Институт Космических Исследований Российской Академии Наук Памяти Павла Ефимовича ЭЛЬЯСБЕРГА ОБ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ ИСЗ ПОД ВЛИЯНИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ЛУНЫ И СОЛНЦА И ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ ВОСОКО АПОГЕЙНЫХ ОРБИТ Виктория И. ПРОХОРЕНКО ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 25 марта 2004 Аннотация (1из 2) • Речь идет о практической задаче выбора долгоживущих орбит ИСЗ с большим эксцентриситетом и наклонением. Орбиты ИСЗ серии ПРОГНОЗ, запущенные с 1972 по 1995 г.г. послужили экспериментальным материалом для исследований. • На первой стадии исследований были использованы аналитические решения двукратно-осредненной ограниченной круговой проблемы Хилла, полученные М.Л. Лидовым [1961]. Геометрическая интерпретация этих решений позволила разработать геометрический метод анализа долгопериодической эволюции, и времени существования орбит ИСЗ. •Предположение о компланарности орбиты Луны и плоскости эклиптики позволило применить упомянутые решения задачи трех тел к задаче четырех тел (Земля, Спутник, Луна Солнце). 2 Аннотация (2 of 2) • Сравнение аналитических решений с результатами численного интегрирования с учетом реальных гравитационных возмущений от Луны и Солнца позволило обнаружить существенную роль некомпланарности орбит рассматриваемых возмущающих тел. • Результаты исследования влияния прецессии орбиты Луны на характер эволюции и время существования орбит ИСЗ представлены во второй части доклада 3 П.Е. ЭЛЬЯСБЕРГ и М.Л. ЛИДОВ Введение Эволюция эллиптической орбиты точки P (спутник нулевой массы) рассматривается в рамках ограниченной круговой проблемы трех тел. Точка P движется в поле притяжения центральной точки S (массы M) под влиянием гравитационных возмущений со стороны третьей точки J (массы M1), которая движется вокруг точки S по круговой орбите радиуса a1. М.Л. Лидов [1961] получил аналитическое решение двукратноосредненной системы дифференциальных уравнений движения точки P в приближении Хилла, полагая что отношение большой полуоси a орбиты точки P удовлетворяет соотношению: = a/a1 << 1. Это позволило использовать первый член разложения возмущающей функции по параметру . Полученное аналитическое решение включает три первых интеграла и две независимых квадратуры. 5 Полученные М.Л. Лидовым [1961] аналитические решения двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел в хилловском приближении c0 a; c1 cos 2 i; c2 (1 )( 2 / 5 sin 2 sin 2 i ); (1) 3 1 d 15 M 1 a 3 / 2 1 ; (2) N N0 ; A 1/ 2 2 A 0 (1 ) sin i sin 2 2 M a1 N 0 A No cos i ((1 ) sin 2 / 5)dN 1/ 2 , c0 a0 ; c1 ε 0 cos 2 i0 ; c2 (1 ε 0 )( 2 / 5 sin 2 ω0 sin 2 i0 ). a - большая полуось, = 1 - e2, e – эксцентриситет; i, , и - наклонение, аргумент перицентра и прямое восхождение восходящего узла орбиты ИСЗ, отнесенные к плоскости орбиты возмущающего тела; N – номер витка; 1 – параметр орбиты возмущающего тела; M, M2 – масса центрального и возмущающего тел Критическое значение * , соответствующее соударению спутника с центральным телом радиуса R: * = 1- (1-R/a)2 (3) С1 С2 Область возможных значений интегральных констант с1, с2 I. Основные закономерности эволюции высоты перицентра, использованные в процессе проектирования орбит серии «ПРОГНОЗ» Короткопериодическая эволюция высоты перицентра за виток Изменение высоты перицентра орбиты спутника за виток hp зависит от значений большой полуоси спутника, эксцентриситета, и положения вектора возмущающего ускорения относительно орбитальной системы координат O*) Знак изменения высоты перицентра за виток hp зависит от угла между осью и проекцией вектора возмущающего ускорения на плоскости O : 0 < hp при I или III четверти hp < 0 при II или IV четверти В книге П.