параллельного переноса

ТЕМА УРОКА :
ПРИМЕНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА
ПОСТРОЕНИЕ
ЦЕЛЬ УРОКА:
РАССМОТРЕТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА
ПОСТРОЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА
 ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
 МЕТОДА СИММЕТРИИ
 ПРИМЕНИТЬ ЭТИ МЕТОДЫ К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ НА ПРАКТИКЕ

Содержание урока
 Повторение
опорных знаний
 Методы построения
 Практическая
работа
ответьте на вопросы:
Что называется движением плоскости ?
2. Верно ли утверждение, что при движении любая
фигура отображается на равную ей фигуру?
3. Какое отображение плоскости называется
параллельным переносом? Является ли
параллельный перенос движением?
4. Какое отображение плоскости называется
центральной [осевой] симметрией? Является ли
симметрия движением?
1.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА
ПОСТРОЕНИЕ.
 Метод параллельного переноса
 Метод симметрии
На применении такого вида движения, как
параллельный перенос, основан приём для
решения задач на построение, известный
под названием метода параллельного
перенесения.
Сущность метода параллельного
переноса поясним на примере решения
следующей задачи.
 Задача.
Построить четырёхугольник, зная все его
стороны и отрезок, соединяющий
середины противоположных сторон
Анализ. Предположим, что искомый четырёхугольник ABCD
построен. EF – отрезок соединяющий середины противоположных
сторон АВ и CD.
1.осуществим параллельный перенос сторон АD и BС,
соответственно на вектор ВЕ и АD (при этом B E, C F).
2.Построим отрезки СС1и DD1. 4-х угольники АЕDD1 и ВСС1Е –
параллелограммы (докажите).
3.∆FDD1=∆FCC1(докажите).
С
4.ED1FC1-треугольник (докажите).
Построить треугольник по двум
В
сторонам (Е D1 =АD, и ЕС1= ВС) и
C1
медиане ЕF, проведенной к третьей
стороне.
F
5. Найдя  Е D1C1, строим
E
D1
∆FDD1 и ∆FCC1, а затем и весь
четырёхугольник АВСD.
А
D
Метод симметрии
Свойства осевой симметрии также могут быть
использованы при решении задач на построение.
Иногда искомый приём построения легко
обнаруживается, если перегнём часть чертежа
вокруг некоторой прямой так, чтобы эта часть
заняла симметричное положение по другую
сторону от этой прямой. Рассмотрим пример такой
задачи.
3адача.
На прямой АВ найти точку Х, чтобы сумма её
расстояний о т данных точек М и N была
наименьшая.
Анализ.
1. Если построим точку М1, симметричную точке М,
относительно прямой АВ.
2. МХ= М1Х., МХ1 = М1Х1 ,где Х, Х1 точки на АВ
3. МХ+ХN = М1Х+ХN, МХ1+Х1N =М1Х1+Х1N
4.из этих сумм наименьшей будет та, при которой линия
М1ХN прямая.
N
Построение . Построить перпендикуляр ОМ
из точки М к прямой АВ.
На продолжении перпендикуляра
за прямую АВ, отложить
отрезок ОМ1=ОМ,
Соединить отрезком
точки М1 и N. Точка Х
пересечения отрезка М1N с
прямой АВ – искомая
М
А
О
В
X1
X
М1
Справочник
 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Движение ( перемещение )
плоскости
– это отображение плоскости на
себя, сохраняющее расстояния
При движении
отрезок отображается на отрезок
Прямая отображается на прямую
Луч отображается на луч
Угол на равный ему угол
При движении любая фигура
отображается на равную ей фигуру
Параллельный перенос
Пусть а – данный вектор. Параллельным переносом
на вектор а называется отображение плоскости
на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку М1 , что вектор М
М1 равен вектору а.
Пример
Параллельный перенос
отрезка MN
на вектор а.
