Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых
Цели урока:
1. Образовательные - ввести понятие аксиомы,
добиться, чтобы учащиеся освоили, в чём
заключается метод доказательства от противного, и
умели применять его при решении задач.
2. Развивающие – развивать и совершенствовать
умения, применять имеющиеся у учащихся знания
в изменённой ситуации; развивать логическое
мышление, интерес к предмету, навыки
самообразования; развивать их самостоятельность
и творчество.
3. Воспитательные – способствовать выработке у
учащихся желания и потребности изучения
геометрии, новых способов доказательства.
Тип урока: урок усвоения новых знаний учащимися.
Методы: репродуктивный, частично-поисковый,
коллективный, групповой.
Оборудование: компьютер.
Изучение нового материала
1. Беседа об аксиомах геометрии.
2. Задача для самостоятельного
решения с последующим
обсуждением.
Задание: Через точку А ,не лежащую на
прямой b, провести прямую,
параллельную прямой b.
Ход построения:
1. Провести через точку А прямую c так, что
c⊥b;
2. Провести через точку А прямую a так, что
a⊥c.
Доказательство:
1= 2 = 90о, т. е. накрест
лежащие углы при прямых
a и b и секущей c равны.
Следовательно, a║b
Вопросы учащимся:
- Всегда ли через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести
прямую, параллельную данной?
- Сколько прямых, параллельных данной,
можно провести через точку, не
лежащую на данной прямой?
Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной
прямой, проходит только одна прямая,
параллельная данной.
Евклид
(III в. До н. э.)
Н. И. Лобачевский
(1792-1856)
- Является ли утверждение «Через точку,
не лежащую на данной прямой, можно
провести прямую, параллельную
данной» аксиомой? Почему?
- Чем отличаются вышеуказанные
утверждения?
Способ доказательства от
противного
1. Делается предположение, противное тому,
что требуется доказать.
2. Выясняется, что следует из сделанного
предположения на основании известных
теорем, аксиом, определений и условия
задачи.
3. Устанавливается противоречие между тем,
что утверждается в одном предложении, и
его отрицанием в другом.
4. Делается вывод: предположение неверно, а
верно то, что требовалось доказать.
Упражнения
1.
•
•
•
•
•
2.
•
•
•
Составьте отрицания следующих утверждений:
Точка А принадлежит отрезку CD.
Прямые a и b пересекаются.
Угол A тупой.
Число a меньше нуля.
Все данные прямые проходят через точку A.
В следующих предложениях необходимо убрать
оборот «не», чтобы получить отрицание
утверждений:
Прямые а и b не параллельны.
Через точки a, b и c нельзя провести прямую.
Луч b не пересекает ни одного отрезка с концами
на сторонах угла A.
Дано: a║b, c∩a в
точке M.
Доказать: c∩b.
Доказательство:
Предположим, что с
b, тогда через точку M проходили бы две
прямые a и c, параллельные прямой b. Но это противоречит
аксиоме параллельных прямых, значит, наше предположение
неверно, c ∩ b.
Дано: a║с, b║c
Доказать: a║b.
Доказательство:
Предположим, что a
b, т. е. a∩b в некоторой точке M. Тогда через
Точку M проходят две прямые a и b, параллельные прямой c. Но это
противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно, следовательно, a||b.
Закрепление изученного
материала
Решить задачи №197, 199.
Самостоятельное решение
задач:
Задача 1.
Прямая d пересекает
прямую b.
Пересечёт ли эта прямая
прямую a?
Почему?
Решение:
2 = 80о (по условию).
2 + 3 = 180о (по свойству
смежных углов), тогда 3 =
=100о.
1 и 3 – соответственные
углы при прямых a и b и
секущей с, они равны,
значит, a||b.
d∩b, b||a, значит, по следствию
из аксиомы параллельных
прямых, d∩a.
Ответ: прямая d пересечёт
прямую a.
Домашнее задание
1.
§ 27, 28, вопросы 7-11.
2.
Решить задачи №196, 198, 200.
3.
Дополнительные задачи:
Задача 1.
Дано: a⊥c, b⊥c, d ∩ a.
Пересекает ли прямая d прямую b?
