Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Алгебра и начала анализа

Геометрический смысл
производной.
Уравнение касательной.
Алгебра и начала анализа
11 класс
Линейная функция
k> 0
y
y(х)= kx + b, k≠0
Iч.
k< 0
y
IIч.
О
IIIч.
x
E(y)=D(у) =
(-∞; + ∞)
О
x
IVч.
Линейная функция
y(х)= kx + b, k= 0
y
y(х)= b
IIч.
y y(х)= -b
Iч.
x
О
О
x
D(у) = (-∞; + ∞)
IIIч.
IVч.
Прямая пропорциональность y(х)= kx
k> 0
y
y
Iч.
k< 0
IIч.
О
IIIч.
x
E(y)=D(у) =
(-∞; + ∞)
О
x
IVч.
Актуализация знаний
1.1. Запишите формулу, задающую линейную функцию
__________________________________________________________________
1.2. Число ____ называют угловым коэффициентом прямой, а угол α- углом
между
___________________________________________________________________
1.3. Графики двух линейных функций
у  k1 x  b1 у  k2 x  b2
- пересекаются, если ________________________________________________
- совпадают, если ___________________________________________________
- параллельны, если ________________________________________________
1.4. Геометрический смысл производной состоит в том, что
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_____________________________________________
1.5. Уравнение касательной имеет вид ________________________________
1.6. Продолжите равенство
_____________________
k
у
f ( x  x)  f ( x)
y

 tg1
x
x
y = f(x)
М1
f(x+Δх)
Δу
А
f(x)
α1
Δх
0
х
х+Δх
х
у
y = f(x)
М1
f(x+Δх)
М2
Δу
А
f(x)
α1
Δх
0
х
х+Δх
х
у
f ( x  x)  f ( x)
y

 tg 2
x
x
y = f(x)
М1
М2
f(x+Δх)
Δу
А
f(x)
α2
Δх
0
х
х+Δх
х
у
y = f(x)
М1
М2
f(x+Δх)
Δу
А
f(x)
α2
М3
Δх
0
х
х+Δх
х
у
f ( x  x)  f ( x)
y

 tg 3
x
x
y = f(x)
М1
М2
f(x+Δх)
А
Δу
f(x)
α3
М3
Δх
0
х
х+Δх
х
у
y = f(x)
f ( x  x)  f ( x)
y