М1
N1
a
N
М
Параллельный перенос является движением
Центральная симметрия
 Две точки А и А1 называются симметричными
относительно точки О, если О – середина
отрезка АА1.
 Фигура называется симметричной относительно
точки О, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно точки О
также принадлежит этой фигуре.
 Центральная симметрия
плоскости является
О
движением.
А
А1
А
Осевая симметрия
 Две точки А и А1 называются симметричными
относительно прямой а, если эта прямая
проходит через середину отрезка АА1 и
перпендикулярна к нему.
 Фигура называется симметричной относительно
прямой а, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно прямой а
также принадлежит этой фигуре.
А
а
 Осевая симметрия является движением
А1
Построение угла равного данному
Проведём окружность произвольного радиуса
с центром в вершине А данного угла. Пусть С и В -точки
пересечения этой окружности со сторонами данного
угла.
2. Проведём окружность того же радиуса с центром в
начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D.
3. Построим окружность с центром D, радиус которой
равен ВС. Получим две точки пересечения с
окружностью с центром О.
4. Проведём луч через точку О и одну из точек
(Е)пересечения. ЕОD- искомый.
Е
С
1.
А
В
О
D
Построение биссектрисы угла
1. Проведем окружность произвольного радиуса с
центром
в вершине А.Она пересечет стороны угла в точках В и С.
2. Затем проведем две окружности радиуса ВС с
центрами в точках В и С.
Е
Они пересекутся в двух
точках. Ту точку, которая
лежит внутри угла
С
В
обозначим Е.
3. Луч АЕ будет
являться биссектрисой
А
угла ВАС.
Деление отрезка на две равные
части
1. Пусть АВ – данный отрезок. Построим
две окружности с центрами А и В радиуса
АВ. Они пересекаются в точках P и Q.
2. Проведем прямую PQ. Точка О пересечения
этой прямой с отрезком АВ и есть искомая
середина отрезка АВ.
P
О
В
A
Q
Построение перпендикуляра к прямой
1. На лучах прямой a, отложим равные отрезки
МА и МВ.
2. Построим две окружности с центрами А и В
радиуса АВ. Они пересекаются в точках P и Q.
3. Проведем прямую МР она и будет являться
P
перпендикуляром к прямой а.
M
a
В
A
Q
Через точку, не лежащую на данной прямой,
проведите с помощью циркуля и линейки прямую,
параллельную данной.
1.Пусть М - данная точка, расположенная вне данной прямой
р . Возьмем на прямой р произвольные точки А и В.
2. Отложим от луча МА в полуплоскости, не содержащей
точку В , угол АМN , равный углу МАВ.
3. По признаку параллельности прямых прямая МN
параллельна данной прямой р , т.к. при пересечении этих
двух прямых прямой АМ образуются равные внутренние
накрест лежащие углы.
р
N
М
А
В
Построение треугольника по двум
сторонам и углу между ними.
1. Отложим от произвольного луча угол, равный
данному,
2. На сторонах угла отложим от вершины отрезки,
равные данным сторонам.
Построение треугольника по
трём сторонам
Если сумма двух меньших отрезков больше третьего, то
вершинами искомого треугольника являются точки
пересечения окружностей с центрами в концах одного
из отрезков и радиусами равными каждому из двух
других отрезков. В этом случае задача имеет два
решения (равные треугольники).
С
 АВС и  АВС1
а
с
в
с
в
А
В
а
С1
 Метод параллельного перенесения
 Метод симметрии
З
а
д
а
ч
и
1.1Постройте трапецию по основаниям и боковым
сторонам.
1.2Постройте трапецию по основаниям и диагоналям
1.3 С помощью циркуля и линейки постройте
четырехугольник по четырем углам и сторонам АВ =а
и СD= b .
1.4 С помощью циркуля и линейки постройте отрезок,
равный и параллельный данному, так, чтобы его
концы лежали на двух данных окружностях.