Е. Эльясберга [1965] приведены оценки модуля максимального отклонения высоты перицентра за виток hpmax под влиянием гравитационных возмущений от Луны и Солнца для орбит с высотой апогея (перигея) от 2 000 до 100 000 км (от 200 до 50 000 км). *) Правая система координат O: начало координат совпадает с притягивающим центром, плоскость O совпадает с плоскостью орбиты спутника, ось направлена в точку перицентра, ось - по нормали к плоскости орбиты. Долгопериодическая эволюция высоты перицентра Знак долгопериодического изменения высоты перицентра зависит от значения аргумента перицентра , измеренного относительно линии узлов орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела: ~ при II или IV четверти 0< hp ~ h p < 0 при I или III четверти ~ В книге П.Е. [1965] показано, что h p max = ½ hpmax Эволюция радиуса перицентра rp и время существования орбит ИСЗ серии «ПРОГНОЗ» (1972 –1995) Численное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений выполнено с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца Типичные начальные значения орбитальных элементов: • 16.12 < a (RE) < 16.74; 0.930 < e0 < 0.936; • ie0 = 65(до P10); e0 = 290(до P7). Угловые элементы измерены относительно плоскости земного экватора P1 P8 P6 P2 P10 P3 P4,5,7 I-1 II. Геометрическое исследование первых интегралов задачи Хилла в сферической системе координат Oi: • = 1 - e2 (0 1) - радиус; • i (0 i 180) - коширота ; • (0 i 360) - широта Геометрическая интерпретация первых интегралов c1, c2 = 180 = 0 Сечения поверхностей вращения = 270 = 90 c1 = cos2i а c плоскостями = 0, 180(а) и = 90, 270(b). Серым тоном здесь и далее выделена область, соответствующая значениям c2 < 0 Интегральные кривые, соответствующие линиям пересечения поверхностей c2 = (1- ) (2/5- sin2 sin2i) с поверхностями c1 = 0 (i = 90) (c) и c1 = 0.2 (d) b d 12 Геометрическая интерпретация соударения спутника с центральным телом конечного радиуса R * = (2a* - 1)/a*2, a* = a/R a* a* = 8, * = 0.234, c1=0.1, c2=0.1; c2= -0.1 Косой штриховкой показана область, соответствующая орбитам с конечным временем баллистического существования для a* = 8, определяемая неравенствами: c1 < 0.6 *2 или c2 > (1 - *)(c1 / * - 0.6) Гордеева [1968] 13 Соотношение между областями возможных значений начальных орбитальных элементов 0, i0, 0 и интегральных констант c1, c2 Сферическая поверхность 0=0.4 c1 = 0 cos2i0, c2 = (1 - 0) (2/5 - sin2i0 sin20) a c 0 = 0.6 d 0 0 1 superposition b 0 = 0.4 14 III. Параметрический анализ периодов долговременной эволюции элементов , i и мажоранты времени баллистического существования Зависимость эволюции орбитальных элементов от времени Время эволюции орбитальных элементов можно представить в виде произведения независимых параметров, используя квадратуру (2) и теорию подобия и размерностей 4 3 / 2 L(c1, c2 , 0 , , 0 ) t* t*0 a* , 15 LD d L(c1, c2 , 0 , , 0 ) , 1/ 2 2 (1 ) sin i sin 2 0 L D 1*a1*313 / 2 *1/ 2 параметр подобия воз мущений; a* a / l , t* t / , * 2 / l 3 безразмерн ые параметры; l R, , m R 3 / f 2 характерные размер, время и масса; f гравитационная константа, R - радиус центрального тела Ю.