Ломаные Многоугольники

24.01.13
Многоугольники
I. Устная работа
Определите какие геометрические фигуры
изображены:
Ломаные
Ломаной называется … фигура, образованная конечным
набором отрезков, расположенных так, что … конец первого
является началом второго, конец второго – началом третьего и
т.д.
Сами отрезки называются…сторонами ломаной, а их
концы – вершинами ломаной.
Ломаная обозначается …
последовательным указанием ее вершин
•ломаная АВСDE, ломаная A1A2…An.
Задание№1
1. Изобразите ломаную:
а) простую незамкнутую;
б) самопересекающуюся замкнутую;
в) простую замкнутую;
г) самопересукающуюся незамкнутую.
2. Определите число сторон простой ломаной, если
она имеет:
а) 5 вершин;
б) 22 вершины.
3. Простая ломаная имеет:
а) 7 сторон;
б) 36 сторон.
Найдите количество ее вершин.
4. Какая имеется зависимость между числом
вершин и сторон многоугольника?
- Как вы думаете, что называется длиной
ломаной?
Ответ. Длиной ломаной называется сумма
длин ее сторон
Назовите виды изображенных ломанных
- Чем отличаются ломаные на рисунках?
- На сколько частей разбивают плоскость простые
замкнутые ломаные на рисунке
Рис 2
Рис 1
Рис 4
Рис 3
Многоугольник
- Как назвать фигуру, состоящую из
простой замкнутой ломаной и
ограниченной ею внутренней областью
плоскости?
Многоугольники
Многоугольником называется … фигура, образованная
простой замкнутой ломаной и … ограниченной ею
внутренней областью.
Вершины ломаной называются … вершинами многоугольника.
Стороны ломаной называются … сторонами многоугольника.
Углы, образованные соседними сторонами называются …
углами многоугольника.
Многоугольник обозначается …
последовательным указанием его вершин.
Вопросы
- Как называется длина
ломаной,
ограничивающей
многоугольник?
- Чем отличаются
многоугольники,
изображенные на
рисунке ?
• Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну
сторону от любой прямой, содержащей его сторону
• Многоугольник называется невыпуклым, если прямая,
содержащая сторону многоугольника разбивает его на две
части.
Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Правильные многоугольники
• На рисунке 1 представлены правильный треугольник,
шестиугольник и четырехугольник.
Сформулируйте определение правильных
многоугольников?
Исследовательская работа
Работая в группа заполните таблицу.
Правильные
многоугольники
Чер Кол Кол- Сумма всех Градусная
теж -во во
внутр.угло мера внутр.
сто вер в
угла
рон шин
Градус
ная
мера
внешн.
угла
Количе
ство
диагона
лей
А)треугольник
3
3
180
60
120
0
Б) четырехугольник
4
4
360
90
90
2
В)пятиугольник
5
5
540
108
72
5
Г) шестиугольник
6
6
720
120
60
9
n
(n  2) 1800
Д) n -угольник
n
(n  2) 1800
n
360 0
n
(n  3)  n
2
Физминутка
Великий математик, механик и инженер древности
Архимед
(греч. Αρχιμήδης, родился 287 до н. э. - 212 до н. э.)
Периметр (сумма длин сторон)
правильного n-угольника при
заданном числе сторон n наиболее
близок к длине его описанной
окружности среди всех вписанных в
нее n-угольников; таким же
свойством он обладает и по
отношению к вписанной окружности.
Поскольку вычисление длины
окружности считалось в древности
весьма важной задачей, много усилий
было затрачено на то, чтобы
научиться оценивать периметр
вписанной в нее правильного
многоугольника при достаточно
больших n. Особенно преуспел в
этом Архимед.
Евклид
( родился в 330 году до н. э. в небольшом городке Тире, недалеко
от Афин).
Впрочем, правильные многоугольники
привлекали внимание древнегреческих
учёных задолго до Архимеда.
Пифагорейцы, в философии которых числа
играли главную роль, придавали очень
большое значение задаче о делении
окружности на равные части, т. е. о
построении правильного вписанного
многоугольника.
В «Началах» Евклида приводятся построения с
помощью циркуля и линейки правильных
многоугольников с числом сторон от трёх до
шести, а также пятнадцати угольника. Этим
последним особенно интересовались:
согласно измерениям древних астрономов,
угол наклона плоскости эклиптики к
экватору равнялся 1/5 полного угла, т.е.
24°(истинное значение чуть меньше -23°27').
Задача о построение правильных
многоугольников была полностью решена
лишь спустя два тысячелетия.
