№664. Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ. М МАВ 90 , по свойству касательной 0 В О А АВ 2МАВ 0 0 АОВ 180 2 2(90 ) из АОВ Блиц-опрос. Найдите угол МАВ. М В 710 О А Блиц-опрос. Найдите угол МАВ. М В 1610 : 2 = 160060/ : 2 = 80030/ О А Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. В 860 2 = = 1720 О 860 А М Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. 44055/ 2 = 880110/ = 89050/ В О 44055/ А М №670. Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ2 = АР АQ. Р Q А В А общий 1 АВР ВР 2 1 Q ВР 2 АВР АQВ по 1 признаку подобия РВ ВQ АР = АВ = АВ АQ АВ2 = АР АQ. №671. Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите СD, если АВ=4 см, АС=2 см. C 6 ? D 2 А 4 В АВ2 = АC АD. 42 = 2 АD. АD = 8 №672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1, С1, а другая – в точках В2, С2. Докажите, что АВ1 АС1 = АВ2 АС2 А В1 В2 С1 АD2 = AB2 АC2 D С2 АD2 = AB1 АC1 = Свойство медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. С 2 АО СО ВО = = = 1 В О А1О С1О 1 В1 А1 О А 1 С1 В Теорема Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. В K А 1 2 М L С Обратная теорема Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. В K А М L С Следствие Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В K С1 А По теореме о биссектрисе угла ОМ=ОК ОМ О ОК =ОL ОL В1 А1 М L = 2 С По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С Определение Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. М С В a Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку. Теорема Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. М O A m B Обратная теорема Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. A O B N m Следствие Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. n B C О По теореме о р серединном перпендикуляре к отрезку m ОA ОA=ОB ОB =ОC ОC 3 A = По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС Теорема Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. С2 B A1 С1 A 4 В1 В2 А2 По теореме о серединных перпендикулярах: C серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения Точка пересечения Замечательные точки треугольника. Точка пересечения Точка пересечения серединных Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. В Точка пересечения O высот называется М ортоцентр. Т В С А O С А К Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. O Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. O Эта точка замечательная – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности.