Открытый урок Теорема Пифагора

Пифагор - древнегреческий
ученый VI в. до н. э.
Исторический экскурс
Рассказ о Пифагоре
• Пифагор жил в
VI в. до н. э. в
Древней Греции
• Основал
философскую
школу –
пифагорейский
союз.
Краткая биография Пифагора
Пифагор (570 – 490 года до н.э.) – древнегреческий математик, философ.
Родился Пифагор в Сидоне Финикийском.
Факты биографии Пифагора не известны достоверно. О его жизненном пути
можно судить лишь из произведений других древнегреческих философов.
По их мнению, математик Пифагор общался с известнейшими мудрецами,
учеными того времени.
Известно, что долгое время Пифагор пробыл в Египте, изучая местные
таинства. Затем в биографии философа Пифагора произошла поездка в
Вавилон. Лишь после этого он вернулся на Самос. В то время там правил
Поликрат, из-за тиранической власти которого Пифагор вынужден был
покинуть Самос.
Пифагор обосновался на юге Италии. Философия Пифагора, его образ жизни
привлекли многих последователей. Сплотившись, они создали орден,
добившийся большой власти в Кортоне. Однако позже самому Пифагору
пришлось уехать в Метапонт, поскольку наряду с последователями, у
философа и ученого было много противников.
Как математик Пифагор достиг больших успехов. Ему приписывают открытие
и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора.
Известно, что члены его ордена занимались космологией, верили в
переселение душ. Философское учение Пифагора можно разделить на две
части – научную и религиозную.
Чему равна сумма квадратов
чисел?
а) 32+42 =
9+16=25
б) ( 5 )2+ ( 7 )2=
5+7=12
Верно ли решение?
32+42=(3+4)2
нет
Чему равно?
2
(а+в) =
2
2
а +2ав+в
Какой треугольник изображен
на рисунке?
Равнобедренный
Какой треугольник изображен
на рисунке?
а
а
а
Равносторонний
Какой треугольник изображен
на рисунке?
А
Прямоугольный
С
В
Как называются стороны этого
треугольника?
А
с
в
В
С
а
а, в – катеты,
с - гипотенуза
Найдите площадь
треугольника
1
S= (6*8)=24
2
А
6
С
В
8
Найдите
площадь квадрата
S=6*6=36
6
Найти высоту тополя, если
ширина реки 4 фута, а ствол
надломился на высоте 3 фута.
3
4
Теорема
Пифагора:
с
b
c² = a²+ b²
а
• В прямоугольном
треугольнике
квадрат
гипотенузы равен
сумме квадратов
катетов.
Дано:
АВС-треугольник,
С=900,
а,в-катеты,
С-гипотенуза
Доказать:
с2=а2+в2
А
с
в
В
С
а
Доказательство:
в
а
в
а
в
с
а
а
в
Начертим
прямоугольный
треугольник со
сторонами а, в, с.
Достроим
треугольник до
квадрата со
сторонами а+в.
Найдем площадь
этого квадрата
S=(а + в)2
В
в
а
в
А
а
c с
с
с
c
а
С
c
с c
в
в
а
D
С другой стороны
SABCD=4Sтр +Sкв
1
Sтр= 2 ав;
Sкв=c2
1
SABCD=4* ав+с2=2ав+с2
2 2
(а+в)2=2ав+с
а2+2ав+в2=2ав+с2
а2+в2=с2
ч.т.д.
«Пифагоровы штаны»
Формулы:
c2 = a2 + b2
a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2
сc
b
c  a 2  b2
a
a  c2  b2
b  c2  a2
Дано: Δ АСD;
 DAC = 900
AC = 3 фута;
AD = 4 фута;
CB = CD
Найти: АВ
В
С
А
D
АВ = АС + СВ – по свойству длин
отрезков.
АВ = АС + CD, т. к. СВ = CD по
условию.
CD2 = AC2 + AD2 - по теореме
Пифагора.
CD2 = 32 + 42; CD = 5
АВ = 3 + 5 = 8 футов.
Ответ: высота дерева 8 футов
Решение задач
Составьте по рисунку,
используя теорему
Пифагора, если это
возможно, верное
равенство
Х2=32+42.
Вычислите чему равна
гипотенуза?
5
Этот треугольник
называется
египетским.
Пифагор искал числовые отношения в геометрических
построениях.
Ему был известен так называемый
египетский треугольник со сторонами, выраженными
числами 3,4 и 5.
Египтяне знали, что это прямоугольный
треугольник, и применяли его для определения прямых углов
при восстановлении размываемых ежегодными разливами Нила
границ земельных участков.
Пифагор показал зависимость между сторонами
египетского треугольника, которая выражается
формулой:
3 4 5
2
2
2
Египетский треугольник
Землемеры Древнего
Египта для построения
прямого угла использовали бечёвку, разделённую узлами на 12 равных
частей.
Теперь прямоугольный треугольник со сторонами
выраженными натуральными числами, мы называем
пифагорейскими треугольниками.
9
5
40
41
5
3
4
13
29
12
20
21
Можно ли применять
теорему Пифагора к
этому треугольнику?
Нет. Так как этот
треугольник не
прямоугольный
Итак, вопрос:
На что надо обратить
внимание при
применении теоремы
Пифагора?
Чтобы использовать
теорему Пифагора, надо
убедиться, что
треугольник
прямоугольный.
Решение задач (устно)
?
?
15 см
8 см
25 см
6 см
6
10
х
6
х
Решение задач (в тетради)
Дано: a, b – катеты прямоугольного
треугольника, с – гипотенуза
1) a = 5 см, b = 12 см. Найти с.
2) b = 11 см, с = 20 см. Найти a.
3) a =
см, c = 7 см. Найти b.
4 2
А
B
12 см
D
C
?
5
B
C
13
А
Е
17
D
Домашнее задание:
п. 54, №483 (б, г),
485.
2
с
=
2
a
+b
2
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.
И. Дырченко
с
b
a