Знаменитый немецкий
математик К. Ф. Гаусс
(1777- 1855) доказал
следующую интересную
теорему:
Построение правильных
многоугольников с помощью циркуля
и линейки .
Задача: Построить правильный
шестиугольник и треугольник.
А так ли уж важно изучать и знать
сведения о правильных
многоугольниках? В каких житейских
ситуациях можно встретиться с
правильными многоугольниками?
Историческая справка.
В математике паркетом называют
«замощение» плоскости повторяющимися
фигурами без пропусков и перекрытий.
Простейшие паркеты были открыты
пифагорейцами около 2500 лет тому
назад.
Они установили, что вокруг одной точки
могут лежать либо шесть правильных
треугольников (360: 60 = 6), либо четыре
квадрата (360: 90 = 4), либо три правильных
шестиугольника (360: 120 = 3), так как
сумма углов с вершиной этой точки равна
360.
Вы не задумывались над таким вопросом:
Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на
сотах форму правильного шестиугольника?
Пчелы – удивительные творения природы. Свои
геометрические способности они проявляют
при построении своих сот.
Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее
экономно используют площадь внутри
небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
Причем пчелиные соты представляют собой не
плоский, а пространственный паркет, поскольку
заполняют пространство так, что не остается
просветов.
И как не согласиться с мнением пчелы из сказки
«Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по
законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид
мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».
Еще одна загадка
природы:
Почему в природе так
часто встречаются
шестиугольные
формы?
Платоновы тела
Платоновы тела - трехмерный аналог
плоских правильных
многоугольников.
Существует лишь пять выпуклых
правильных многогранников тетраэдр, октаэдр , икосаэдр ,куб и
додекаэдр. Доказательство этого
факта известно уже более двух
тысяч лет; этим доказательством и
изучением пяти правильных тел
завершаются "Начала" Евклида.
Существование только пяти правильных многогранников
относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы,
а затем Платон полагали, что материя состоит из
четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды
Согласно их мнению, атомы основных элементов должны
иметь форму различных Платоновых тел.
огонь
вода
воздух
земля
вселенная
тетраэдр
икосаэдр
октаэдр
гексаэдр
додекаэдр
Многогранники в искусстве
В эпоху Возрождения большой
интерес к формам правильных
многогранников проявили
скульпторы. архитекторы,
художники. Леонардо да Винчи
(1452 -1519) например, увлекался
теорией многогранников и
часто изображал их на своих
полотнах.
Он проиллюстрировал
правильными и
полуправильными
многогранниками книгу
Монаха Луки Пачоли ''О
божественной пропорции.''
Знаменитый художник,
увлекавшийся геометрией
Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в
известной гравюре
''Меланхолия ''.на переднем
плане изобразил додекаэдр.
Проект:
Великие
многоугольники
В чем величие многоугольников?
Почему в древности мыслители затратили много усилий
изучению правильных многоугольников?
Актуально ли сейчас знание свойств многоугольников?
В каких областях деятельности человек использует
многоугольники?
Как повлияло на развитие науки изучение многоугольников?
Какова значимость многоугольников в математике?
В чем красота правильных многоугольников?
сделай свой выбор!
Клуб исследователей по
интересам
«Историки» - изучение истории вопроса
«Мыслители» - решение задач на
построение правильных
многоугольников
«Исследователи природы» - изучение
многоугольников, встречающихся в
природе
«Практики» - применение
многоугольников в наше время
(создание «паркетов»)
«Программисты» - создание программы,
позволяющей построить правильный
многоугольник
Как мы будем работать
в проекте?
Работая в группах, мы:
• Узнаем как можно больше о свойствах и
способахмногоугольников.
• Будем использовать много разнообразных источников
информации
• Научимся решать типовые и практические задачи на
построение
• Попробуем себя в роли исследователей – выберем клуб
по интересам
• Представим результаты своей работы на конференции
по завершению проекта
План-график работы
1. Введение в проект
2. Освоение теории.
3. Погружение в задачи.
4. Учимся исследовать.
5. Представление
результатов. Подведение
итогов.
6. Рефлексия
1 неделя
1 неделя
2 неделя
2-3 неделя
3 неделя
3 неделя
План-график сдачи
творческих работ
Прием публикаций
Конференция
Тестирование
Контроль ЗУН
2-3 неделя
3 неделя
3 неделя
Помни!
1 из 1000 рождается гением,
1 из 100 000 проявляет свой талант
1 из 10 000 000 становиться
признаным Гением!
Не закапывайте
свой талант!