ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА - ВЧЕРА, СЕГОДНЯ, ЗАВТРА

Казанский государственный
энергетический университет
Лекция 1
Понятие геометрического пространства и его
элементов. Проекционное отображение.
Комплексный чертеж точки, прямой.
Геометрическое моделирование  инструмент
познания действительности
Любая творческая деятельность человека связана с использованием моделей. Существуют разные определения моделей.
Одно из них дано Морозовым К.Е. в его работе «Математическое моделирование в научном познании»: «Под моделью
понимается объект любой природы, который способен
замещать исследуемый объект так, что его изучение дает
нам новую информацию об этом объекте».
Знаковые модели окружают нас повсюду. Это рисунки, тексты,
графики и схемы. Вербальные и знаковые модели, как правило,
взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в сознании
человека, может быть облечен в знаковую форму. И наоборот,
знаковая модель помогает сформировать верный мысленный
образ.
По форме представления можно выделить следующие
модели:
геометрические модели — графические формы и пространственные конструкции;
лексические модели — словесные описания;
математические модели — математические формулы, отображающие связь различных параметров объекта или процесса;
структурные модели — схемы, графики, таблицы и т. п.;
логические модели — модели, в которых представлены
различные варианты выбора действий на основе умозаключений
и анализа условий;
компьютерные модели — модели, реализованные средствами программной среды.
Из всего многообразия моделей с точки зрения представления
реальных технических изделий (объектов) наибольший интерес
представляют геометрические модели и процесс геометрического моделирования.
Под геометрическим моделированием понимают создание моделей геометрических объектов, содержащих функциональную и
вспомогательную информацию о геометрии изделия.
Геометрическое пространство и его
основные элементы
Непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений,
состояний могут подводиться под обобщенное понятие пространства.
В графике геометрическое пространство (ГП) рассматривается как множество однородных элементов. К основным формообразующим элементам этого пространства относятся точки, линии, поверхности. Из точек складываются
линии, из линий – поверхности, а из поверхностей – пространственные конструкции. Простейшей поверхностью считается
плоскость. Точку принято считать нульмерным пространством,
линию – одномерным, плоскость (поверхность) – двумерным, а
пространственный геометрический образ – трехмерным.
Размерность геометрического пространства может быть больше
трех. Такое пространство называют многомерным.
Примем следующие обозначения элементов пространства.
Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С... или цифрами 1, 2, 3...; прямые – строчными
буквами латинского алфавита: а, b, с..., а плоскости – прописными буквами греческого алфавита: Г, Л, П, S, Ф, ¥, Q.
Между элементами пространства существуют следующие отношения:
 тождественность - обозначается знаком ==, например,
А== В. Это обозначает, что точка А совпадает с точкой В;
 инцидентность или принадлежность обозначается
знаком ?. Например, А ? а обозначает, что точка А принадлежит (инцидентна) прямой а;
 параллельность обозначается знаком ||. Например,
K|| L обозначает, что прямая К параллельна прямой L.
 перпендикулярность обозначается знаком . Например,
a  S обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости S.
Над элементами пространства можно выполнить операцию
соединение, которую обозначают знаком ~.
Например, запись А и В ~ а обозначает, что в результате
соединения точек А и В получена прямая а.
Операцию пересечение обозначают знаком ∩. Запись
m ∩ n = К обозначает, что в результате пересечения прямых m и n получена точка К.
Проекционное отображение пространства
Основными предметами изображения на плоских чертежах являются трехмерные геометрические тела, окружающие нас в реальном трехмерном пространстве.
Геометрические тела на чертежах получают методом отоображения, в соответствии с которым каждой точке трехмерного пространства соответствует конкретная точка двухмерного пространства на чертеже. Отображение геометрических тел может быть выполнено на плоскость или какуюлибо другую поверхность.
Изображение геометрического тела на плоскости можно
получить путем проецирования (от латинского слова
ргojеcere — бросать вперед, бросаться в глаза) его точек
на эту плоскость.
Под проецированием понимают процесс установления
однозначного соответствия между точками пространства
и точками на плоскости.
Аппарат проецирования включает в себя изображаемые
объекты – точки, проецирующие лучи, плоскость проекции (ее иногда называют картинная плоскость), на которой получается изображение оригинала.
В зависимости от положения центра проецирования и направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций проецирование может быть либо центральным (коническим), либо параллельным (цилиндриче ским).
Центральное проецирование обладает большей наглядностью, так как оно соответствует зрительному восприятию предметов.
Параллельное проецирование
Параллельное проецирование можно рассматривать как
как частный случай центрального проецирования.
Если центр проекций S при центральном аппарате проецирования перенести в бесконечность, то проецирующие
лучи можно считать параллельными. Таким образом аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций П и направления Р.
Параллельное проецирование может быть косоугольным
и прямоугольным (ортогональным).
Ортогональное проецирование обеспечивает простоту
геометрических построений при определении проекций
точек, а так же возможность сохранять на проекциях
форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства
обеспечили ортогональному проецированию широкое
применение в техническом черчении.
Пример косоугольного
параллельного проецирования
Пример прямоугольного
параллельного проецирования
Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по
оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким
образом проекции на одну плоскость дают неполное
представление о предмете, его форме и положении в
пространстве, т. е. такой чертеж не обладает свойством
обратимости.
Моделирование трехмерного пространства
Известно несколько способов, позволяющих получать обратимые чертежи. Наиболее распространенные из них базируются на схеме метода двух изображений, когда однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей. На практике
наибольшее распространение получили:
1. Комплексный чертеж Монжа.
