Теорема Пифагора

Теорема Пифагора
История теоремы

В настоящее время известно, что эта теорема не была
открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор
первым дал ее полноценное доказательство, а другие
отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают
Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в
первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл
утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит
самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти
не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его
математической деятельности. Зато легенда сообщает
даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие
открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого
открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Теорема Пифагора-одна из главных и, можно сказать, самая главная
теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее
помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема
Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна.
Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть
непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный
треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое
соотношение: c2=a2+b2.
Доказательство №1 (простейшее)

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,
равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае
равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и
начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику
равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в
справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный
на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты,
построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.
Доказательство №2

Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а).
Докажем, что с2=а2+Ь2.

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. б).На сторонах квадрата Q возьмем
точки А, В, С, Dтак, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DAотсекали от квадрата
Qпрямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник
ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.

Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам).
Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с.
Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b = 90°. Угол при
вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол.
Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы
четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных
треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2 и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем
равенство (a + b)2 = c2 + 4*½a*b. Поскольку (a+b)2=a2+b2+2*a*b, то равенство (a+b)2=c 2+4*½a*b
можно записать так: a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.

Из равенства a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b следует, что с2=а2+Ь2.
ч.т.д.

Доказательство №3

Дано:ΔАВС - прямоугольный треугольникAJ - высота, опущенная на гипотенузуBCED квадрат на гипотенузеABFH и ACKJ - квадраты построенные на катетах.

Доказать:Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора).

Доказательство:1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH,
ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBS=ABD).Но!
SΔABC=½SBJLD, т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая
высота LD. Аналогично SΔFBS=½SABFH (BF-общее основание, AB - общая высота).
Отсюда, учитывая, что SΔABD= SΔFBS, имеем: SBJLD=SABFH. Аналогично, используя
равенство треугольника ΔBCK и ΔACE, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак,
SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED.
Доказательство №4

Доказательство Леонардо да Винчи


Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на
две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь
поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство
заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами
фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади
исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата,
построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в
доказательстве предоставляется читателю.
Использование.

Строительство

Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными
ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.
На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ
построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей,
радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2),
для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как
она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен
расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А
тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы
находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут
потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема
Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b
по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b /
2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного
треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника,
проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а
другой b/2-p.

По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.








Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди
операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей
у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую
наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в
определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли
равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км.






Легенды и мифы

Легенда о смерти Пифагора

Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось
падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда
ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете
факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него мальчик 12 с лицом, перекошенным от ужаса.
- Кто это? - спросил начальник караула у мальчика
- Это Пифагор, - ответил тот.
- Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем.
- Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от
врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили.
- Сколько их было?
- Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и
накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к
груди старца.
- Конец, - сказал начальник.







Заповеди, откровения







Мысль - превыше всего между людьми на земле.
Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).
Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за
жизнь).
По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы,
а мнениям немногих понимающих).
Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей
болтливых и не сдержанных на язык).
Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу
сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к
добродетели, к труду).
В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ
перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).
Песни, стихи

Теорема - Пифагора издавна широко применялась в разных
областях науки, техники и практической жизни.

О ней писали в своих произведениях римский архитектори
инженер Витрувий, греческий писатель-моралист o Плутарх,
греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и
многие другие.

Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в
жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков,
послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах
поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А.
Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном
путешествии на русском корабле "Рюрик", написал следующие
стихи:















Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
О теореме Пифагора