Рекурсия

Рекурсия
« Я оглянулся посмотреть,
не оглянулась ли она,
чтоб посмотреть,
не оглянулся ли я...»
М. Леонидов
Примеры рекурсий





Матрешка
Зеркало в зеркале
Телевизор в телевизоре
Задача о Ханойских башнях
Лингвистические рекурсии:
1. У попа была собака…
2. Дом, который построил Джек…
(Р. Бернс)
Рекурсивной называют
процедуру или функцию,
внутри которой происходит
обращение самой к себе, но
с другими параметрами.
Это прямая рекурсия.
Косвенной называется
рекурсия, когда две или более
процедуры или функции
вызывают друг друга.
Пример косвенного вызова
процедуры или функции:
процедура A вызывает процедуру
B, а процедура B вызывает
процедуру A
Структура описания
рекурсивных процедур
(функций) имеет следующий
вид:
<действия на входе в рекурсию>;
if <условие> then
<действия выхода из рекурсии>
else <вызов процедуры
(функции) с другими параметрами>
Рекурсия должна иметь условие
завершения, в ней должна быть
не рекурсивная ветвь.
В качестве <условие> выступают
граничные случаи параметров, при
которых результат работы рекурсии
известен.
Это условие завершения процесса
вхождения в рекурсию.
Механизм работы рекурсии
1.Со входом в рекурсию осуществляется
вызов процедур (функций), а для выхода
необходимо помнить, откуда пришли, т.е
помнить точки возврата (адреса).
2. Место хранения точек возврата
называется стеком вызова и для него
отводится определенная область
оперативной памяти.
Механизм работы рекурсии
3. В стеке запоминаются также значения
всех локальных переменных, т.е.
создается копия параметров процедур
(функций).
4. Стек ограничен! Возможно его
переполнение – это главный
недостаток рекурсии!
Вычисление факториала N!
0!=1!=1
2!=2=1!*2=1*2
3!=2!*3=1!*2*3=1*2*3
/………………………..
N!= 1*2*3*4*….*n
function fact(n:byte):longint;
begin
If (n=0)or (n=1)
then fact:=1
else fact:=fact(n-1)*n;
end;
Работа рекурсивной функции
для n=3
1. n=3
Fuction fact(3);
begin
fact:=3*fact(2);
end;
2. n=2
Fuction fact(2);
begin
fact:=2*fact(1);
end;
3. n=1
Fuction fact(1);
begin
fact:=1;
end;
Процедура ввода с клавиатуры
последовательности чисел
(окончание ввода - 0) и вывода ее
на экран в обратном порядке.
procedure solve;
var n:integer;
begin readln(n);
if n<>0 then solve;
write (n:5);
end;
Работа рекурсивной функции
для n=3
1. n=3
procedure solve;
var n:integer;
begin readln(3);
if 3<>0 then solve;
write (n:5);
end;
2. n=2
procedure solve;
var n:integer;
begin readln(2);
if 2<>0 then solve;
write (n:5);
end;
3. n=0
procedure solve;
var n:integer;
begin readln(0);
{if 0<>0 then solve;}
write (n:5);
end;
Поиск n-ного числа Фибоначи
(1,1,2,3,5,8,….)
Function fib (n:integer):integer;
begin
If n<=2 then fib:=1
else fib:=fib(n-1)+fib(n-2);
End;
Работа рекурсивной функции
для n=3
1. n=3
Function fib (3);
begin
If 3<=2 then fib:=1
else fib:=fib(2)+fib(1);
End;
2. n=2
Function fib (2);
begin
If 2<=2 then fib:=1;
End;
Найти сумму n членов
арифметической прогрессии(первый
член – а, разность – d)
Function sa (n,a:integer):integer;
begin
If n>0 then sa:=a+sa(n-1,a+d)
else sa:=0;
End;
Работа рекурсивной функции
для n=3
1. n=3
Function sa(3,a);
begin
If 3>0 then
sa:=a+sa(2,a+d);
2. n=2
Function sa (2,a+d);
begin
If 2>0 then
sa:=(a+d)+sa(1,a+2*d);
End;
End;
4. n=0
Function sa (0,a+d);
begin
sa:=0;
End;
3. n=1
Function sa (1,a+2*d);
begin
If 1>0 then
sa:=(a+2*d)+sa(0,a+d);
End;
Процедура, определяющая минимум
среди элементов массива а




a- глобальная переменная;
n – размерность массива;
если n>=2, то минимум среди a[n] и
минимума из первых n-1 элементов
массива
если n=1, то минимум равен a[1]
Procedure a_min(n:integer; var x:integer);
begin
if n=1 then x:=a[1]
else begin
a_min(n-1,x);
if a[n]<x then x:=a[n];
end;
end;
Работа процедуры для массива из
4-х чисел с элементами 3,1,-2,4
Прямой порядок
 a_min(4,x); n<>1
 a_min(3,x); n<>1
 a_min(2,x); n<>1
 a_min(1,x); n=1; x:=a[1]=3;
Обратный порядок
 n=2; a[2]<x; x:=a[2]=1;
 n=3; a[3]<x; x:=a[3]=-2;
 n=4; a[4]<x; x:=a[3]=-2;
Домашнее задание:


