стр. 37-51

Дополнительные задачи для контрольных работ.
Задача 1. Скорость воздуха после прямого скачка V2  280 м ,
с
Т 0  77 С .
Найти температуру воздуха в потоке до скачка.
Решение. Поскольку задана температура торможения
T0 , можем найти
критическую скорость
aкр  18.3 Т 0  18.3  350  342
м
.
с
Зная акр , находим коэффициент скорости за скачком
2 
V2 280

 0.82 .
aкр 342
Используя соотношение Прандтля 1  2  1 на скачке, находим
1 
1
2
 1.22 .
Тогда скорость перед скачком
V1  1  aкр  1.22  342
м
м
 417 .
с
с
Имея 1 , находим температуру воздуха в потоке до скачка Т1 , с помощью
газодинамической функции   1 
Т1  Т0  1   350 К  0.75  262.5 К .
Задача 2. Как изменится коэффициент восстановления давления
торможения на прямом скачке, если число Маха потока до скачка M 1  1
увеличить вдвое?
Решение. Коэффициент восстановления давления торможения до
скачка:

2
k  1
 


2
 (k  1) M 1 k  1 
При M1 0
 k  1
 
 k  1
k  1
где C  
 k  1


k
k 1
k
k 1

k
k 1
 2k

M12 

 k 1

 2k 


 k 1
 2  C (2M1 )

2
k 1
.

1
k 1

k 1 
 2k
M12 


k 1
 k 1
1
k 1


1
k 1
2
 CM1 k 1 ,
. По условию задачи
.

2
2


C (2 M 1 ) k 1
k 1

2
Тогда 2 
.
2

1
k 1
CM 1
k  1.4 .
2

2
1
1
.
 2 1.41  5 
1
2
32
Задача 3. Перед поршнем, движущимся в трубе с постоянной скоростью
м
, возникла ударная волна. Правый конец трубы открыт в атмосферу.
с
Найти N - скорость волны относительно стенок трубы и скорость волны
un  400
относительно поршня.
Решение. Если обратить движение так, чтобы ударная волна стала
неподвижной, то V1  N ;V2  N  un . Из основного соотношения теории прямого
2
скачка VV
1 2  aкр следует, что
2
.
N ( N  un )  aкр
Уравнение Бернулли не терпит разрыва на ударной волне:
2
2
aкр
aкр
N2
a
(k  1) 2




aкр ,
2 k  1 2 k  1 2(k  1)
2
N2
a
(k  1)
.

 N ( N  un )
2 k 1
2(k  1)
2
Получим квадратное уравнение
N2 
k 1
Nun  a 2  0 .
2
Подставляя значения, получим
N 2  480 N  108900  0 .
м
с
Следовательно, N  648 .
Дополнительные задачи для контрольных работ.
Задача 1. Турбореактивный двигатель имеет сужающееся сопло с площадью выходного сечения
Fвых  0.3 м2 , полное давление p0  3.2 105 Па , температура торможения T0  1000 K . Определить тягу
Дж
двигателя на старте у земли. Принять R  287
, k  1.4 .
кг  с
Решение. Так как сопло сужающееся, то скорость потока на выходе из сопла Vвых не может
р
превышать скорости звука. Т. е., Vвых  акр . Vвых  акр , если перепад давления вых   1  0.5283 . В
р
данной задаче, так как давление на выходе равно атмосферному давлению на уровне земли, то отношение
р
105

  1 . Следовательно, скорость на выходе равна критической скорости: Vвых  акр . А,
р0 3.2  105
следовательно, плотность и давление тоже принимают критические значения:   кр , р  ркр . Имея
значения р0 и Т 0 , можем посчитать 0 , используя уравнение Клапейрона р   RT ,
p0
3.2  105 Па
кг

 1.11 3 .
Дж
RТ 0 287
м
 103 К
кг  К
кг
кр  0 1  1.11  0.634  0.7 3 .
м
Зная Т 0 , можем найти акр по формуле (22) (из §1):
0 
2kRT0
2  1.33  287  103
м

 564 .
k 1
2.4
с
Так как на выходе Vвых  Vкр , то Fвых  Fкр . Тогда, с помощью уравнения расхода можем посчитать расход
акр  V 
G  крVкр Fкр  0.7  564  0.3  118.4
кг
.
с
Тяга двигателя определяется по формуле
R  ( р  ра ) F  V 2 F  ( р  ра )  V 2  F .
  кр , р  ркр , F  Fкр ,V  aкр .
Подставляя значения, получаем
R  ( ркр  ра ) F  VFVкр  0.69  105  0.3  118.4  564  0.88  105 Н ,
где ркр  р0 1  3.2  105  0.5283  1.69  105 .
Задача 2. Определить размеры реактивного сопла ( Fкр , Fвых ), тягу двигателя на старте и скорость
потока на срезе сопла, если известны давление и температура в камере сгорания p0  2  106 Па ,
кг
Дж
, k  1.4 . За расчетный
T0  3000 K , расход продуктов сгорания через сопло G  250 , R  287
с
кг  с
режим принять работу двигателя на земле.
Решение. Считаем, что сопло работает в расчетном режиме, т. е., давление на выходе равно
атмосферному. Зная давление торможения, и имея в виду, что рвых  ра , находим число  на выходе с
помощью газодинамической функции     .
ра
   вых   201  0.05 .
р0
Следовательно, вых  1.85, М вых  2.28 из таблицы 9. Зная Т 0 , можно найти акр .
м
.
с
Зная значение вых , можно найти скорость потока Vвых и температуру с помощью функции     .
акр  18.3 3000  1002
м
,
с
Tвых  T0  вых   3  103  0.4296  1288.8 .
Плотность на выходе найдем с помощью уравнения Клапейрона
pа
105
кг
вых 

