Трисекция угла Что такое трисекция угла

Трисекция угла
Что такое трисекция угла?

Трисекция угла – это деление угла
на три равные части.
Четыре способа трисекции угла:




1.При помощи циркуля и линейки
без засечек.
2. Решения Гиппея при помощи
квадратрисы.
3. Решение Паппа
Александрийского при помощи
конхоиды Никомеда.
4. Решение Архимеда при помощи
циркуля и линейки с двумя
засечками.

Несложно
разделить
любой
угол
с
помощью циркуля и линейки на две, а
некоторые углы — и на три равные части.
Последняя
операция
называется
трисекцией угла. Например, мы можем
построить треть прямого угла, поделив
пополам угол правильного треугольника,
а проведя биссектрису в образовавшемся
угле в 30°, получим угол величиной 15° —
треть угла в 45°. Есть и другие углы, для
которых трисекция выполнима. Наверное,
подобные построения и вселили надежду
открыть способ трисекции любого угла
посредством циркуля и линейки. Эту
задачу пытались решить ещё в V в. до н. э.

Решить задачу о трисекции угла стало
невозможно при помощи циркуля и линейки это было доказано лишь в первой половине
ХIХ в. Задача о трисекции угла становится
разрешимой
и
общем
случае,
если
не
ограничиваться в геометрических построениях
одними только классическими инструментами,
циркулем и линейкой. Попытки решения
задачи с помощью инструментов и средств
были предприняты еще в V в. до н.э. Так,
например,
Гиппий
Элидский,
знаменитый
софист, живший около 420 г. до н.э.,
пользовался для трисекции угла квадратрисой.
Александрийский математик Никомед ( II в. до
н.э.) решил задачу о трисекции угла с
помощью одной кривой, названной конхоидой
Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для
черчения этой кривой.
Решение при помощи
квадратрисы

Квадратриса
получается
следующим
образом.
Пусть
дана
окружность
радиуса
а.
Начнем
вращать
радиус
ОА
с
угловой
скоростью
π/2
вокруг точки О - центра
окружности одновременно
равномерно
перемещать
влево
со
скоростью
а
вертикальную прямую от
точки А к точке С. Точка М
их пересечения и будет
описывать квадратрису.
Решение при помощи квадратрисы

Квадратриса решает задачу о трисекции
угла. Для этого нужно отложить данный
угол так, чтобы его вершина находилась
в точке О, а одна из сторон совпала с
лучом ОА (рис. 3). Из точки N
пересечения квадратрисы со вторым
лучом угла опускаем перпендикуляр NK
на ОА, а затем делим отрезок КА на три
равные части. Если восставить в точках
деления перпендикуляры к прямой ОА
до пересечения с квадратрисой , а затем
соединить
полученные
точки
пересечения с точкой О, то полученные
углы окажутся равными. Это следует из
метода
построения
квадратрисы.
Аналогичным образом можно делить
любой угол на произвольное количество
равных частей.
Решение при помощи
конхоиды
Решение Паппа Александрийского
Он при помощи конхоиды Никомеда строил третью часть
угла, а потом оставшуюся часть делил на 2 равных при
помощи циркуля и линейки.
Улитка Паскаля также
использовалась Архимедом
при трисекции угла.