 tg 3
x
x
М1
М2
f(x+Δх)
А
Δу
f(x)
α3
М3
Δх
0
х
х+Δх
х
у
lim
х 0
f ( x  x)  f ( x)
y
 lim
 tg
x
x
х 0
х0
y = f(x)
М1
М2
М3
А
Δу
f(x)
α
Δх
0
х
х
На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции
f(x), определенной на интервале (–7; 5) и
касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение
производной функции f(x) в точке хо.
у = f(x)
В
α
хо
5
α
А
4
С
Ответ: 1,25.
№1
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому
коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции
в данной точке.
В нашем случае k > 0, так как
α – острый угол (tg α > 0).
Чтобы найти угловой коэффициент,
выберем две точки А и В, лежащие
на касательной, абсциссы и
ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового
коэффициента. Для этого построим
треугольник ABC.
tg α = ВС : АС = 5 : 4 = 1,25
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (–10; 2) и
касательная к нему в точке с абсциссой хо.
Найдите значение производной функции f(x) в точке хо.
В
у = f(x)
α
6
хо
С
8
180°− α
Ответ: −0,75.
А
№2
Решение:
Значение производной функции
f ′(хo) = tg α = k равно угловому
коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в
данной точке.
В нашем случае k < 0, так как
α – тупой угол (tg α < 0).
Чтобы найти угловой коэффициент,
выберем две точки А и В, лежащие на
касательной, абсциссы и ординаты
которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового
коэффициента. Для этого построим
треугольник ABC.
tg(180°− α) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75
tg α = − tg (180°− α) = −0,75
Найдите значение углового коэффициента прямой,
изображенной на рисунке
№3
Найдите значение производной функции f (x) в точке x0
изображенной на рисунке
№4
№5
Найдите угловой коэффициент касательной
проходящей через точку А графика функции f.
f (x) = х2 - х, А(1; 3)
f ′(x) = 2х - 1
f ′(x0) = f ′(1) = 2·1 - 1 = 1
к = 1 , tg α = 1, α = 45º.
Ответ: угловой коэффициент касательной
равен 1, угол наклона касательной 45º.
№6
Найдите угловой коэффициент касательной
проходящей через точку А графика функции f.
f (x) = х3 + 2х – 6, х0 = - 1.
f ′(x) = 3х2 + 2 – 0 = 3х2 + 2
f ′(x0) = f ′(-1) = 3·(- 1)2 + 2 = 3·1+2 = 5
к=5
Ответ: угловой коэффициент касательной
равен 5.
Найдите угловой коэффициент касательной.
1.
2.
f (x) = х3 + 4х, х0 = 2
f (x) = х2 - 3х + 5, х0 = -3
№7
№8
К графику функции проведена касательная с угловым
коэффициентом, равным к. Найдите координаты точки
касания.
f (x) = 1 – 5х – х2, к = 9.
к = f ′( х0), f ′( х0) = 9
f ′(x) = 0 -5 -2х = -5 -2х
f ′(x0) = -5 - 2 x0
-5 - 2 x0 = 9
- 2 x0 = 9 +5
- 2 x0 = 14
x0 = -7
Точка касания принадлежит графику функции.
у 0 = f ( х0) = f (-7) = 1 - 5·(-7) – (-7)2 = 1 + 35 – 49 = 36 - 49 = -13
Ответ: координаты точки касания (-7; -13).
К графику функции проведена касательная с №9
угловым коэффициентом, равным к.
Найдите координаты точки касания.
1.
2.
f (x) = 5 – х – х2, к = 7.
f (x) = 4 +3х + 2х2, к = 3.
Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к
графику функции у = х2 + 8х + 6.
Найдите абсциссу точки касания.
№10
Решение:
Если прямая параллельна касательной к графику функции в
какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в
нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению
производной функции в точке хо:
k = f ′(xo) = 4
Производная функции
f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8.
Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо,
чтобы 2хo + 8 = 4, 2x0 =4-8, 2x0 =-4
откуда хо = -4:2=– 2.
Ответ: – 2.
Найдите точку касания прямой y=3x+8 и
графика функции y=x3+x2−5x−4.
В ответе укажите абсциссу этой точки.
№11
Решение:
Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой
то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем
случае k = 3 из уравнения у = 3х +8) равен значению производной
функции в точке хо: k = f ′(xo) = 3
Производная функции
f ′(x) = (х3 + х2 -5x-4)′ = 3x2 +2x -5-0.
Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо,
чтобы 3хo2 +2x0 -5=3 ,3хo2 +2x0 -8=0, D = 4-4∙3∙(-8)=4+96=100
откуда хо = -2.
Ответ: – 2
Закрепление и расширение знаний по данной теме при
решении прототипов В8 из открытого банка
заданий ЕГЭ.
Тип задачи
На рисунке изображен график функции .
Прямая, проходящая через начало
координат, касается графика этой функции
в точке с абсциссой 8. Найдите f 8
