Характеристики хаоса

Характеристики хаоса
1. Инвариантное распределение
Поскольку при итерациях в хаотическом режиме последовательность xn
покрывает целый интервал значений, их приходится характеризовать методом,
заимствованным из статистической физики, а именно с помощью плотности
распределения вероятности.
Пусть мы имеем ансамбль из N отображений, стартующих с различных
начальных условий. Тогда для фиксированного момента времени мы можем
построить распределение величины xn : P(x, n).
Может оказаться, что для достаточно больших n распределение сходится к
некоторому P(x), уже не зависящему от времени. Такое распределение называют
стационарным. Если к тому же распределение P(x) достигается независимо от
разброса начальных условий, то такое распределение называют
инвариантным. В предположении бесконечно большого N
используют
понятие функции плотности вероятности, нормированной на единицу:
P(x)dx1,
где интегрирование проводится по всем возможным x.
Смысл данной функции заключается в том, что P(x)dx есть относительное
число отображений, состояние которых попадает в интервал [x; x+dx]. Для ряда
систем функция плотности распределения вероятности P(x) может также
трактоваться как относительное время пребывания индивидуальной системы в
состоянии x. Такие системы называются эргодическими. Концепция
эргодичности была введена Л. Больцманом при обосновании термодинамики и
означает эквивалентность усреднения по времени усреднению по ансамблю,
отвечающему инвариантному распределению.
Будем считать, что мы имеем дело с эргодическими системами. Тогда
распределение P(x) для логистического отображения xn+1 = xn(1 – xn) в
хаотическом режиме можно получить численно, путем разбиения всего
интервала (0; 1) на достаточно малые отрезки x и затем суммируя попадания
xn в них в течение достаточно длительного времени наблюдения:
M ( x  ( x , x  x ))
,
 x 0 n 
nx
P( x )  lim lim
где M – количество попаданий в интервал (x, x + x).
Результаты расчета P(x) для двух значений , соответствующих
хаотическим режимам логистического отображения
Плотности распределения вероятностей p(x,y) на хаотических
аттракторах в системе Эно
2. Ляпуновские показатели
Одним из важнейших способов, позволяющих охарактеризовать динамику
систем как с непрерывным, так и с дискретным временем, является вычисление
ляпуновских показателей.
Было установлено, что режим детерминированного хаоса связан со странным
хаотическим аттрактором, отличающийся от регулярных аттракторов двумя
основным факторами: 1) его траектория непериодическая и 2) режим
функционирования
неустойчив
(малые
отклонения
нарастают).
2-й фактор является критерием «странности» аттрактора. Причем
неустойчивость траектории на аттракторе должна быть экспоненциальной. Это
означает, что малое возмущение режима D(0) должно во времени увеличиваться
по экспоненте :
D( t )  D( 0 ) exp( t ),
1 D( t )
  lim ln
.
t  t
D( 0 )
Набор ляпуновских показателей характеризует эволюцию некоторого
начального возмущения динамической системы относительно выбранной
(невозмущенной) траектории.
Для регулярных аттракторов величина λ всегда отрицательная, тогда как для
хаотического аттрактора она должна быть положительной. Это есть критерий
диагностики типа аттрактора в ДС.
С точки зрения математики данная задача сводится к анализу свойств решений
линейного матричного уравнения для возмущений, применительно к которому
была сформулирована теорема Ляпунова. Теорема утверждает, что
1) существует ляпуновский характеристический показатель, определяемый как
верхний предел от средней скорости нарастания возмущения;
2) ляпуновский показатель не зависит от масштаба переменной (не меняется
при ее умножении на константу);
3) для линейной комбинации двух решений общий ляпуновский показатель не
превышает наибольший из показателей этих двух решений;
4) для N–мерной динамической системы (и соответственно N × N матрицы
линеаризации) существует N независимых решений, которым соответствует N
ляпуновских показателей.
Обычно ляпуновские показатели нумеруют в порядке убывания,
1  2  3  …  n , а наибольший из них называют старшим. Совокупность
ляпуновских
показателей
называется
спектром
ляпуновских
характеристических показателей (ЛХП).
В случае одномерного отображения соотношение для эволюции малого
возмущения ỹn+1 от невозмущенной траектории xn принимает вид
~
~

y

f
(

,
x
)
.
n

1
n y
n
Отсюда следует, что
n
~
yn
  f (  , xi ).
~
y
0
i 1
Так как ляпуновский показатель характеризует среднюю скорость нарастания
возмущения относительно невозмущенной траектории и дает оценку этого
роста в сравнении с экспонентой, то получаем следующее соотношение
1 n
  lim  ln f (  , xi ) .
n  n
i 1
Устойчивой n-кратной неподвижной точке или циклу периода n отображения
отвечают мультипликаторы |ρi| < 1. По определению спектр ЛХП устойчивого
n-цикла содержит только отрицательные числа. В случае хаотического режима
в спектре появляется один положительный показатель, который характеризует
экспоненциальную неустойчивость траекторий на хаотическом аттракторе.
Зависимость величины ляпуновского показателя логистического
отображения от значения параметра 