Суть метода ортогональных (прямоугольных) проекций
состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2
или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем
совмещают их с плоскостью чертежа.
2. Аксонометрический чертеж.
Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала
оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из
плоскостей проекций OXY, или OXZ. Затем параллельным
проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной
проекции и оригинала.
3. Перспективный чертеж.
При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной
плоскости находят центральную проекцию построенной
ранее ортогональной проекции и самого оригинала.
Такое моделирование является плоским геометрическим моделированием или двухмерным (2D-моделировавание).
С развитием информационных (цифровых) технологий
получило развитие 3D-моделирование трехмерных объек
тов.
Пространственная модель координатных
плоскостей проекций
Для того чтобы чертеж был обратим необходимо иметь
проекции изображаемого тела на две или три плоскости
проекций.
Для определения положения геометрического тела в
пространстве и выявления его формы по ортогональным проекциям наиболее удобной является декартова
система координат, которая состоит из трёх взаимно
перпендикулярных плоскостей.
Рассмотрим пространственную модель координатных
плоскостей проекций.
П1– горизонтальная плоскость проекций;
П2 – фронтальная плоскость
проекций;
П3 - профильная плоскость
проекций
Линии пересечения плоскостей проекций образуют
оси координат: ОX - ось абсцисс, ОY - ось ординат,
ОZ – ось аппликат, а точка пересечения координатных осей O принимается за начало координат.
Построение комплексного чертежа
Схему построения комплексного чертежа развил Гаспар Монж. Для перехода от пространственной модели
плоскостей проекций к более простой плоскостной модели, т. е. к плоскому чертежу, плоскости проекций П1 и
П3 совмещают с плоскостью П2.
Построение чертежа выполняется методом ортогонального проецирования.
Полученный чертеж является трёхпроекционным ортогональным чертежом точки А.
На чертеже линии связи А2 А1 и А2 А3 перпендикулярны к соответствующим осям. По ортогональному чертежу
можно судить о расстоянии от точки А до плоскостей П1,
П2 и П3.
Основные инвариантные (независимые) свойства
параллельного проецирования
При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин),
причём степень нарушения зависит как от аппарата
проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к
плоскости проекции.
Но наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует определённая связь, заключающаяся в
том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и
на его проекции. Эти свойства называются инвариантными (проективными) для данного способа проецирования.
Свойства параллельного проецирования:
1. Проекцией точки является точка.
2. Проекцией линии является линия.
3. Проекцией прямой в общем случае является прямая.
Если прямая совпадает с проецирующим лучом, то ее
проекцией является точка.
4. Если точка принадлежит линии, то проекция точки
принадлежит проекции линии.
5. Если точка делит длину отрезка в отношении m:n, то
проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том
же отношении.
6. Если прямая параллельна плоскости проекций, то ее
проекция соответствует оригиналу.
7. Проекция прямой общего положения меньше ее истинной длины и зависит от величины угла наклона прямой к
плоскости проекций.
Взаимосвязь между проекциями оригинала на
комплексном чертеже заключается в следующем:
 Две проекции точки располагаются на одной линии
связи.
 Линии связи между собой параллельны.
 Две проекции точки определяют положение её третей
проекции.
Задание и изображение точки
на комплексном чертеже
По отношению к плоскостям проекций точка может занимать общее положение, т. е. ни принадлежать ни одной из плоскостей проекций, и частное положение – находиться на одной из этих плоскостей, сразу на двух и
одновременно на трёх плоскостях проекций.
Точка А – точка общего положения.
Точка А1 является горизонтальной проекцией точки А.
Точка А2 - ее фронтальной проекцией.
Соответственно, точка А3 профильной проекцией.
Точки M, N и K – точки
частного положения. Точка N
принадлежит плоскости П2,
точка M принадлежит
плоскости П1, а точка K
принадлежит оси проекций
ОХ, следовательно,
принадлежит сразу обеим
плоскостям.
Задание и изображение прямой на комплексном
ортогональном чертеже
Прямая есть такое множество точек, свойства которого
определяются известной аксиомой прямой линии: «через
любые две различные точки проходит одна и только одна
прямая» и теоремой, которая следует из аксиомы прямой:
«две различные прямые могут иметь не более одной общей
точки».
По расположению относительно плоскостей проекций
прямые могут быть общего и частного положений.
Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего
положения.
Так как две точки однозначно определяют положение прямой в пространстве, то достаточно задать на комплексном
чертеже проекции двух точек, принадлежащих прямой и
попарно соединить их первые, вторые и третьи проекции.
Комплексный чертеж прямой общего положения.
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций,
называется фронталью - f. На фронтальную плоскость проекций фронталь проецируется в натуральную величину.
Графический признак фронтали – y=const.
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций,
называется профильной прямой - р. На профильную плоскость проекций профильная прямая проецируется в
натуральную величину.
Графический признак профильной прямой – х=const.
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций,
называется профильной прямой - р. На профильную плоскость проекций профильная прямая проецируется в натуральную величину.
Прямая называется проецирующей, если она перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Одна из проекций
такой прямой есть точка.
Горизонтально проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций.
Горизонтальной проекцией такой прямой является точка, а
фронтальная и профильная проекции || оси z.
Фронтально проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.
Фронтальной проекцией такой прямой является точка, а
горизонтальная и профильная проекции || оси y.
Профильно проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций. Профильной
проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная
и фронтальная проекции || оси x.