1.5 С помощью циркуля и линейки постройте отрезок,
равный и параллельный данному, так, чтобы его
концы лежали на данной прямой и на данной
окружности
1.6В каком месте следует построить мост MN через
реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы
путь AMNB из деревни A в B деревню был кратчайшим
(берега реки считаются параллельными прямыми,
мост предполагается перпендикулярным к реке).
1.7 Постройте треугольник по двум сторонам и
биссектрисе, проведенным из одной вершины
 2.1С помощью циркуля и линейки постройте остроугольный
З
а
д
а
ч
и
треугольник по основаниям двух его высот и прямой,
содержащей третью высоту.
 2.2Точки M и N расположены по одну сторону от прямой ℓ .
Как из точки M направить луч света, чтобы он, отразившись от
прямой ℓ , попал в точку N ?
2.3Точки M и N расположены по разные стороны от прямой ℓ.
Постройте на прямой ℓ такую точку K , чтобы разность
отрезков MK и NK была наибольшей.
2.4 Внутри острого угла даны точки M и N. Как из точки M
направить луч света, чтобы он, отразившись последовательно
от сторон угла, попал в точку N?
2.5Внутри угла даны точки M и N. Постройте на сторонах угла
точки K и L так, чтобы периметр четырехугольника MKLN
был наименьшим.
2.6 Точки A и B лежат по разные стороны от прямой ℓ . С
помощью циркуля и линейки постройте на этой прямой точку
M так, чтобы прямая ℓ делила угол AMB пополам.
2.7 С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису
данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.
1.1
У
к
а
з
а
н
и
я
 1.1Предположим, что трапеция ABCD
построена ( AD и BC - основания, и AD> BC).
 Сместим АВ параллелельным переносом на
вектор ВС так, что А К и В С ( K- точка на
основании AD). Треугольник CKD можно
построить по трем сторонам.
В
А
С
К
D
1.2
У
К
А
З
А
Н
И
Я
Предположим, что трапеция ABCD построена,
AD и BC- основания, AC и BD- диагонали.
Проведем через вершину C прямую,
параллельную диагонали BD, и обозначим
точку пересечения этой прямой с
продолжением AD через K. Поскольку DK= BC
то треугольник AKC можно построить по трем
сторонам
В
А
С
D
K
1.3 Рассмотрим случай, когда в четырехугольнике нет параллельных
сторон. Пусть пересекаются лучи BA и CD. Предположим, что
нужный четырехугольник ABCD построен. Пусть B1- образ
вершины B при параллельном переносе на вектор AD. Тогда DB1=
У
AB. Поэтому в треугольнике DB1C известны две стороны DB1 и
К
DCи угол между ними B1DC= ADC- ADB1= ADC – (180 – DAB
А  Отсюда вытекает следующий способ построения.
Строим треугольник DB1C. Затем в полуплоскости, содержащей
З
точку B1, откладываем от лучей DCи CD
А углы CDX=D и DCY=C. Затем
А
через точку B1 проводим прямую, Х
D
параллельную прямой DX. Эта
И прямая пересекает прямую CY в
Я искомой вершине B, а прямая,
проходящая через точку B ,
Y
параллельно DB1, пересекает
Н
прямую DX в искомой вершине A.
В
В1
С
1.4
У
К
А
З
А
Н
И
Я
Предположим, что нужный отрезок с концами на данных
окружностях S и S1, параллельный и равный данному
отрезку MN, построен.
При параллельном переносе на вектор AB, равный
вектору MN(NM), окружность S1 перейдет в равную ей
окружность S , проходящую через точку B.
Следовательно, точка B- одна из точек пересечения
окружностей S и S2.
 способ построения.
Строим образ S окружности S1 при параллельном
переносе на вектор MN(NM).Каждая точка пересечения
окружностей S и S2- конец искомого отрезка.
Если ни в одном из случаев окружности S и S2 не
пересекаются, то задача не имеет решений.