Ф. Гордеева [1968] выразила квадратуру L через эллиптический интеграл первого рода 16 Период T* долгопериодической эволюции орбитальных элементов (, i) и безразмерный конфигурационный параметр подобия орбит LC (c1, c2) T* = 4/15 a*-3/2 LC (c1, c2)/LD, LC (c1, c2) = 2L(c1, c2, min, max, /2) LC(c1,c2) сечение плоскостями c1 (c1<0.6) 9 8 6 8 9 6 Конфигурационный параметр подобия орбит LC (c1, c2) зависит только от c1, c2, его знак совпадает со знаком параметра c2, а абсолютное значение равно удвоенной квадратуре L, вычисленной в пределах min, max Изолинии поверхности LC (c1, c2)показаны для уровней от 6 до 13 с единичным шагом 17 Мажоранта TB* времени баллистического существования и безразмерный конфигурационный параметр подобия орбит LB (c1, c2, a*) TB* = 4/15 a*-3/2 LB (c1, c2, a*)/LD, LB (c1, c2 , a*)= 2L(c1, c2, *, max, 0(*)) LB определено только для c1, c2 , при которых min< *< max Изолинии для поверхностей LC (c1, c2) и LB (c1, c2 , a*) при a* = 16 Конфигурационный параметр LB (c1, c2 , a*) имеет тот же знак, что и c2, а абсолютное значение, равное удвоенной квадратуре L вычисленной в пределах *, max, с начальным значением 0, определенным как функция от * (при sin 20(*) < 0) Линии соответствуют значениям уровня от 5 to 13 с единичным шагом 18 Свойства функций LC(c1,c2)иLB(c1,c2,a*) • Острый пик при c2 = 0 (при c1 < 0.6) • Зеркальная квазисимметрия относительно плоскости c2 = 0 в окрестности c2 = 0 (при c1<0.6) • LB(c1, c2, a*) < LC(c1, c2)при любых a* • Выражаются через эллиптические интегралы первого рода [Гордеева, 1968] 19 IV. Анализ семейства орбит ИСЗ серии ПРОГНОЗ (a* = 16.6, * = 0.117) и метод выбора долгоживущих орбит Для каждой орбиты значения параметров c1, c2 показаны черными точками и маркированы номером ИСЗ Геометрический метод выбора долгоживущих орбит Большая полуось Lc(c1,c2) a = 8 RE * = 0.234 Высота перигея hp0 = 5000 km e0 = 0.777 0 = 0.4 LB(c1,c2, a*) Область значений с1, с2, соответствующих орбитам с конечным временем существования 21 V. Сопоставление аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы дифференциальных уравнений с учетом реальных возмущений от Луны и Солнца Безразмерный параметр подобия возмущений LD для системы тел: Земля, Спутник, Луна, Солнце Использованы следующие характерные размер l, время , и динамические параметры центрального и возмущающих тел: L D *1a*13 13 / 2 *1/ 2 l =RE = 6371200 m, =365 сут.; = 0.39860044 1015 m3/s2 (Земля); 1 = 0.4902799 1013 m3/s2, a1 = 0.3844109 m, 1 = 1 (Луна); 2 = 0.13271244 1021 m3/s2, a2 = 0.1495979 1012 m, 2 = 1 (Солнце). Система тел LD Земля–ИСЗ– Земля– ИСЗ– Земля– ИСЗ – Луна Солнце Луна +Солнце 1 2 3 0.00219 0.00101 0.00320 Значение LD в третьей колонке представляет собой сумму значений, расположенных в колонках 1 и 2 23 Сопоставление времени существования ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 под влиянием возмущений от Луны и Солнца вместе и отдельно, рассчитанного по аналитическим формулам и по результатам численного интегрирования с учетом реальных возмущений Возмущающее тело Луна Солнце Луна+ Солнце Учет реальных возмущений 7.60 18.0 5.20 Аналитическое решение 7.72 16.8 5.29 rp = 6 RE Луна + Солнце 1995 Луна 2000 Солнце Эволюция радиуса перигея rp под влиянием Луны и Солнца отдельно и вместе 2013 Численный расчет (с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца) времени баллистического существования для гипотетических версий орбит v1-v7 типа ИНТЕРБОЛ –1 с различными значениями аргумента перицентра 314 0e 290, при фиксированных значениях остальных орбитальных элементов (a =16.12 RE , e0= 0.93, i0e = 62.9, 0e = 260, 0 = 24.5) и датой старта 03.08.1995 0e = 298.15 298.75 300 293 292 304 ИВ-1 314. 