Для приведенных примеров прорисуйте
схемы работы процедур (функций) для
конкретных входных данных (не очень
больших!, иначе глубина рекурсии будет
очень большой)
Найти максимальный элемент в
глобальном одномерном массиве А.
Функция подсчета в строке суммы цифр
function f(s:string):integer;
var x,c,k:integer;
begin
n:=length(s);
if n=0 then f:=0
else begin val(s[n],x,c);
k:=0; if c=0 then k:=x;
s:=copy(s,1,n-1);
f:=f(s)+k
end;
end;
Процедура удаления из строки всех точек
procedure f(s:string);
begin
if length(s)>0 then begin
s:=copy(s,1,length(s)-1); f(s) end;
if s[length(s)]<>'.' then write(s[length(s)]);
end;

Фракталом называется множество, части
которого являются повторением образа
самого множества.
В данном рисунке 2 уровня, на каждом из которых
большая окружность окружена четырьмя
окружностями поменьше, каждая из меньших в свою
очередь окружена еще меньшими окружностями и
т.д. Алгоритм построения будет заключаться в
следующем:
• Написать процедуру изображения одной
окружности с четырьмя окружностями
поменьше
• Использовать эту процедуру с другими параметрами
для построения окружностей следующего уровня



Для построения каждого уровня необходимо знать
расстояние от центра большой окружности до малой
и радиус малой окружности. rm, rб, ro - радиус
малой окружности, радиус большой окружности и
радиус орбиты (т.е. расстояние от центра большой
окружности до малой) соответственно.
k1= rm / rб, k2= ro / rб. Задав значения k1, k2 можно
на каждом уровне вычислять расстояние от центра
большой окружности до малой и радиус малой
окружности.
Формальными параметрами процедуры являются:
х, у - координаты центра большой окружности
данного уровня, г - радиус большой окружности
данного уровня, г1 - радиус орбиты, n - номер
уровня. При каждом вызове процедуры номер уровня
уменьшается на 1 и выход из рекурсии
осуществляется при n=0.
uses graph;
var x, y, n, r, r1, gd, gm: integer; k1,k2:real;
procedure picture2(x,y,r,r1,n:integer);
var x1,y1, i: integer;
begin
if n>0 then begin circle(x,y,r); r1:=trunc(r*k2);
for i:=1 to 4 do
begin
x1 :=trunc(x+r1 *cos(pi/2*i));
y1 :=trunc(y+r1 *sin(pi/2*i));
picture2(x1,y1, trunc(r*k1),r1,n-1);
end;
end;
end;
begin x:=300; y:=200; k1:=0.3; k2:=2; readln(n); readln(r);
Gd :=detect; InitGraph(Gd, Gm,’ ‘); picture2(x,y,r,r1,n);
Readln; closegraph;
end.

Написать программу построения
следующего изображения:

В треугольнике проведены три средние
линии. В результате он разбивается на 4
новых треугольника. В каждом
треугольнике, кроме центрального, опять
проводятся средние линии и т.д.
uses graph;
var xa, xb, xc, ya, yb, yc, n, gd, gm,r: integer;
procedure triangle (xa,ya,xb,yb,xc,yc,n: integer);
var xp, xq, xr, yp, yq, yr: integer;
begin
if n>0 then begin {высчитываются координаты средних линий
треугольников}
xp:=(xb+xc) div 2; yp:=(yb+yc) div 2; xq:=(xa+xc) div 2;
yq:=(ya+yc) div 2;
xr:=(xb+xa) div 2; yr:=(yb+ya) div 2;
{рисуем средние линии треугольника}
line(xp,yp,xq,yq); line(xq,yq,xr,yr); line(xp,yp,xr,yr);
{рекурсивно вызываем алгоритм для новых треугольников}
triangle(xa,ya,xr,yr,xq,yq,n-1); triangle(xb,yb,xp,yp,xr,yr,n-1);
triangle(xc,yc,xq,yq,xp,yp,n-1);
end;
end;
begin xc;=300; yc:=0; xb:=600; yb:=400;
xa:=0; ya:=400;
readln(n);
Gd := Detect; lnitGraph(Gd, Grn, ‘’);
line(xa,ya,xb,yb); line(xb,yb,xc,yc);
line(xa,ya,xc,yc);
triangle(xa,ya,xb,yb,xc,yc,n); readln; closegraph;
end.
Дан линейный массив чисел,
записать его в обратном
порядке.
var A:array [1..10] of integer;
procedure invertItem(N1, M1:integer);
begin
t := A[N1]; A[N1] := A[M1] A[M1] := t inc(N1);
dec(M1); if N1 < M1 then invertItem(N1, M1)
end;
invertItem(1, 10);
Дан массив, напишите
рекурсивную программу для
вычисления суммы 1/a[i]
function summa(n: integer): real;
var S: real; begin if n = 0 then summa:=0
else begin S:=summa(n-1); summa:=S+1/a[n];
end; end;
Или
function s(r:integer):integer; begin inc(i); if
i<=10 then begin v:=v+r; s:=s(a[i]); end; end;
алгоритм вычисления
суммы элементов массива

function Summa(k:byte;x:Mas):integer; begin
if k=0 then Summa:=0 else
Summa:=x[k]+Summa(k-1,x) {если массив
пуст, сумма=0, иначе к предыдущей сумме
добавляем значение текущего элемента}
end;