Равнобедренные треугольники

Равнобедренные треугольники
Треугольник называется равнобедренным, если у него …
две стороны равны (рис. 1).
Эти равные стороны называются … боковыми сторонами,
а третья сторона – основанием.
Треугольник называется равносторонним, если у него …
все стороны равны (рис. 2).
Теорема
В
равнобедренном
треугольнике
биссектриса,
проведенная к основанию, является одновременно
медианой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC –
равнобедренный треугольник, AC = BC,
CD – биссектриса. Тогда треугольник
ACD равен треугольнику BCD по
первому признаку равенства
треугольников (АС = ВС, СD – общая
сторона, ACD = BCD). Следовательно,
имеют место равенства: AD = BD,
угол ADC равен углу BDC. Первое из
этих равенств означает, что CD является
медианой данного треугольника, второе
– что CD является его высотой.
Упражнение 1
На рисунке AB = BC. Докажите, что угол 1 равен углу 2.
Решение: Треугольник ABC – равнобедренный, так как AB = BC.
Следовательно, угол BAC равен углу BCA, как углы при основании
равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что угол 1 равен
углу 2 как смежные углы соответственно равным углам.
Упражнение 2
В треугольнике CDE угол 1 равен углу 2. Верно ли утверждение о
том, что это равнобедренный треугольник?
Ответ: Да.
Упражнение 3
В треугольнике FGH угол 1 равен углу 2 и равен углу 3. Верно ли
утверждение о том, что это треугольник: а) равнобедренный; б)
равносторонний; в) правильный?
Ответ: а), б), в) Да.
Упражнение 4
Периметр равнобедренного треугольника равен 2
м, а основание - 0,4 м. Найдите боковую сторону.
Ответ: 0,8 м.
Упражнение 5
Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5
м, а боковая сторона - 2 м. Найдите основание.
Ответ: 3,5 м.
Упражнение 6
Периметр равнобедренного треугольника равен
15,6 м. Найдите его стороны, если: а) основание
меньше боковой стороны на 3 м; б) основание
больше боковой стороны на 3 м.
Ответ: а) 3,2 м; 6, 2 м; 6,2 м;
б) 7,2 м; 4,2 м; 4,2 м.
Упражнение 7
Основание и боковая сторона равнобедренного
треугольника относятся как 3:8. Найдите стороны
этого треугольника, если его периметр равен 38 см.
Ответ: 6 см; 16 см; 16 см.
Упражнение 8
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием
АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если
периметр треугольника АВС равен 50 м, а
треугольника АВD - 40 м.
Ответ: 15 м.
Упражнение 9
Докажите, что середины сторон равнобедренного
треугольника
являются
вершинами
также
равнобедренного треугольника.
Доказательство: Пусть треугольник ABC равнобедренный (AC =
BC). N, M, K – середины сторон. Тогда треугольники AMN и BMK
равны по первому признаку и, следовательно, NM = MK, т.е.
треугольник NMK равнобедренный.
Упражнение 10
В треугольнике АВС АВ = АС и угол 1 равен углу 2. Докажите, что
угол 3 равен углу 4.
Решение: Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку
равенства треугольников (AB = AC, угол BAE равен углу CAD, угол
ABE равен углу ACD). Следовательно, угол AEB равен углу ADC,
значит, угол 3 равен углу 4.
Упражнение 11
На рисунке AD = AE, угол CAD равен углу BAE. Докажите, что BD
= CE.
Решение: Треугольники ACD и AEB равны по второму признаку
равенства треугольников (AD = AE, угол CAD равен углу BAE,
угол ADC равен углу AEB). Следовательно, CD = BE и, значит, BD
= CE.
Упражнение 12
На рисунке CD = BD, угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол
ACB равен углу ABC.
Решение. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку
равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD, угол
ADB равен углу ADC). Следовательно, равны соответствующие
стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC
равнобедренный и, значит, угол ACB равен углу ABC.
Упражнение 13
На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 5 равен углу 6. Докажите,
что угол 3 равен углу 4.
Решение. Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку
равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу
ABD, угол BAC равен углу BAD). Следовательно, равны
соответствующие стороны BC и BD этих треугольников.
Треугольник BCD равнобедренный и, значит, угол 3 равен углу 4.
Упражнение 14
На рисунке АВ = AD и DC = BC. Докажите, что угол ABC равен
углу ADC.
Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник ABD равнобедренный
(AB = AD). Следовательно, угол ABD равен углу ADB. Треугольник
CBD равнобедренный (CB = CD). Следовательно, угол CBD равен
углу CDB. Значит, угол ABC равен углу ADC.
Упражнение 15
На рисунке DC = BC и угол B равен углу D. Докажите, что АВ
= AD
Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник BCD равнобедренный
(BC = DC). Следовательно, имеет место равенство углов DBC и
BDC. Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует
равенство углов ABD и ADB. Значит, треугольник ABD –
равнобедренный и, следовательно, АВ = AD.
Упражнение 16
На рисунке AB = BC, CD = DE. Докажите, что угол BAC равен
углу CED.
Решение. Треугольник ABC – равнобедренный и, следовательно,
угол BAC равен углу BCA. Треугольник CDE – равнобедренный и,
следовательно, угол DCE равен углу DEC. Углы BCA и DCE равны
как вертикальные. Следовательно, угол BAC равен углу DEC.
Упражнение 17
На рисунке AB = BC, угол 1 равен углу 2. Докажите, что AD =
CD.
Решение.
Проведем
отрезок
AC.
Треугольник
ABC
равнобедренный (AB = BC). Следовательно, угол BAC равен углу
BCA. Из этого равенства и равенства углов 1 и 2 следует
равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC
равнобедренный и, следовательно, AD = CD.
Упражнение 18
Докажите, что медианы равнобедренного
проведенные к его боковым сторонам, равны.
треугольника,
Решение. Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = BC),
AN и CM – медианы. Тогда AM = CN и треугольники ACM и CAN
равны по первому признаку. Следовательно, AN = CM.
Упражнение 19
На сторонах правильного треугольника АВС отложены равные
отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками.
Докажите, что треугольник DEF правильный.
Решение. Треугольники ADF и BED равны по первому признаку
равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу
B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED
= FE.
Упражнение 20
На продолжении сторон правильного треугольника АВС
отложены равные отрезки AD, BE и CF. Докажите, что
треугольник DEF правильный.
Решение. Треугольники ADF и BED равны по первому признаку
равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу
B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED
= FE.