей
через три данные точки, являющиеся
серединами его ребер.
Карточка 2.
Построить сечение куба плоскостью, проходящие
через три данные точки, являющиеся
вершинами куба.
Карточка 3.
Построить сечение куба плоскостью, проходящие
через три данные точки, являющиеся либо
вершинами куба, либо серединами его ребер.
B1
A1
M
C1
D1
C
B
A
D
B1
C1
N
A1
K
B
C
M
A
B1
A1
C1
D1
B
A
D
C
D
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ - № 79(Б), ВТОРОЙ УРОВЕНЬ –№ 81,
ТРЕТИЙ УРОВЕНЬ № 87
Задача № 79(б)
Изобразите параллелепипед
ABCDA1B1C1D1 постройте его сечение
плоскостью АСС1
Решение.
Плоскости граней В1С1СВ и A1D1DA
пересечены плоскостью А1С1СА, линии
пересечения параллельны, AA1||CC1.
AA1= CC1. (по свойству: отрезки
параллельных прямых, заключенные
между параллельными плоскостями,
равны), AA1||CC1. AA1= CC1. (по
признаку параллелограмма), А1С1СА –
параллелограмм.
С1
В1
А1
D1
C
B
A
D
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача № 81(а)
Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1
Отметьте точки М и N соответственно на
ребрах ВВ1 и СС1 . Постройте точку
пересечения прямой МN с плоскостью АВС.
Решение.
Пусть МN не параллельна ВС, тогда МN
пересечет плоскость АВС.
Построение.
Продолжим отрезки ВС и МN до пересечения в
точке х. Тогда точка х искомая.
B1
C1
M
A1
D1
N
C
B
A
D
x
.
ЗАДАЧА №87. ТРЕТИЙ УРОВЕНЬ.
Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1
и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N,
K лежат соответственно на ребрах ВВ1 , АА1, AD.
Решение.
1. Допустим, что MN не параллельна АВ.
2. Продолжим MN и АВ до пересечения их в точке О.
3. ОК лежит в плоскости АВС (т.к. О принадлежит плоскости
АВС и К принадлежит плоскости АВС.
4. Соединим К и N.
5. Плоскости ONKи OAK пересекаются по прямой ОК.
6. Продолжим ОК до пересечения с DC в точке L.
Соединим точки К и L, они лежат в одной плоскости.
7. Проведем LP||NM.
8. Соединим Р и М.
9. MNKLP – искомое сечение.
M
P
C
B
N
L
A
O
K
D
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. № 79(А) 81(Б), 88.
ИТОГ УРОКА.







Учитель: итак, подведем итог, чему
мы научились сегодня на уроке?
Учитель: Какие теоретические
положения нам часто приходилось
использовать?
Какие ошибки были допущены
при решении задач?
Кому приходилось возвращаться к
задаче несколько раз?
Учитель: Где в практической
деятельности вам пригодится
сегодняшний урок?
Учитель: Вы славно потрудились.
Объявляются оценки.







Ученики: - Строить сечения
многогранников, таких как куб,
параллелепипед, тетраэдр.
-Работать в УМК «Живая математика»
- Использовать анимацию при
построении сечений многогранников.
Ученики:- теорему о параллельных
отрезках, заключенных между
параллельными плоскостями,
Признаки параллелограмма,
Свойства параллелограмма.
Ученики: В дальнейшем нам придется
учиться в высших учебных заведениях, а
затем в инженерной практике навыки
построения чертежей пригодятся.