Главный
вопрос
задачи
Способ (алгоритм) решения
1. Провожу диагональ
прямоугольника из начала
отсчета
2. Рассматриваю
прямоугольный
треугольник
3. По геометрическому
смыслу производной…
4. Из треугольника нахожу
значение тангенса угла
наклона касательной к оси
Ох
Решении прототипов В8 из открытого банка
заданий ЕГЭ
Тип задачи
На рисунке изображён график функции
и касательная к нему в точке с
абсциссой . Найдите значение
производной функции в точке . у  f (x)
Главный
вопрос
задачи
Способ (алгоритм) решения
1. Достраиваю до
прямоугольного
треугольника с острым
углом, равным углу
наклона касательной к оси
Ох
2. По геометрическому
смыслу производной…
3. Нахожу тангенс угла
наклона касательной к оси
Ох.
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (–6; 6). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой у = –5.
у
1
у = f(x)
х
0
–6
у = –5
–5
3
2
6
5
4
Ответ: 6.
6
№12
Решение:
Прямая у = −5
горизонтальная, значит, если
касательная к графику
функции ей параллельна, то
она тоже горизонтальна.
Следовательно, угловой
коэффициент в искомых
точках
k = f ′(х) = 0.
В нашем случае – это точки
экстремума.
Таких точек 6.
№13
На рисунке изображен график функции y = f(x) , определенной
на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или
совпадает с ней.
На рисунке изображен график производной №14
функции y=f (x), определенной на интервале (−8;3).
Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции параллельна прямой y = −20.
Решение:
На рисунке изображен
график производной. Касательна
я к графику
функции f(x) параллельна
прямой ax+b в тех точках, где
значение производной равно a.
В данном случае a = 0
[b = -20, но это для решения не
важно].
Точек, в которых значение
производной равно 0 (т.е. где
график производной пересекает
ось абсцисс) на рисунке 2. Таких
точек 2.
На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции
f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.
у = f ′(x)
у = –2
Ответ: 4.
№15
Решение:
Если касательная к графику
функции f(x) параллельна
прямой у = –2x + 2 или
совпадает с ней, то ее угловой
коэффициент k = –2, а значит
нам нужно найти
количество точек, в которых
производная функции
f ′(x) = –2. Для этого на
графике производной проведем
прямую у = –2, и посчитаем
количество точек графика
производной, лежащих на
№16
На рисунке изображен график производной функции ,
определенной на интервале (-8;6). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции
y=3x-10 параллельна прямой или совпадает с ней.
Уравнение касательной, проходящей через
точку А(х0; f(х0))
к графику функции у = f (х):
у = f (x0) + f ′(x0)(х – х0)
Алгоритм составления уравнения
касательной к графику функции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Записываем данные.
Находим значение функции в точке х0: f (x0).
Находим производную функции: f ′(x).
Находим значение производной в точке х0: f ′(x0).
Записываем уравнение касательной к графику
функции.
Подставляем, полученные значения в уравнение
касательной, производим преобразования.
Записываем ответ.
№16
Напишите уравнение касательной
к графику функции f в точке х0:
f (x) = х3 – 3х + 1, х0 = - 2
f (x0) = f (-2) = (-2)3 - 3 ·(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1
f ′(x) = 3х2 – 3
f ′(x0) = f ′(-2) = 3(-2)2 – 3 = 3 ·4 – 3 = 9
у = f (x0) + f ′(x0)(х – х0)
у = -1 + 9(х –(-2)) = -1 +9(х +2) = -1 +9х +18 = 9х +17
Ответ: уравнение касательной у = 9х +17
№17
Напишите уравнение касательной к
графику функции f в точке х0:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
f (x) = х2 + 1,
x0 = -1.
f (x) = 3х4 – 6х2+ 1, x0 = 1.
f (x) = - 2х,
x0 = 3.
f (x) = х3 + 1,
x0 = 0.
f (x) = х2 + 2 , x0 = 4.
f (x) = х4 + 16х, x0 = 9.
Рефлексия
Какие типы задач мы рассмотрели?
(задачи на применение геометрического смысла производной по
заданному графику функции или графику производной
функции)
Какие знания использовали для решения задач?
(геометрический смысл производной, значение тангенса угла
наклона прямой к оси Ох, условие параллельности прямых)
Какие способы мыслительной деятельности при решении задачи
использовали?
(анализ, синтез, обобщение, освоение техники перевода проблемы в
задачу, моделирование объекта задачи, выстраивание шагов
решения, конструирование способов решения)