тетраэдр сечения

Стереометрия
ТЕМА: 2.3
ТЕТРАЭДР. СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА.
АК ВГУЭС
Преподаватель
БОЙКО ВЕРА ИВАНОВНА
специальности:
08011051 «Банковское дело»
10110151 «Гостиничный сервис»
080110151 «Сервис домашнего и
коммунального хозяйства»
10080151 «Товароведение и
экспертиза качества потребительских
товаров»
3
Требования к знаниям, умениям и
навыкам
В результате изучения лекции студент должен знать:
* Представление о правильных многогранниках.
* Определение тетраэдра и его изображение .
* Элементы тетраэдра.
* Как построить сечения тетраэдра.
В результате изучения лекции студент должен уметь:
■ Изображать тетраэдр.
■ Решать задачи на построение сечений тетраэдра.
Содержание:
1. Понятие многогранника.
2. Определение тетраэдра и его
элементов.
3. Изображение тетраэдра.
4. Сечения тетраэдра.
Многогранник
Поверхность, составленную из
многоугольников и
ограничивающую некоторое
геометрическое тело, будем
называть многогранником.
Многие многогранники изобрел не
человек, а создала природа.
Определение
Тетраэдр –
поверхность,
составленная из
четырех
треугольников
Тетраэдр.
Слово составлено из греческих
 «четыре»
и
- «основание».
,/
Буквальное значение – «четырехгранник».
По-видимому, термин впервые
S
S
употреблен Евклидом.
После Платона чаще
встречается «пирамида»
В
А
С
Тетраэдр имеет
D
4 грани:
DAC, DBC, DAB, ABC.
6 рёбер:
DA, DB, DC, AB, AC, BC.
4 вершины (в каждой
сходятся три ребра):
D, A, B, C.
A
B
C
Противоположные ребра:
DA и ВС,
D
DB и АС,
DС и АВ.
Основание: АВС
Боковые грани:
DАВ, DВС, DАС.
A
B
C
Изображение тетраэдра
Пусть A0B0C0D0 – произвольный
тетраэдр, A, B, C и D – параллельные
проекции его вершин на плоскость
изображений (π). Отрезки AB, BC, CA,
AD, BD, CD служат сторонами и
диагоналями четырёхугольника ABCD.
Фигура, образованная из этих отрезков
(или любая другая фигура, подобная ей),
является изображением тетраэдра
A0B0C0D0 .
Фигура, состоящая из сторон и диагоналей любого (выпуклого
или невыпуклого) четырёхугольника, является изображением
тетраэдра при соответствующем выборе плоскости
изображений и направления проектирования.
На этих рисунках невидимые рёбра изображены штриховыми
линиями.
А
М
В
N
D
С
Точки М и N –
середины ребер АВ и
АС тетраэдра АВСD.
Докажите, что прямая
МN параллельна
плоскости ВСD.
Какие многоугольники могут получиться в сечении ?
Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях могут получиться:
Треугольники
Четырехугольники
Объясните, как построить сечение
тетраэдра DABC плоскостью,
проходящей через точки M,N,K
D
M
А
K
N
B
Найдите
периметр
сечения, если
M, N, K –
середины
ребер и
каждое ребро
тетраэдра
C равно а.
Объясните, как построить сечение
тетраэдра DABC плоскостью,
проходящей через точки M,N,K
D
K
N
А
M
B
Найдите
периметр
сечения, если M,
N, K – середины
ребер и каждое
ребро тетраэдра
равно а.
C
Объясните, как построить сечение
тетраэдра DABC плоскостью,
проходящей через точки M,N,K
D
K
E
А
Найдите
периметр
сечения, если
M, N, K –
середины ребер
и каждое ребро
тетраэдра равно
а.
C
M
B
N
Объясните, как построить сечение
тетраэдра DABC плоскостью,
проходящей через точки M,N,K
D MN ║ AC
K
E
А
C
M
N
B
Тетраэдр
D
Постройте сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей через
точку М
параллельно (АВС).
М
Р
К
А
С
В
Д
Постройте сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через
точки Т, Р , О
Р
О
Х
В
А
М
Т
С
Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SАВС проведена
плоскость параллельно ребру SВ. Докажите, что эта плоскость
пересекает грани SАВ и SВС по параллельным прямым.
S
Е
К
Дано: SАВС –тетраэдр, МА=МВ, ВN=NC,
С М   , N   , ВS ||  ,    ABS   КM ,
А
  BCS   ЕN .