 0.27 3 .
R  Tвых 287  1288.8
м
Vвых  вых  акр  1.85  1002  1853.7
Из уравнения расхода G  VF найдем площадь выходного сечения Fвых через заданный расход
выхVвых Fвых  G .
Отсюда Fвых 
250
кг
с
 0.4995 м2 .
кг
м
0.27 3  1853.7
м
с
Площадь критического сечения найдем, используя газодинамическую функцию q    .
Fвых q  кр 

.
Fкр q  вых 
Следовательно,
Fкр  Fвых q  вых   0.4995 м 2  0.353  0.176 м 2 .
Тяга двигателя определяется по формуле
R  ( р  ра ) F  V 2 F  ( ркр  ра ) Fкр  GV 
9.6  105  0.176  250  1002  1.69 105  2.5 105  4.19 105 H .
ркр  р0   1  2  106  0.5283  10.6  105 Па .
кг
в
см 2
двухдюймовой трубе, имеет в первом сечении число M  1.8 . Затем его скорость уменьшается до M  1 за
счет теплообмена со стенками. Найти изменение температуры воздуха и количество тепла, сообщенное
единице его массы.
Решение. Если знаем числа М 1 и М 2 , то по формуле (8) (из §3)
Задача 3. Сухой воздух, движущийся при температуре 15 C
Т 2  М 2 1  kM 12 



Т1  М 1 1  kM 22 
можно найти Т 2 :
и давлении 1.033
2
 1 1  1.4  3.24 
T2  288  

  473 K .
1  1.4 
 1.8
Изменение температуры воздуха
T2  T1  473  288  185 K .
Количество тепла, сообщенное единице массы, определяется как
q ( e )  c p (T20  T10 ) .
2
Температуры торможения T10 и T20 найдем, используя газодинамическую функцию   M  :
T10 
T1
288

 476.3 K ,
  M 1  0.6047
T20 
T2
473

 567.6 K .
  M 2  0.8333
Дж
.
кг  К
Подставляя значения, получим количество тепла, сообщенное единице массы
Дж
Дж
q ( e )  1003.2
 (567.6  476.3) K  0.9  105
.
кг  К
кг
Теплоемкость c p  1003.2
Задача 4. Воздух поступает в трубу постоянного диаметра при температуре T1  15 C , давлении
м
p1  2 атм со скоростью V1  86 . Трением пренебрегаем. Потоку сообщается максимально возможное
с
количество тепла. Найти давление и температуру на выходе, а также количество подведенного тепла.
Решение. Получив максимально возможное количество тепла, поток разгоняется до скорости
звука, т. е. M 2  1 . Зная температуру T1 , можем найти a1 .
a1  20.1 T при k  1.4 ,
м
a1  20.1 288  341 .
с
Следовательно, находим М 1
V
86
М1  1 
 0.252 .
a1 341
Зная М 1 и М 2 , можем найти T2 по формуле (8)
2
 1 1  1.4  0.2522 
T2  288  

  933.6 K .
1  1.4
 0.252

p2 находим из формулы (7)
p2 1  kM12 1  1.4  0.2522


 0.39 ,
p1 1  kM 22
1  1.4
p2  0.8 105 Па .
1атм  1.0325  105 Па 
Как и в предыдущей задаче
T1
288
T10 

 291 K ,
  M 1  0.989
T20 
T2
933.6

 1120 K .
  M 2  0.8333
q ( e )  c p (T20  T10 )  10003.2  829  0.8  106
Дж
.
кг
Задача 5. В цилиндрическую камеру сгорания поступает воздух с температурой торможения
м
T0  370 K и скоростью V1  88 . Определить температуру критического нагрева потока T2кр в конце
с
камеры сгорания ( k  1.4 ).
Решение. Из условия задачи, в конце камеры сгорания скорость становится критической V2  aкр .
Следовательно, M 2  1 , 2  1 . Зная Т10 , можем найти а1кр .
а1кр  18,3 370  352 .
1 
V1
88

 0.25 .
a1кр 352
М 1 находим из таблицы 9
М1  0,25  0.23 .
Т 2 кр определяется по формуле (8)
2
2
 М 1  kM12 
 1 1  1.4  0.232 
Т 2 кр  Т1  2 

366


  1385.7 K ,
2 
1  1.4
 0.23

 М1 1  kM 2 
где T1 определяется как T1  T01 (1 )  370  0.99  366 .