Динамика механической системы твердого тела1

Глава 3
Динамика механической системы и
твердого тела
§ 1. Центр масс
§ 2. Внешние и внутренние силы
§ 3. Дифференциальные уравнения движения системы
материальных точек
§ 4. Теорема о движении центра масс
§ 5. Момент инерции
§ 6. Моменты инерции некоторых однородных тел
§ 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера
§ 8. Теорема об изменении количества движения
системы
1
§ 1. Центр масс
Механической системой называется совокупность
материальных точек или тел, движения которых
взаимосвязаны
Твердое тело - это материальная система, состоящая
из частиц, образующих это тело
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n
материальных точек
mk - масса k-ой точки;
- её радиус-вектор

rk
2
Массой системы называют сумму масс точек,
образующих систему
n
M   mk
k 1
Центром масс системы, или центром инерции,
называют геометрическую точку, радиус-вектор которой
 1 n

rc   m k rk
M k1
(1)
Координаты центра масс
1 n
xc   m k x k
M k1
1 n
yc   m k y k
M k1
1 n
zc   mk zk
M k1
3
При непрерывном распределении массы суммы
переходят в интегралы
1
xc   xdm
MM
1
yc   ydm
MM
Из (1) можно получить
1
z c   zdm
MM
 n

Mrc   m k rk (*)
k 1
 n

Mv c   m k v k (**)
k 1
 n

Mac   m k a k (***)
k1
4
§ 2. Внешние и внутренние силы
Силы называются внешними, если они вызваны
действием тел, не входящих в систему
e
F
exterior - внешность
Силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в
систему, называются внутренними
i
F
i
Fk
k
interior - внутренность
 i
Fk1
k1
 i
i
Fk1  Fk
5
Свойства внутренних сил
1. Главный вектор внутренних сил системы равен 0
i
 Fk 0
n
k 1
2. Главный момент внутренних сил равен 0
i
 mom 0Fk 0
n
k 1
6
§ 3. Дифференциальные уравнения
движения системы материальных точек
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n
материальных точек. Для каждой точки системы
запишем основное уравнение динамики
m1a1  F  F
m2 a2  F  F
e
1
e
2
i
1
i
2
........................
(2)
mn an  F  F
e
n
i
n
7
Спроектируем на оси декартовой системы координат
mk x k  Fkx  Fkx 
e
i 
mk y k  Fky  Fky  , (3)
e
i 
mn z k  Fkz  Fkz 
e
i
где k = 1, 2, ... n
(3) – дифференциальные уравнения движения
механической системы
8
§ 4. Теорема о движении центра масс
При изучении движения системы иногда достаточно
знать движение центра масс (случай твердого тела)
В (2) сложим правые и левые части
e
i

mk a k Fk  Fk
M  aC   Fk  Fk
e
M  aC   Fk e
(4)
i
– центр масс системы движется
как материальная точка, в
которой сосредоточена масса
всей системы, и к ней приложены
внешние силы, действующие на
систему
9
M  X C   Fkxe
M  YC   Fkye
M  ZC   Fkze
Значение теоремы о движении центра масс
Дает обоснование методам динамики точки
Позволяет исключать из рассмотрения все наперед
неизвестные внутренние силы
Следствия
1. Если
e
F
 k  0,
то
aC  0
VC  0
VC  const
Если сумма всех внешних сил, действующих на
систему, равна нулю, то центр масс этой системы
движется с постоянной по модулю и направлению
скоростью
(равномерно
и
прямолинейно)
или
находится в покое
10
2. Если не все силы равны нулю, а только проекции на
какую-нибудь ось, например, ось Х, т.е.
e
F
 kx  0,
то
XC  0
k
или
X C  VCX  const
Если сумма проекций всех действующих внешних сил на
какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра
масс системы на эту ось есть величина постоянная
Пример
Пусть человек массы m1 перешел с одного края
неподвижной лодки на другой. Масса лодки m2. На какое
расстояние и в какую сторону переместится лодка?
11
x10
m1
m2
ℓ
x20
m1 g
R
xC
x
m2 g
x11
s -?
xC
x21
M  aC   Fke
k
x : M  aCx  0
s
 m1  m2   aC  m1g  m2 g  R
 aCx  0
m1 x10  m2 x20
m1  m2
m1 x10  m2 x20  m1 x11  m2 x21
XC0 
x
 VCx  0
m1 x11  m2 x21
m1  m2
m1  x10  x11   m2  x21  x20 
 X C1 
m1  s 
x11  x10  xотн  xпер  x10   s
m1
m1
s

x21  x20  s
m1  m2 M
  m2  s 
12
§ 5. Момент инерции
 Моментом инерции тела относительно точки О (или
полярным моментом) называется величина
J O   mk  rk2
z
k
hK
r
x
O
yK
J O   mk xk2   mk yk2   mk zk2
k
k
k
 Моментом инерции относительно
mK
K
плоскости XY называется величина
J пл XY   mk  zk2
zK
xK
y
k
2
m

