Геометрия Тема: Параллелограмм Выполнила учитель математики РСШ: Гутникова Е. А.

Геометрия
Тема: Параллелограмм
Выполнила учитель математики
РСШ: Гутникова Е. А.
Цели и задачи
• Раскрыть содержание понятие
параллелограмма .
• Сформировать умение строить и
интерпретировать математическую
модель.
• Создать содержательную базу для
изучения других геометрических
фигур.
Определение:
Параллелограммом называется
четырехугольник,
противоположные стороны
которого попарно
параллельны.
Свойства параллелограмма:
• Диагональ делит
параллелограмм на два
равных треугольника.
• Противоположные
стороны
параллелограмма
равны.
• Сумма соседних углов
о
параллелограмма 180 .
• Диагонали
параллелограмма,
пересекаясь, делятся
пополам.
С
B
A
A  B  180o
D
Дополнительные свойства
параллелограмма
С
B
K
M
A
AB  BF
BM  AF
BM || DK
• Биссектриса угла
параллелограмма отсекает
от него равнобедренный
треугольник.
• Биссектрисы соседних
углов параллелограмма
перпендикулярны, а
биссектрисы
противоположных углов
параллельны или лежат на
одной прямой.
• Диагонали
параллелограмма делят его
на четыре равновеликих
треугольника.
D
• Высоты
B a С
параллелограмма
обратно
hb
пропорциональны
b
соответственным
b
ha
сторонам
параллелограмма.
• Высоты
A a D
параллелограмма,
1 1
опущенные из одной
a : b  : ;  (ha , hb )   A
вершины, образуют
ha hb
угол, равный угол
параллелограмма при
соседней вершине.
B
P
A
E
M
D
F
С
Q
Середина любого
отрезка с концами
на
противоположных
сторонах
параллелограмма
лежит на прямой,
проходящей через
середины двух
других сторон.
Признаки параллелограмма
• Если в четырехугольнике две
противоположные стороны равны и
параллельна,то это параллелограмм.
• Если в четырехугольнике
противоположные стороны попарно равны,
то это параллелограмм.
• Если в четырехугольнике диагонали,
пересекаясь, делятся пополам,то это
параллелограмм.
Периметр параллелограмма
P  2a  2b
Площадь параллелограмма
S  a  ha  b  hb
S  a  b  sin 
1
S  d 1  d 2  sin 
2
a
d1


d2
b
Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов его
четырех сторон.
d12  d 22  2a 2  2b 2
Ромб
• Ромбом называется параллелограмм,
все стороны которого равны.
Свойства ромба
• Диагонали ромба
взаимно
перпендикулярны.
• Диагонали ромба
лежат на биссектрисах
его углов.
• Высоты ромба равны.
• В ромб можно вписать
окружностьr  1 h  1 a sin A
2
2
• Ромб обладает всеми
свойствами
параллелограмма.
C
B
r
a
O
D
h
a
A
h  a sin A  a sin B  2r
Признаки ромба
• Если в параллелограмме диагонали
взаимно перпендикулярны, то это
ромб.
• Если диагональ параллелограмма
лежит на биссектрисе его угла, то это
ромб.
• Если стороны четырехугольника
равны, то это ромб.
Площадь ромба
1
S  ha  a sin A  d1d 2
2
2
Прямоугольник
• Прямоугольником называется
параллелограмм, у которого
все углы прямые.
Свойства прямоугольника
a
A
B
R
O
D

b
d
С
AC  BD  d
1
OA  OB  OC  OD  R  d
2
d 2  a 2  b2
• Диагонали
прямоугольника
равны.
• Около
прямоугольника
можно описать
окружность.
R
1
1 2
d
a  b2
2
2
• Прямоугольник
обладает всеми
свойствами
параллелограмма.
Признаки прямоугольника
• Если в параллелограмме диагонали
равны, то это прямоугольник.
• Если в параллелограмме один угол
прямой, то это прямоугольник.
• Если в четырехугольнике три угла
прямые, то это прямоугольник.
Площадь прямоугольника
S  ab
1 2
S  d sin 
2
a
B
a
o
d
Квадрат
С
a
45
A
a
d a 2
1
r a
2
1
a 2
R d 
2
2
D
• Квадратом называется
прямоугольник, у
которого все стороны
равны (ромб с
прямыми углами).
• Квадрат обладает
всеми свойствами
ромба и
прямоугольника.
• Квадрат правильный
четырехугольник.
Площадь квадрата
1
2
2
S a  d
2