21. Касательная и ее свойства

Взаимное расположение прямой и окружности
d
О
d>r
r
Окружность и прямая не имеют общих точек
Взаимное расположение прямой и окружности
d<r
d
О
r
Окружность и прямая имеют две общие точки.
Прямая называется секущей по отношению к
окружности.
Взаимное расположение прямой и окружности
d
О
d=r
r
Окружность и прямая имеют одну общую точку.
Прямая называется касательной по отношению к
окружности.
Свойство касательной.
В
А
r
О
АВ  r
Касательная к окружности перпендикулярна к
радиусу, проведенному в точку касания.
Даны прямоугольник АВСО, диагональ которого 12
см и угол между диагональю и стороной 300, и
окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из
прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по
отношению к этой окружности?
В
А
6
d
300
ОО
r5
С
№ 633 Даны квадрат АВСО, сторона которого 6 см, и
окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из
прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по
отношению к этой окружности?
В
А
6
d
С
ОО
rr
5
№ 634 Радиус ОМ окружности с центром О делит
хорду АВ пополам. Докажите, что касательная,
проведенная через точку М, параллельна хорде АВ.
Р
А
М
F
О
N
В
№ 635 Через точку А окружности проведены
касательная и хорда, равная радиусу окружности.
Найдите угол между ними.
Р
А
600 ?
О
N
В
№ 636 Через концы хорды АВ, равной радиусу
окружности, проведены две касательные,
пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.
А
600
?
О
600
В
С
№ 637 Угол между диаметром АВ и хордой АС равен
300. Через точку С проведена касательная,
пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что
треугольник АСD равнобедренный.
А
С
300
О
В
D
№ 638, дом.
Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в
точке В. Найдите АВ, если ОА = 2 см, а r = 1,5 см.
А
2
В
1,5
О
№ 639, дом.
Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в
точке В. Найдите АВ, если угол АОВ равен 600, а r = 12 см.
А
В
600
О
12
Свойство отрезков касательных
Отрезки касательных к окружности, проведенные из
одной точки равны и составляют равные углы с прямой,
проходящей через эту точку и центр окружности.
А
АВ  АС
ВАО  САО
С
О
Признак касательной.
В
А
r
a
АВ  r
900
c
О
О
930
890
b
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий
на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то
она является касательной.
Блиц-опрос
АВ – касательная.
АВ  ОК , по свойству касательной
А
К
4
3
О
В
С
2
Блиц-опрос
АВ – касательная.
АВ  ОК , по свойству касательной
А
5
О
В
Блиц-опрос
АВ – касательная, R = 6 см, АО = ОВ.
Найти ОА.
АВ  ОК , по свойству касательной
16
К
8
А
10
6
О
8
В
Блиц-опрос
М, N, K – точки касания. Найти РАВС.
В
отрезки касательных
4
ВМ = ВN
М
CK = CN
N
AM = AK
О
А
5
K
8
С
Блиц-опрос
СD – касательная, AE II CD, AB = 10 см.
Найти ОС.
АВ  ОК , по свойству касательной
C
D
4
B
5
5
А
О
4
K
E
5
5
=
OC
№ 640, дом. Даны окружность с центром О радиуса
4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные
к окружности. Найдите угол между ними, если ОА=9см.
А
9
С
4,5
О
№ 642, дом.
На рисунке ОВ = 3 см, ОА = 6 см.
Найти АВ, АС, 1 , 2 .
1
2
6
О
3
В
№ 641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных
к окружности с центром О, проведенными из точки А.
Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на
окружности.
О
С
№ 643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром
О в точках В и С. Найдите ВС, если ОАВ = 300, АВ = 5 см.
5
600
300
О
600
С