Додекаэдр, двенадцатигранник — правильный многогранник

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №23
Автор: Романова Ольга,
ученица 10а класса
Руководитель: Голубева Марина Анатольевна,
учитель математики и информатики
Рыбинск, 2010
Правильный многогранник — это выпуклый многогранник с
максимально возможной симметрией.
Многогранник называется
правильным, если:
1) он выпуклый
2) все его грани являются
равными
правильными
многоугольниками
3) в каждой его вершине
сходится
одинаковое
число рёбер
Гексаэдр
икосаэдр
Тетраэдр
многогранники
додекаэдр
Октаэдр
Куб или правильный гексаэдр — правильный многогранник,
каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный
случай параллелепипеда и призмы.
Тип
Правильный
многогранник
Грань
квадрат
Вершин
8
Рёбер
12
Граней
6
Граней при вершине
3
Длина ребра
a
Площадь поверхности
Объём
Точечная группа симметрии
Октаэдрическая (Oh)
Двойственный многогранник
Октаэдр
1) Четыре сечения гексаэдра являются
правильными шестиугольниками
2) В гексаэдр можно вписать тетраэдр
двумя способами. В обоих случаях
четыре вершины тетраэдра будут
совмещены с четырьмя вершинами
гексаэдра и все шесть рёбер тетраэдра
будут принадлежать граням гексаэдра.
3) В куб можно вписать октаэдр, притом
все шесть вершин октаэдра будут
совмещены с центрами шести граней
куба.
4) Куб можно вписать в октаэдр, притом
все
восемь
вершин
куба
будут
расположены в центрах восьми граней
октаэдра.
5) В куб можно вписать икосаэдр, при
этом шесть взаимно параллельных рёбер
икосаэдра
будут
расположены
соответственно на шести гранях куба,
остальные 24 ребра — внутри куба. Все
двенадцать вершин икосаэдра будут
лежать на шести гранях куба
Тетраэдр - многогранник с четырьмя треугольными гранями,
в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У
тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Тип
Правильный
многогранник
Грань
Треугольник
Вершин
4
Рёбер
6
Граней
4
Граней при вершине
3
Длина ребра
a
Площадь полной
поверхности
Объём
Высота
Двойственный
многогранник
Тетраэдр
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной
точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от
вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
P. S.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой
пересечения медиан противоположной грани, называется
его медианой, опущенной из данной вершины.
Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер
тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей
данные рёбра.
1) равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные
между собой треугольники;
2) ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты,
опущенные из вершин на противоположные грани,
пересекаются в одной точке;
3)прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра,
прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между
собой;
4) правильный тетраэдр, у
равносторонние треугольники;
которого
все
грани
-
5) каркасный тетраэдр, для которого существует сфера,
касающаяся всех его ребер;
6) соразмерный тетраэдр, все бивысоты которого равны;
7) инцентрический тетраэдр, у которого отрезки,
соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей,
вписанных в противоположные грани, пересекаются в
одной точке.
Октаэдр
— один из пяти выпуклых правильных
многогранников, так называемых, Платоновых тел.
Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в
каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Тип
Правильный
многогранник
Грань
Треугольник
Вершин
8
Рёбер
12
Граней
6
Граней при вершине
4
Длина ребра
a
Площадь полной
поверхности
Объём
Двойственный
многогранник
куб
1) Многие
природные
кубические
кристаллы имеют форму октаэдра. Это
алмаз, хлорид натрия, перовскит,
оливин, флюорит, шпинель.
2) Форму октаэдра имеют межатомные
пустоты
в
плотноупакованных
структурах чистых металлов (никеле,
меди, магнии, титане, лантане и многих
других) и ионных соединений (хлорид
натрия, сфалерит, вюрцит и др.).
Додекаэдр, двенадцатигранник — правильный многогранник,
составленный из двенадцати правильных пятиугольников.
Каждая
вершина
додекаэдра
является
вершиной
трёх
правильных пятиугольников.
Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 30 рёбер и 20
вершин. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна
324°.
Тип
Правильный многогранник
Грань
Правильный пятиугольник
Вершин
12
Рёбер
30
Граней
20
Граней при вершине
3
Длина ребра
a
Площадь полной
поверхности
Объём
Двойственный
многогранник
икосаэдр
1) Додекаэдр имеет центр симметрии и 15
осей симметрии.
2) Каждая из осей проходит через середины
противолежащих параллельных ребер.
3) Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.
Любая из плоскостей симметрии проходит в
каждой грани через вершину и середину
противоположного ребра.
Икосаэдр
—
правильный
выпуклый
многогранник,
двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней
представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер
равно 30, число вершин — 12.
Тип
Правильный многогранник
Грань
Правильный треугольник
Вершин
20
Рёбер
30
Граней
12
Граней при вершине
5
Длина ребра
a
Площадь полной
поверхности
Объём
Двойственный
многогранник
додекаэдр
1) Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть
взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут
расположены соответственно на шести гранях куба,
остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать
вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
2)В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом,
четыре вершины тетраэдра будут совмещены с
четырьмя вершинами икосаэдра.
3) Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом
вершины икосаэдра будут совмещены с центрами
граней додекаэдра.
4) В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин
додекаэдра и центров граней икосаэдра.
5) Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с
образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом
число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20
треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего
граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
1) Икосаэдр
лучше
всего
из
всех
правильных
многогранников подходит для триангуляции сферы
методом
рекурсивного
разбиения.
Поскольку
он
содержит наибольшее среди них количество граней,
искажение получающихся треугольников по отношению
к правильным минимально.
2) Усеченный икосаэдр применяется как приблизительная
модель сферы в футбольном мяче, в химии его структуру
повторяет простейший из фуллеренов
http://images.yandex.ru/yandsearch?p=1&ed=1&text=%D0%B8%D0%BA%D0%B
E%D1%81%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80&stype=image&nl=1
http://polygran.boom.ru/base/15.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0
%B4%D1%80
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D1
%8D%D0%B4%D1%80
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D
0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80