многогранники XP98

Многогранники
Многогранник —
поверхность составленная из
многоугольников и
ограничивающая некоторое
геометрическое тело
Виды многогранников

Выпуклые:
расположен по одну
сторону от плоскости
каждой его грани
(тетраэдр, куб,
октаэдр, додекаэдр,
икосаэдр)

Невыпуклые, у
которых грани
пересекаются и
которые называются
«звездчатыми
многогранниками»:
(звёздчатый октаэдр,
додекаэдр, икосаэдр,
икосододекаэдр)
Правильные многранники:
тетраэдр

Тетра́эдр — многогранник
с четырьмя треугольными
гранями, в каждой из
вершин которого сходятся
по 3 грани. У тетраэдра 4
грани, 4 вершины и 6
рёбер.
Правильные многранники:
тетраэдр(развертка)
Правильные многранники:
тетраэдр
Правильные многранники: куб

Куб или гексаэдр —
правильный
многогранник,
каждая грань
которого
представляет собой
квадрат. Частный
случай
параллелепипеда и
призмы.
Правильные многранники:
куб(развертка)
Правильные многранники: куб
Правильные многранники:
октаэдр


Окта́эдр (греч.
οκτάεδρον, от греч. οκτώ,
«восемь» и греч. έδρα —
«основание») — один из
пяти правильных
многогранников.
Октаэдр имеет 8 граней
(треугольных), 12 рёбер,
6 вершин (в каждой
вершине сходятся 4
ребра).
Правильные многранники:
октаэдр(развертка)
Правильные многранники:
октаэдр
Правильные многранники:
додекаэдр



Додека́эдр (от греч. dodeka —
двенадцать и hedra — грань),
двенадцатигранник — правильный
многогранник, составленный из
двенадцати правильных
пятиугольников. Каждая вершина
додекаэдра является вершиной
трёх правильных пятиугольников.
Таким образом, додекаэдр имеет
12 граней (пятиугольных), 30
рёбер и 20 вершин (в каждой
сходятся 3 ребра. Сумма плоских
углов при каждой из 20 вершин
равна 324°.
Додекаэдр применяется как
генератор случайных чисел в
настольных ролевых играх, и
обозначается при этом d12.
Правильные многранники:
додекаэдр(развертка)
Правильные многранники:
додекаэдр
Правильные многранники:
икосаэдр

Икоса́эдр (от греч. εικοσάς,
«двадцать» и греч. -εδρον,
«грань», «лицо»,
«основание») —
правильный выпуклый
многогранник,
двадцатигранник, одно из
Платоновых тел. Каждая
из 20 граней представляет
собой равносторонний
треугольник. Число ребер
равно 30, число вершин —
12.
Правильные многранники:
икосаэдр(развертка)
Правильные многранники:
икосаэдр
Теорема Эйлера

Tеорема Эйлера говорит о
соотношении между
количеством вершин, ребер
и раней многогранника. Она
впервые появилась в
журнале Петербургской
Академии наук в работах
Леонарда Эйлера "Элементы
учения о телах" и
"Доказательство некоторых
замечательных свойств,
которым подчинены тела,
ограниченные плоскими
гранями".
Теорема Эйлера(формулировка)
В
любом
выпуклом
многограннике сумма числа
граней и числа вершин
больше числа ребер на 2
Теорема Эйлера(док-во)
Пусть В - число вершин выпуклого
многогранника, Р - число его ребер и Г - число
граней. Тогда верно равенство
В-Р+Г=2
Число х = В - Р + Г называется эйлеровой
характеристикой многогранника. Согласно
теореме Эйлера, для выпуклого многогранника
эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая
характеристика равна 2 для многих
многогранников, видно из следующей таблицы:
Теорема Эйлера(док-во)
Многогранник
В
Р
Г
х
тетраэдр
4
6
4
2
куб
8
12
6
2
n-угольная пирамида
n +1
2n
n +1
2
n-угольная призма
2n
3n
n +2
2
Теорема Эйлера(док-во)

Возьмем с наружи многогранника точку О
вблизи от какой-либо грани F и спроектируем
остальные грани на F из центра О (рис. 9). Их
проекции образуют разбиение грани F на
многоугольники. Подсчитаем двумя способами
сумму α углов всех полученных многоугольников
и самой грани F. Сумма угов n-угольника равна
π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней
(включая грань F). Сумма членов вида πn равна
общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь
каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А
так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г).
Теперь найдем сумму углов при каждой вершине
разбиения и сложим эти суммы. Если вершина
лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее
равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин
самой грани F, а значит, их вклад в равен 2π(В k). Углы при вершинах F считаются в сумме
дважды (как углы F и как углы многоугольников
разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким
образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2).
Приравнивая два результата и сокращения на 2π,
получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2.
Следствие из теоремы Эйлера
Следствие из теоремы Эйлера
Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её
помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в
центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема
Эйлера получила далеко идущие обобщения. Более того, эта
теорема открыла новую главу в математике, которая называется
топологией. Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из
неё несколько утверждений, относящихся к выпуклым
многогранникам:
1.Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г;
2.Г + 4≤ 2В и В + 4≤ 2Г;
3.У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная,
четырехугольная или пятиугольная грань, а также хотя бы один
трехгранный,
четырехгранный
или
пятигранный
пространственный угол;
4.Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π.
Звездчатые многогранники
Звёздчатый многогранник — это правильный
невыпуклый многогранник. Многогранники из-за
их необычных свойств симметрии исследуются с
древнейших времён. Также формы
многогранников широко используются в
декоративном искусстве.
Звездчатые многогранники
Звездчатые многогранники
Звездчатые многогранники
Применение многогранников в
жизни человека
Звездчатые многогранники очень декоративны,
что позволяет широко применять их в ювелирной
промышленности при изготовлении
всевозможных украшений. Применяются они и в
архитектуре. Многие формы звездчатых
многогранников подсказывает сама природа.
Снежинки — это звездчатые многогранники. С
древности люди пытались описать все возможные
типы снежинок, составляли специальные атласы.
Сейчас известно несколько тысяч различных
типов снежинок. Есть много видов звёздчатых
многогранников.
Применение многогранников в
жизни человека
Применение многогранников в
жизни человека
Применение многогранников в
жизни человека
Применение многогранников в
жизни человека