Поверхности вращения
реклама
1. Образование, задание и изображение поверхностей на чертежах - определитель поверхности - классификация поверхностей - способы задания поверхностей 2. Поверхности вращения 2.1. Цилиндр 2.2. Конус 2.3. Шар 2.4. Тор 3. Гранные поверхности и многогранники Содержание В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек. В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Эту линию называют образующей поверхности. Движение образующей подчинено какому-либо закону или может быть произвольным Закон перемещения образующей может быть задан тоже линиями, но иного направления, чем образующая. Эти линии называют направляющими. Совокупность нескольких последовательных положений образующей (а) и направляющих (m, n) создает каркас поверхности. m n ai a В зависимости от формы образующей все поверхности можно разделить на линейчатые (образующая – прямая линия) и нелинейчатые (образующая – кривая линия). Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности) - Классификация поверхностей по закону движения образующей различают поверхности с поступательным движением образующей (поверхности параллельного переноса), вращательным и винтовым; - по виду образующей поверхности бывают линейчатые (с прямолинейной образующей) и нелинейчатые (поверхности с криволинейной образующей); - по закону изменения формы образующей – поверхности с образующей постоянного или переменного вида; - по признаку развертывания поверхности на плоскость (возможности совмещения всех точек поверхности с плоскостью) различают развертываемые и неразвертываемые поверхности. Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: - геометрической (основные геометрические элементы и соотношения между ними); - алгоритмической отдельных точек поверхности). (закон построения и линий данной Поверхность задана проекциями геометрических элементов её определителя i2 a2 х i1 a1 a) Способы задания поверхностей Основные: - аналитический – поверхность рассматривается как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению, т.е. поверхность задается уравнением F(x,y,z)=0; - каркасный – поверхность рассматривается как совокупность плотной сети линий определителя или других линий, определяющих поверхность. Эта сеть линий называется каркасом; - кинематический – поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии. В этом случае поверхность задается её определителем (образующей и направляющей). Поверхность вращения общего вида Это поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси. Определитель поверхности вращения: Ф(а, i)[А], где a – образующая; i – ось вращения; [А] – условие о том, что образующая вращается вокруг оси. Каждая точка образующей а (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. • • • • • Наибольшую и наименьшую параллель называют соответственно экватором и горлом (шейкой). Плоскости α, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность — меридианами. Меридиональную плоскость α1, параллельную плоскости проекции, принято называть главной меридиональной плоскостью, а линию ее пересечения с поверхностью вращения — главным меридианом. Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства: плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели; плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – по меридианам. Проекции каркаса поверхности вращения на комплексном чертеже выполняются двумя проекциями направляющей, образующей и очерка поверхности. Контур и очерк поверхности Коническая и цилиндрическая поверхности вращения образуются при вращении прямой а вокруг оси i. При этом, если пересечение образующей а с осью i происходит в собственной точке – образуется коническая поверхность, если точка пересечения несобственная – цилиндрическая поверхность. Цилиндр Геометрический объект, ограниченный цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, называемыми основаниями. В зависимости от угла наклона образующих цилиндрической поверхности к основанию различают прямой цилиндр (угол наклона 90) и наклонный. а б а – проекционный чертеж; б – аксонометрия Построение проекций точки, лежащей на поверхности цилиндра А2 А1 А3 Конус геометрический объект, ограниченный конической поверхностью и плоскостью, называемой основанием или двумя плоскостями (усеченный конус). Конус может быть прямым или наклонным. а б Прямой круговой конус: а – проекционный чертеж; б – аксонометрия Построение проекций точки, лежащей на поверхности конуса А2 А3 А1 Сфера множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O. Сферу обозначают: ω (O, R). Можно определить сферу и как поверхность, образованную при вращении окружности вокруг своего диаметра. Шар – геометрический объект, образованный вращением круга вокруг его диаметра. Шар При сжатии или растяжении шар преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей. Если вращение происходит вокруг большой оси, то эллипсоид называется вытянутым; если вокруг малой – сжатым, или сфероидом. Тор Поверхность тора может быть получена при вращении окружности вокруг оси, принадлежащей плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр. В зависимости от соотношения величин R – радиуса образующей окружности и расстояния t от центра до оси вращения, поверхность тора подразделяют на: открытый тор (кольцо) – R< t, окружность не пересекает ось вращения; закрытый тор – R≥ t, окружность пересекает ось вращения или касается ее. R t а Тор: а– проекционный чертеж; б – аксонометрия Поверхности вращения, образованные кривыми второго порядка: параболоид вращения – вращение параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный – вращение гиперболы вокруг мнимой оси; гиперболоид вращения двуполостный – вращение гиперболы вокруг действительной оси. Параболоид вращения m Однополостный гиперболоид вращения Двуполостный гиперболоид вращения Сечение цилиндра проецирующей плоскостью В сечении кругового цилиндра плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получиться: прямоугольник – секущая плоскость параллельна оси цилиндра; окружность – секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра; эллипс – секущая плоскость расположена к оси под углом, отличным от прямого. Конические сечения плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью. За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (IV в. до н. э.). Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце IV в. до н. э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые «Конические сечения» Аполлония Пергского, которые сохранились до нашего времени. В частных случаях: окружность, прямая, две пересекающиеся прямые и точка. φ>α Эллипс ФП 2 Эллипс φ S2 Гипербола Окружность φ=90 Эллипс φ>α - Эллипс α φ<α Гипербола Парабола φ=α Конические сечения Если плоскость Ф пересекает все образующие конической поверхности, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс. В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конической поверхности. В частном случае (φ=90) такая плоскость пересекает поверхность конуса по окружности; и сечение вырождается в точку, если плоскость проходит через вершину конической поверхности. Конические сечения Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ = α, то линией пересечения является парабола. В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую. Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси), т.е. φ < α, то линией сечения является гипербола. В случае прохождения плоскости через вершину поверхности конуса линией сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые. Пересечение шара фронтально проецирующей плоскостью Пересечение шара фронтально проецирующей • плоскостью Окружность, по которой плоскость α пересекает шар, проецируется на плоскости П1 и П3 в виде эллипса, а на плоскость П2 – в прямую линию, ограниченную очерком сферической поверхности. Обозначим опорные для построения точки и охарактеризуем их: – точки 1 и 8: это две вершины эллипса, определяющие положение малой оси; их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы, а горизонтальные проекции являются соответственно высшей и низшей точками сечения; – точки 2 и 3: фронтальные проекции их лежат на вертикальной оси шара, а профильные проекции – на очерке сферы и определяют зону видимости при построении эллипса на П3; точки 4 и 5: это две вершины эллипса, указывающие на положение большой оси эллипса; положение их фронтальных проекций определяется перпендикуляром, опущенным из центра шара к следу плоскости α; точки 6 и 7: фронтальные проекции их лежат на горизонтальной оси шара, т.е. принадлежат экватору; их горизонтальные проекции лежат на очерке сферы и определяют зону видимости при построении эллипса на П1. линия пересечения плоскости α и шара на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α2 , на котором, отмечаем точки 12,..,82. для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β – горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 22 и 32 проведем след плоскости β12; на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β1 и сферы будет окружность β11, точки 21 и 31 лежат на этой окружности, их положение определяется по линиям связи (в данном случае это осевая линия). Таким образом находятся все точки, кроме 11 и 81, которые, ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы, принадлежат горизонтальной осевой линии на плоскости П1. Построенные точки 11,..,81соединяем плавной кривой линией с учетом видимости. Гранные поверхности и многогранники Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. S - вершина Ребро l Грань l m m S Определитель пирамидальной поверхности: l э S; l ∩m. Определитель призматической поверхности: l //S; l ∩m. Многогранник – геометрический объект, ограниченный замкнутой поверхностью, образованной совокупностью плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного). Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники и их разновидности. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные (конгруэнтные) многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой. Тела Платона Тетраэдр – правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками. Это правильная треугольная пирамида. Гексаэдр – правильный шестигранник. Это куб, ограниченный шестью равными квадратами. Октаэдр – правильный восьмигранник, ограниченный восемью равносторонними и равными между собой треугольниками, соединенными по четыре у каждой вершины. Додекаэдр – правильный двенадцатигранник, ограниченный двенадцатью правильными и равными пятиугольниками, соединенными по три у каждой вершины. Икосаэдр – правильный двадцатигранник, ограниченный двадцатью равносторонними и равными треугольниками, соединенными по пять у каждой вершины. Чертежи призмы и пирамиды Призма – многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы. Призма называется прямой, если ее ребра перпендикулярны плоскости основания. X а б Призма: а – проекционный чертеж; б – аксонометрия Пересечение многогранников плоскостью и прямой линией При пересечении гранной поверхности с плоскостью получается плоская ломаная линия. Для ее построения достаточно определить точки пересечения ребер и сторон основания, если имеет место пересечение основания, и соединить построенные точки с учетом их видимости. Фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют многоугольником (фигурой) сечения. Число сторон многоугольника сечения равно числу граней многогранника, пересекаемых секущей плоскостью. Пирамида – это многогранник, одна грань которого многоугольник (основание), а остальные боковые грани треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. X а б Пирамида: а– проекционный чертеж; б – аксонометрия 4 2 5 1 P2 3 32 (42) 43 2 22 52 33 23 53 12 13 Px 51 P1 4 41 z 3 5 11 21 2 31 1 x y S2 S3 P2 33 32 22 (42) 43 13 12 Px 4 41 1 3 11 2 S1 31 21 P1 z 4 3 2 1 x y 23 Чтобы построить точку (точки) пересечения прямой с поверхностью, нужно - заключить прямую во вспомогательную плоскость, - определить линию пересечения плоскости и поверхности, - а затем точку (точки), в которой заданная прямая пересекается с линией пересечения. Развертки многогранников Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью. Развертки пирамидальных поверхностей строятся способом триангуляции (способом треугольников). Построение разверток сводится к многократному построению истинных величин треугольников, из которых состоит поверхность развертываемой пирамиды. РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКОВ Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся. Основные свойства развертки: длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической. 4 3 4 1 3 2 1 3 2 4 1 1 5 3 2 1