x
 k k
YZ: J пл YZ 
XZ: J пл XZ 
k
2
m

y
 k k
k
 Осевым моментом инерции тела относительно оси Z
называется величина
J Z   mk  hk2
k
13
Осевые
моменты
инерции
J Z   mk   xk2  yk2 
являются мерой
инертности
тела при
вращательном
движении
k
J X   mk   yk2  zk2 
k
JY   mk   zk2  xk2 
k
Центробежные моменты инерции
J xy   mk  xk yk
k
J yz   mk  yk zk
k
J zx   mk  zk xk
k
Свойства моментов инерции
1.
J O  J пл YZ  J пл XZ  J пл XY
 J O    J i    J ij    J пл ij   кг  м2
2.
J X  JY  J Z  2 J O
i, j  X , Y , Z
14
Тело или систему тел можно заменить точечной массой,
которая располагается на расстоянии ρZ от оси Z, тогда
момент инерции можно записать в виде J  M  2 ,
Z
Z
где М – масса всей системы; ρZ – радиус инерции
Радиус инерции – это расстояние от оси Z, на котором
должна быть расположена масса, равная массе всей
системы, чтобы получить её момент инерции
Твердое тело – непрерывная система материальных
точек с массами dm, разбивая тело на элементарные
части и подставляя в выражение для осевого момента,
J Z   mk  hk2  J Z 
k

V 
h 2  dm или J Z 
ρ – плотность, V – объем тела;
JZ 

h 2   dV
V 
2
2
x

y
   dV

V 
15
§ 6. Моменты инерции некоторых
однородных тел
1.Тонкий однородный стержень длиной ℓ и массой т
Задан стержень АВ, направим ось Х вдоль стержня
На расстоянии х от оси Z
Z
выделим элемент ∆х стержня
∆m
Масса этого элемента
В
А
∆m = m∆x/ℓ, m/ℓ - масса
Х
x
единицы длины стержня
∆x
Т.к. x  h
ℓ
момент инерции стержня
запишется
суммируем по всей
m
2
длине стержня,
J  m h 
x  x 2

Z
k
JZ 
m
2
x
 dx 
0
m
3
3

m
3
2
k k

k
x  0
16
2. Тонкий обруч (тонкое круглое однородное кольцо)
радиусом R и массой m
 Однородный диск вращается вокруг оси Z, проходящей
через центр масс однородного диска
z
Тогда осевой момент инерции обруча
J Z   mk  R 2
↓↓
O R
x
∆mky
k
J Z  R 2   mk  m  R 2 ,
k
т.к. толщиной обруча можно пренебречь, то
JO  J Z  m  R
2
- полярный момент
инерции обруча
17
 Найдем осевые моменты инерции диска относительно
оси Х или Y
По определению полярный момент инерции
J O   mk  rk2   mk  xk2  yk2  zk2 
k
O
R
∆mk
k
По второму свойству
моментов инерции
y
J X  JY  J Z  2 J O ,
т.к. относительно осей X и Y есть
симметрия, то
x
J X  JY
и
J Z m  R2
J X  JY 

2
2
18
2’. Тонкая цилиндрическая оболочка радиусом R и
массой m
 Осевой момент инерции такой оболочки относительно
оси Z получается аналогичным образом, как и для
кольца
JZ  m  R
2
19
3. Тонкий круговой диск радиусом R и массой m
 Определим элементарное кольцо радиусом r и шириной dr
Площадь этого кольца S = 2 πrdr, масса dm = ρ2 πrdr,
где ρ – масса единицы площади пластины
M

R
O
r
Для выделенного
элементарного кольца
y
dr
dJ Z  dJ O  r 2dm  2   r 3dr
Чтобы получить для всей
пластины, проинтегрируем
R
4 R
J Z  J O  2 r dr  2   r
4
0
3
x
R 2
m  R2
J Z  JO 
2
0
R 4

2
20
3’. Однородный круглый цилиндр массы m и радиусом R
 Разобьем цилиндр на элементарные диски толщиной
dz, масса каждого из этих дисков dm = mdz/h 2
dmR
mR 2
Тогда момент инерции каждого диска dJ Z 

dz,
2
2h
z
просуммируем моменты инерции
R
всех элементарных дисков
dz
h
O
x
y
h
mR 2
m R2
m R2
J Z   dJ Z  
dz 
dz 