Почему?
Задача 2.
Дано: m ∩ DE.
Пересекает ли эта прямая прямую AB?
Почему?
Свойства параллельных прямых
Цели урока:
1. рассмотреть свойства параллельных
прямых;
2. показать учащимся применение
свойств параллельных прямых;
3. закрепить знание, умение, навыки
учащихся по теме «Аксиома
параллельных прямых»
Тест с последующей самопроверкой
1. Вычеркнуть лишние слова в скобках:
Аксиома – это (очевидные, принятые, исходные) положения
геометрии, не требующие (объяснений, доказательств,
обоснований).
2. Выбрать окончание формулировки аксиомы параллельных
прямых:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит:
а) только одна прямая, параллельная данной;
б) всегда проходит прямая, параллельная данной;
в) только одна прямая, не пересекающаяся с данной.
3. Что может быть следствием аксиомы или теоремы? Указать
неверные ответы.
а) Утверждение, не требующее доказательств.
б) Новая теорема, для доказательства которой использована
аксиома или теорема.
в) Утверждение, непосредственно выводимое из аксиомы или
теоремы.
4. Указать следствия аксиомы параллельных прямых:
а) Если отрезок или луч пересекает одну из параллельных прямых, то он
пересекает и другую.
б) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
друг другу.
в) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она
пересекает и другую.
г) Если три прямые параллельны, то любые две из них параллельны друг
другу.
д) Если две прямые не параллельны третьей прямой, то они не
параллельны между собой.
е) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она не
может не пересекать другую.
ж) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они не могут быть
не параллельны между собой.
5. Указать правильный ответ на вопрос.
Если через точку, лежащую вне прямой, проведено несколько прямых, то
сколько из них пересекаются с исходной прямой?
а) Неизвестно, т. к. не сказано, сколько прямых проведено через точку.
б) Все, кроме параллельной прямой.
в) Все, которые имеют на рисунке точку пересечения с исходной прямой.
Ответы к тесту
1. Следует вычеркнуть слова: очевидно,
принятые, объяснений, обоснований.
2. a
3. a, б
4. б, в, е, ж
5. б
Изучение нового материала
1. Решить задачу:
а)
Доказать: AB||CD
б)
Дано: AB||CD
Найти: EKC
Вывод: если две параллельные прямые пересечены третьей, то
накрест лежащие углы равны.
Это утверждение называют свойством накрест лежащих углов при
параллельных прямых и их секущей
2. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение.
Условие теоремы – это то, что дано, заключение – то, что требуется
доказать.
Название теоремы
Признак
параллельности
прямых
Формулировка теоремы Если при пересечении
двух прямых секущей
накрест лежащие углы
равны, то прямые
параллельны.
Свойство
параллельных
прямых
Если две
параллельные прямые
пересечены секущей,
то накрест лежащие
углы равны.
Условие (дано)
Прямые а, b, с –
секущая, 1, 2 –
накрест лежащие углы,
1= 2
Заключение (доказать)
a||b
Прямые а, b, с –
секущая, 1, 2 –
накрест лежащие углы,
a||b
1=
2
Вывод: теоремой, обратной данной, называется такая
теорема, в которой условием является заключение
данной теоремы, а заключением – условие данной
теоремы.
3.
- Методом доказательства от противного докажите
первое свойство параллельных прямых.
- Сформулируйте теорему, обратную признаку
параллельных прямых, использующему
соответственные углы. Дайте название полученной
теореме и докажите её.
- Сформулируйте теорему, обратную признаку
параллельных прямых, использующему
односторонние углы. Дайте название полученной
теореме и докажите её.
Закрепление изученного материала
Задача 1.
Дано: 1 = 75о, a||b.
Найти: 2, 3, 4.
Задача 2.
Дано: 1 + 2 = 160о,
a||b.
Найти: 3, 4, 5, 6
Домашнее задание
1.
2.
3.
§ 29, вопросы 12-15.
Решить задачи №202, 203.
Решить задачи по готовым чертежам:
Дано: a||b, 2 на 90о больше
Найти: 3.
Дано: 1: 2 = 2 : 7, a||b.
Найти: 3.
1.