М
N
В
Доказать : КM || ЕN .
Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC, и BC отметьте
соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения
прямой КN и плоскости ABD.
D
M
•
•
N
А
Дано : DABC  тетраэдр, М  DВ,
N  DC , K  BC .
Построить : точку М 1.
Условие : М 1  KN   АВD .
С Решение :
1. NK  DBC , DB  DBC .
В
•K
2. Допустим, NK || DB , тогда NK ||  АВD 
по признаку , а это противоречит условию.
• M1
Значит, NK  DB.
3. DB   АВD , NK  DB ,
тогда NK   АВD   М 1.
• Задача1. На
рёбрах AB, BD и
CD тетраэдра
ABCD отмечены
точки M,N и P.
Построить сечение
тетраэдра
плоскостью MNP.
Решение.
Построим сначала прямую, по которой
плоскость MNP пересекается с плоскостью
грани ABC. Точка М является общей точкой
этих плоскостей. Для построения ещё одной
общей точки продолжим отрезки NP и BC до
их пересечения в точке Е, которая и будет
второй общей точкой плоскостей MNP и ABC.
Вариант 1
D
Задача № 1
А
Постройте точку
пересечения
прямой АВ с
плоскостью MNK.
B
M
N
K
Вариант 1
ответ
Задача № 1
Постройте точку
пересечения
прямой АВ с
плоскостью MNK.
D
А
B
K
M
N
Х
Вариант 1
D
• Задача № 2
• Постройте сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей через
точки А, В и С;
С Є MND.
С
B
M
А
N
K
Вариант 1
ответ
D
• Задача № 2
• Постройте сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей через
точки А, В и С;
С Є MND.
С
B
M
А
N
K
Вариант 2
ответ
D
Задача № 1
Постройте точку
пересечения
прямой АВ с
плоскостью
MDK.
А
K
M
B
N
Х
Вариант 2
D
А
Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В и С; В Є
NDK.
C
B
K
M
N
Вариант 2
ответ
D
А
Задача № 2
Постройте
сечение
тетраэдра
плоскостью,
проходящей
через точки
А, В и С; В Є
NDK.
C
B
K
M
N
*
*Тетраэдры в
живой природе
Некоторые плоды, находясь
вчетвером на одной кисти,
располагаются в вершинах
тетраэдра, близкого к
правильному. Такая конструкция
обусловлена тем, что центры
четырёх одинаковых шаров,
касающихся друг друга,
находятся в вершинах
правильного тетраэдра.
Поэтому похожие на шар плоды
образуют подобное взаимное
расположение. Например, таким
образом могут
располагаться грецкие орехи
Тетраэдр образует жёсткую, статически
определимую конструкцию. Тетраэдр,
выполненный из стержней, часто используется в
качестве основы для пространственных несущих
конструкций пролётов зданий, перекрытий,
балок, ферм мостов и т. д. Стержни
испытывают только продольные нагрузки.
Прямоугольный тетраэдр используется в
оптике. Если грани, имеющие прямой угол,
покрыть светоотражающим составом или весь
тетраэдр выполнить из материала с сильным
светопреломлением, чтобы возникал эффект
полного внутреннего отражения, то свет,
направленный в грань, противоположную
вершине с прямыми углами, будет отражаться в
том же направлении, откуда он пришёл. Это
свойство используется для создания уголковых
отражателей, катафотов.
Тетраэдры в микромире
Вода, Лёд, Н2О
Молекула метана СН4
Молекула аммиака NH3
Алмаз C - тетраэдр с ребром равным
2,5220 ангстрем
Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным
3, 8626 ангстрем
Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным
3,823 ангстрем
Комплексные ионы [BF4] -, [ZnCl4]2-,
[Hg(CN)4]2-, [Zn(NH3)4]2+.
Вопросы для самопроверки
- Что такое многогранник, его поверхность?
- Назвать основные элементы тетраэдра.
- Сколько граней, ребер и вершин в
тетраэдре?
- Как многоугольники могут получится в
сечении тетраэдра?
- Как строить сечения тетраэдра?
- Где в жизни встречается тетраэдр?
Используемая литература:
1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под
ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.:
Просвещение, 2010.
2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И.
Ковалева – Волгоград: Учитель, 2011
3. Геометрия.10-11 классы. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Москва:
Мнемозина, 2003