Предположим, что задача решена. Пусть AB- один из
отрезков, равных и параллельных данному отрезку MN,
1.5
причем точка A лежит на данной окружности S с
центром O, а точка B- на данной прямой l.
У При параллельном переносе на вектор AB, равный
вектору MN, точка A перейдет в точку B, а окружность
К
S- в окружность S1 причем точка B- одна из точек
пересечения окружности S1 с прямой l.
А
 способ построения.
З Пусть MN- данный отрезок. Построим образ S1 данной
окружности S при параллельном переносе на вектор
А
MN ( NM). Пусть B- одна из точек пересечения
Н
окружности
И S1с данной прямой l.
Тогда прообраз A
Я точки B при это
параллельном
переносе есть
второй конец
1.6 Предположим, что некоторое положение моста найдено.
При параллельном переносе на вектор MN получаем
A A1 , M
N. Тогда
У AM + MN + NB = AA1 + A1N + NB AA1 + A1B
(неравенство треугольника). Причем равенство
К достигается, если точки A1, N и B лежат на одной
прямой, т.е. BN  AM.
А  способ построения.
З Отложим от точки A отрезок AA1, по величине равный
ширине реки и перпендикулярный к ее направлению;
А соединим точку A1 с A
Н точкой В ;точка N
А полученная при
A1
И пересечении A1B с
M
Я более близким к B
берегом реки,
N
определит положение
B
моста.
2.1 Предположим, что нужный треугольник АВС построен.
Пусть В1и С1- данные основания его высот ВВ1и СС1, а
высота АА1 лежит на данной прямой l. Тогда
А1В1С1- ортоцентрический треугольник АВС.
У
Следовательно, лучи А1А, В1В и С1С- биссектрисы
К
углов А1В1С1.
А  способ построения.
Строим точку М, симметричную точке С1 относительно
З
данной прямой l. В1М∩ l.
l
А
Через
точки
А
,
В
и
С
А
1
1
1
проводим прямые,
Н соответственно
И перпендикулярные
В1
биссектрисам углов
Я А 1 , В 1 и С1
С1
А1В1С1
м
в
с
2. Задача сводится к построению на прямой l такой точки
K, чтобы прямые MK и NK составляли с прямой l
2
равные углы (угол падения равен углу отражения).
Пусть N1 - точка, симметричная точке N относительно
У прямой l, K- искомая точка. Тогда для любых точек P и
К Q прямой l, лежащих по разные стороны от точки K,
MKP= N1KQ=NKQ.
А
 Способ построения
З Строим точку N1, симметричную точке N относительно
прямой l.
А N М∩
M
l=К.
1
N
Н
И
Я
l
Р
К
Q
N1
2. Пусть N1 - точка, симметричная точке N относительно
прямой l. Предположим, что прямая MN1 пересекает
3
прямую l в точке К. Докажем, что точка K- искомая.
Пусть P- произвольная точка прямой l, отличная от K.
У Тогда
К MK - NK = MK – N1K = MN1 > MP – N1P= MP – NP
А Способ построения
М
Построим точку N1,
З симметричную точке N
N1
А относительно прямой l.
MN1∩l = K
Н
l
P
К
И
Я
N
Задача не имеет решений, если прямая MN параллельна
прямой l.
2.4
У
К
А
З
А
Н
И
Я
 Пусть луч отразился от одной стороны угла в точке К,
а затем от другой - в точке L. Отразим точку M
симметрично относительно первой стороны угла, а
точку N- относительно второй, получив точки M1 и
N1 соответственно. Тогда точки M1, K, L и N1 лежат
на одной прямой.
 способ построения
A
Построим точку N1,
N1
симметричную точке N
относительно прямой OA.
L
N
Построим точку M1,
симметричную точке M
M
относительно прямой OB.
NN1∩OA = L
O
B
MM1∩OB= K
K
M1