Три признака равенства треугольников 2 1 3 Завершить Первый признак Теорема Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны Доказательство Рассмотрим ∆ABC и ∆A1B1C1, AB=A1B1, AC= A1C1, ∠A = ∠A1. у которых Докажем, что ∆ABC = ∆А1B1C1 . Так как ∠A = ∠A1, то ∆ABC можно наложить на ∆A1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AB и AC наложатся соответ-ственно на лучи A1B1 и A1C1. Поскольку AB=A1B1 , AC= A1C1 ,то сторона AB совместится со стороной A1B1 ,а сторона AC – со стороной A1C1. Совместятся стороны BC и B1C1. ∆ABC и ∆A1B1C1 полностью совместятся, значит, они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ПЕРВЫМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Второй признак Теорема Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство Рассмотрим ∆ABC и ∆A1B1C1, у которых AB=A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Докажем, что ∆ABС = ∆A1B1C1. Наложим ∆ABC на ∆A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, сторона AB – с равной ей стороной A1B1, а вершины C и C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1. Так как, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, то сторона AC наложится на луч A1C1, а сторона BC – на луч B1C1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A1C1, так и на луче B1C1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C1 . Значит, совместятся стороны AC и A1C1, BC и B1C1. Итак, ∆ABC и ∆A1B1C1 полностью совместятся, поэтому они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников стороны и двух углов прилежащих к ней), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ВТОРЫМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Третий признак Теорема Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство Рассмотрим ∆ABC и ∆A1B1C1, у которых AB=A1B1, AC = A1C1, CB = C1B1. Докажем, что ∆ABС = ∆A1B1C1. Приложим ∆ABC к ∆A1B1C1 так, чтобы вершина A с вершиной A1, вершина B1 – с B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. Соединим ∠1 = ∠2; ∠3 точки = ∠4 В и В1 ∆А1С1С = ∆В1С1С по двум сторонам и углу Значит, ∠А1СВ Рассмотрим равнобедренные ∆А1С1С и ∆В1С1С между ними 1 = ∠ А1С1В1 ∆А1С1B1 = ∆A1B1С по двум сторонам и углу между ними Рассмотрим равнобедренный ∆С1В1С ∠CC1B1 = ∠C1CB1 Рассмотрим равнобедренный ∆С1А1С ∠1 = ∠2 Следовательно, ∠3 = ∠4 Таким образом, ∆С1А1В1 = ∆СА1В1 Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников трех сторон), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ТРЕТЬИМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Из третьего признака следует, что треугольник жесткая фигура