2h
2h 0
2
m  R2
J Z  JO 
2
Моменты инерции цилиндра относительно осей X и Y
определяются опять по
m  R2
J X  JY 
2-му свойству и равны
4
21
4. Тонкая прямоугольная пластина со сторонами a и b и
массой m
 Направим оси X и Y вдоль сторон прямоугольной
пластины
Тогда осевые моменты инерции
пластины будут определяться
так же, как и для стержней
z
b
O
x
y
a
mb 2
JX 
3
а
JO  J Z 
m   a 2  b2 
3
JZ 
ma 2
и
JY 
3
m   a 2  b2 
3
- полярный момент
инерции пластины
22
5. Прямой сплошной круглый конус массы m и
радиусом R
J Z  0.3mR
2
6. Сплошной однородный шар массы m и
радиуса R
J Z  0.4mR
2
23
§ 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции зависит от положения оси,
относительно которой этот момент вычисляется
Найдем зависимость между моментами инерции тела
относительно параллельных осей Z и Z’, одна из
которых (Z’) проходит через центр масс С тела
Момент инерции диска ,
вырезанного в теле,
z
z’
(точка Мk принадлежит
Мk
O
диску) относительно
C
zk=z’k осей Z и Z’
d
J Z '  mk x 'k2  y 'k2
 
xk=x’k
x
O’
x’
C’
y,y’
yk=y’k+d

k
J Z   mk  xk2  yk2 
k
24
Подставим координаты точки Мk в выражения для
моментов инерции
J Z   mk  xk2  yk2  
n
k 1
2
2
2
m
x
'

y
'

2
y
'
d

d

 k k k
k
n
k 1
  mk  x '  y '   2d  mk y 'k  d
n
n
2
k
k 1

JZ '
2
k
k 1
n
2
m
k 1
k

My 'C 0
J Z  J Z '  Md

M
2
Момент инерции системы материальных точек
относительно какой-либо оси равен её моменту
инерции относительно параллельной оси, проходящей
через центр масс системы, плюс произведение массы
системы на квадрат расстояния между этими осями
25
§ 8. Теорема об изменении количества
движения системы
Количеством движения системы называют векторную
величину Q, равную геометрической сумме (главному
вектору) количеств движения всех точек системы
Q   mkVk
k
Количество движения системы равно произведению
массы всей системы на скорость её центра масс
Q  M  VC
Если тело (или система) движется так, что центр масс
остается неподвижным, то количество движения тела
(системы) равно нулю
26
При сложном движении количество движения не будет
зависеть от его вращательного движения вокруг центра
масс
Таким образом, количество движения тела можно
рассматривать как характеристику поступательного
движения тела
При сложном движении – как характеристику
поступательной части движения вместе с центром масс
тела
27
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n
материальных точек. Для каждой точки системы можно
записать основное уравнение динамики
 e i 
m 1 a 1  F1  F1

e
i 
m 2 a 2  F2  F2 

....................
....



e
i
m n a n  Fn  Fn 
e
i
m
a

F

F
 kk  k  1
k
по свойству внутренних сил
k
k
i
F
 k 0
k
d
dQ
k mk ak  dt k mkVk  dt
dQ
  Fke
dt
k
(1)
28
(1) – теорема об изменении количества движения в
дифференциальной форме
Производная по времени от количества движения
системы равна геометрической сумме всех действующих
на систему внешних сил
В проекциях на координатные оси
dQx
  Fkx e
dt
k
dQy
  Fky e
dt
k
dQz
  Fkz e
dt
k
(2)
29
Проинтегрируем уравнение (1)
dQ   Fk e dt
Q1
k
t1
 dQ    F
k
k
Q0
где
Sk e
e
dt
или
Q1  Q0   Sk , (3)
e
0
– импульс внешних сил
Изменение количества движения системы за
некоторый промежуток времени равно сумме
импульсов, действующих на систему внешних сил за
тот же промежуток времени
30
В проекциях на координатные оси
Q1x  Q0 x   Skx ;
e
Q1 y  Q0 y   Sky e ;
Q1z  Q0 z   Skz e
Теоремы о движении центра масс и об изменении
количества движения системы две разные формы
одной и той же теоремы
31
Следствия
1. Если
F
e
k
 0,
то
e
S
 k  0,  Q  const
k
k
Если сумма всех внешних сил, действующих на
систему, равна нулю, то вектор количества движения
системы будет постоянен по модулю и направлению
2. Если
e
F
 kx  0,
k
то
e
S
 kx  0,  Qx  const
k
Если сумма проекций всех действующих внешних сил
на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция
количества движения системы на эту ось есть
величина постоянная
Для эффективного применения теорем изменения и
сохранения количества движения необходимо систему
координат выбирать так, чтобы неизвестные силы были
внутренними
32
Примеры
1. Определить скорость отдачи ружья, если известна
скорость Vп и масса mп пули и масса mр ружья
Х:
Q1  Q0  0  mпVп  m рVр
mп
 Vр 
Vп
mр
2. Ракета с реактивным двигателем выбрасывает струю
газов со скоростью U, масса ракеты mр уменьшается
на величину dm, а скорость ракеты возрастает на
величину dV. Определить скорость ракеты
dmc
dQ  U  dmс  m  dVр  dV р  U
m
m0
V р  U ln
 V0
m
– формула К.Э. Циолковского (1857–1935)
33