290 Сопоставление численных расчетов времени баллистического существования TBR с аналитическим расчетом мажоранты TB*(с1, c2, a*) ИНТЕРБОЛ-1: a* = 16.12, c1 = 0.0179, с2 = 0.247, e0 = 0.93, 0 = 0.123, 0 = 338.7 и версии v1-v7 со значениям 328 0 314 (0.14 c2-0.036) T*,TB*,TBR Это позволило обнаружить «сдвиг» функции TBR относительно функции TB* Сплошная (штриховая) линия показывает период эволюции T* (мажоранту времени баллистического существования TB*) в функции параметра c2. Расчетное время баллистического существования TBR показано в виде дискретных символов в функция значения параметра c2, определяемого начальными значениями орбитальных элементов. Светлые (темные) значки показывают расчетное время баллистического существования TBR, связанное с ротационным (либрационным) типом 26 эволюции аргумента перицентра. VI. Исследование влияния прецессии орбиты Луны на эволюцию орбитальных элементов ИСЗ и время их существования (Учитывается наклонение 5.15 плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики и прецессия орбиты Луны с периодом 18.6года) Вспомогательные функции 1(t), 2(t) и 1m(t), 2m(t) для исследования эффекта от прецессии орбиты Луны • Для сопоставления аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы уравнений будем в процессе интегрирования следить за поведением функции 1(t) и 2(t) с начальными значениями 1(t0) = c1 и 2(t0) = c2 1(t) = cos2i ; 2(t) = (1 - )(2/5 - sin2 sin2i). • Параллельно рассмотрим другую пару функций 1m(t), 2m (t): 1m (t) = cos2im; 2m (t) = (1 - )(2/5 - sin2m sin2im), где индекс m маркирует орбитальные элементы, измеренные относительно плоскости орбиты Луны. • Из определения этих пар функций следует, что области их возможных значений совпадают с областью допустимых значений параметров c1, c2. 28 Параметр , отвечающий за сдвиг функции TBR относительно функции TB* • Эволюция функций 1m(t), 2m (t) определяется эволюцией углового расстояния между восходящими узлами орбит спутника и Луны на плоскости эклиптики • Для орбит с фиксированным начальным значением прямого восхождения восходящего узла 0 начальное значение (t0) = 0 зависит от даты старта, которая в свою очередь определяет позицию восходящего узла орбиты Луны. • Угловая скорость эволюции параметра определяется как разность между угловой скоростью эволюции прямого восхождения восходящего узла орбиты спутника и постоянной угловой скоростью прецессии орбиты Луны . • Эволюция параметра в рамках двукратно осредненной проблемы Хилла определяется квадратурой (3). • М.А. Вашковьяк [1999] выразил эту квадратуру через эллиптические интегралы первого и третьего рода. 29 Зависимость времени баллистического существования и поведения функций 1m(t), 2m (t) от начального значения параметра 0 Рассмотрены два варианта орбит с одинаковым значением c1 = 0.018 : • IB1 - эквивалентен орбите ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 (0 = 339, c2 = 0.247) • v4 - отличается от первого только начальным значением аргумента перицентра (0 = 322.6, c2 = 0.069). Для каждой из орбит сделан расчет времени баллистического существования TBR для набора дат старта, обеспечивающего покрытие всего интервала возможных значений параметра 0 (0 0 360). Для каждой орбиты значения TBR(0 ) отнесены к своему значению c2 и маркированы значениями 0. Светлые (темные) значки соответствуют ротационному (либрационному) типу эволюции аргумента перицентра. T*, TB*,TR*, годы C2 > 0 0=40 1, 1m v4 0=78 v4 0= -89 2, 2m VII. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ о роли параметра 0 на примере других орбит серии ПРОГНОЗ Цилиндрическая система координат O1 = 270 = 90 • = 1 - e2 (0 1) -радиус; • (0 360) - долгота; • 1 (0 1 1) – координата Z 1= 0 1= 0.2 32 Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-2 ПРОГНОЗ-2 (a*=16.7, *=0.116) 0 = 284, 0 = 0.126 1(t0)=c1=0.07, 1(t0)=c2 =-0.03 Характер эволюции параметров , и 1, 2 в зависимости от даты старта (определяющей значение параметра 0) Реальный запуск 29.VI.1972, 0 = 70 Время существования ~ 8 лет Гипотетический запуск 29.VI.1981, 0 = 247 33 Время существования ~ 60 лет Эффект от начального значения параметра 0 на примере ИСЗ ПРОГНОЗ-6 ПРОГНОЗ-6 (a*=16.6, *=0.117) 0 = 268, 0 = 0.126 1(t0)=c1=0.05, 1(t0)=c2 =-0.19 Характер эволюции параметров , и 1, 2 в зависимости от даты старта (определяющей значение параметра 0) Реальный запуск 22.IX.1977, 0 = 225. Время существования ~ 40 лет Гипотетический запуск 34 22.IX.1988 , 0 = 80. Время существования ~ 7 лет Эволюция Rp орбитальных элементов гипотетической версии орбиты i ПРОГНОЗ-6 с датой старта 22.09.1978 0= 247.5. Время существования более 500 лет 1, 1m 2, 2m Гипотетическая версия орбиты ПРОГНОЗ-6 с датой старта 1978. Эволюция параметров 1, 2 , 1m, 2m и орбитальных элементов , на интервале времени 1978 – 2470 = 90 1 1978-2150 =1 2150-2470 2 2150-2470 Заключение • Сопоставление аналитических решений двукратно осредненной проблемы Хилла с решениями, учитывающими возмущения от реальных внешних тел, позволило выделить параметры, от которых зависит характер эволюции орбитальных элементов и время баллистического существования ИСЗ, обусловленное гравитационными возмущениями со стороны внешних тел (Луны и Солнца). • Такими параметрами являются безразмерные константы первых интегралов двукратно-осредненной задачи c1 (0 c1 1), c2 (-0.6 c2 0.4), безразмерный параметр 1 < a*, равный отношению большой полуоси орбиты спутника к радиусу центрального тела, и параметр 0 (0 0 360) – начальное угловое расстояние между восходящими узлами орбит ИСЗ и Луны на эклиптике. 37 Список литературы • • • • • • • • Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел. // Искусственные спутники Земли. 1961. №. 8. С. 5. Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики, получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек Труды ГАИШ, т.15, ч.1, с.100, 1945. Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях в ограниченной задаче трех тел // Космич. исслед. 1968. Т. 6. № 4. С. 536. Вашковьяк М.А. Об эволюции орбит далеких спутников Урана // Письма в "Астрон. журн." 1999. Т. 25. № 7. С. 554. Прохоренко В.И. Геометрическое исследование решений ограниченной круговой двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. исслед. 2001. Т. 39. № 6. С. 622. Прохоренко В.И. Исследование периодов эволюции эллиптических орбит в двукратно осредненной задаче Хилла // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 1. С. 22. Назиров Р.Р., В.И. Прохоренко, А.И. Шейхет Ретроспективный геометрический анализ долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ серии ПРОГНОЗ // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 5. С. 538. Вашковьяк М.А. Тесленко Н.М. Построение периодически эволюционирующих орбит спутника сжатой планеты в осредненной задаче Хилла с учетом прецессии орбиты возмущающей точки // Письма в Астрон. журн. 1998. Т. 24. № 6, С. 474. 38