Области левее  соответствуют
неположительные значения . Это
отвечает областям периодических
решений ( < 0).
Точки  = 0 соответствуют точкам
бифуркаций k , где, как было
показано ранее, производная
функции последования на точках
цикла | f '| = 1.
Правее значения  имеется
множество значений параметра ,
для которых  > 0, что говорит о
хаотической динамике. В то же
время имеются провалы до
отрицательных значений ,
которые соответствуют окнам
периодичности – наличию
устойчивых циклов определенных
периодов.
3. Размерность аттрактора
Другим критерием «странности» хаотического аттрактора является
размерность как характеристика его геометрической структуры. Так как
структура предельных траекторий на хаотическом аттракторе является
канторовой, то его размерность оказывается дробной.
Обычно обсуждаются два типа определений размерности: с учетом ее
зависимости только от метрических свойств аттрактора и с учетом
зависимости от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. В
типичных случаях метрические размерности принимают одинаковую
величину, которую называют фрактальной размерностью аттрактора DF .
Размерность, определяемую с учетом вероятности посещения траекторией
различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют
информационной или размерностью натуральной меры. Эта размерность
может быть оценена по спектру ляпуновских характеристических показателей
(ЛХП) аттрактора. Для типичных аттракторов информационная и ляпуновская
(оцениваемая по спектру ЛХП) размерности обычно совпадают
количественно, но могут отличаться от значений фрактальной размерности.
Фрактальная (хаусдорфова) размерность DF произвольного предельного
множества G в N-мерном фазовом пространстве определяется следующей
формулой по Колмогорову-Хаусдорфу:
DF  lim ln M (  ) / ln( 1 /  ),
 0
где M(ε) -минимальное число N-мерных кубиков со стороной ε, необходимых для
покрытия всех элементов множества G. Если применить это определение для
вычисления размерности точки и линии, то получим значения 0 и 1,
соответственно. Для нетривиальных множеств (хаотических) G размерность DF
может оказаться дробной.
Простым наглядным примером множества дробной хаусдорфовой размерности
является канторово множество. На n-шаге процедуры построения канторова
множества останется M= 2n разделенных между собой закрытых интервалов
одинаковой длины ε = 3-n . По определению найдем фрактальную размерность
канторова множества:
DF  ln 2 / ln 3  0.63.
Странные аттракторы имеют структуру типа канторовой. Эти множества
порождаются нелинейными операторами эволюции и имеют дробную
размерность.
Информационная размерность DI определяется следующим образом:
I(  )
DI  lim
,
 0 ln( 1 /  )
M( )
I (  )    Pi ln Pi .
i 1
Здесь I(ε) – энтропия Шеннона (количество информации, необходимое для
определения состояния системы в пределах точности ε); M(ε) – число кубиков со
стороной ε, покрывающих аттрактор; Pi - вероятность посещения фазовой
траекторией i-го кубика. Так как для малых ε I(ε) ≈ DI ln (1/ε), то размерность DI
характеризует скорость возрастания информации с уменьшением ε.
При детальном рассмотрении фрактальная размерность хаотического множества
оказывается взаимосвязанной со спектром ЛХП λi. Доказано, что для
аттракторов двумерных обратимых отображений справедливо соотношение:
DF  1  1 / 2 ,
1  2 .
4. Автокорреляционная функция.
Помимо статистики посещения переменной xn той или иной области значений,
непериодический процесс итераций можно охарактеризовать с точки зрения
свойств во временной области. Этой цели служит вычисление
автокорреляционной функции.
Корреляция – это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных
величин. При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводит к
систематическому изменению другой или других величин.
Автокорреляция – это статистическая взаимосвязь между случайными
величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайных
процессов – со сдвигом во времени.
Автокорреляционная функция Cx (xn) вычисляется для дискретного во времени
процесса итерации отображения, в предположении его стационарности и
эргодичности:
N m
1
C xx ( m ) 
( xn  xn )( xn  m  xn ),

N  m  1 n 0
где N – общее количество точек во временной реализации, m – сдвиг во
времени, для которого рассчитывается автокорреляционная функция,
<
xn > - среднее по реализации значение xn..
C помощью выражения для Cxx рассчитывается усреднение степени
взаимосвязи процесса xn с самим собой через время m. Обычно
рассматривают нормированный вариант данной функции:
cxx ( m ) 
принимающий значения
C xx ( m )
,
C xx ( 0 )
 1  cxx ( m )  1.
cxx (m) также называют коэффициентом корреляции.
Равенство cxx (m) = 1 указывает на отсутствие изменений значений xn . В случае
k-периодичного xn , cxx (m) в силу свойств автокорреляционной функции также
k-периодична. В случае неповторяемости процесса, т.е. отсутствия связи
последующих значений с предыдущими, cxx (m) спадает, стремясь к нулю для
«максимально случайной» последовательности значений xn .
Вид АКФ для временной реализации, порождаемой логистическим
отображением для  = 3.56 (4-цикл),  = 3.8 и  = 4.0 (максимально
хаотический режим)
Хорошо видно, что периодичность АКФ качественно повторяет свойства
временной последовательности xn . В случае хаоса коэффициент корреляции в
первой же точке спадает до значений, близких к нулю, что говорит о
практическом отсутствии статистической взаимосвязи xn и xn+1 .