Алгебра в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов и т.д). Алгебра логики Объектами алгебра логики являются высказывания. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний. Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, а ложному 0. •В естественном языке звучит как И. •В алгебре логики обозначается как & или . •В языках программирования обозначается AND. Конъюнкция двух высказываний будет истина, тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 A&B Конъюнкция двух высказываний будет истина, тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 A&B 0 Конъюнкция двух высказываний будет истина, тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 A&B 0 0 Конъюнкция двух высказываний будет истина, тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 A&B 0 0 0 Конъюнкция двух высказываний будет истина, тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 A&B 0 0 0 1 •В естественном языке звучит как ИЛИ. •В алгебре логики обозначается как . •В языках программирования обозначается OR. Дизъюнкция двух высказываний будет истина, если хотя бы одно из высказываний истина. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 AB Дизъюнкция двух высказываний будет истина, если хотя бы одно из высказываний истина. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 AB 0 Дизъюнкция двух высказываний будет истина, если хотя бы одно из высказываний истина. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 AB 0 1 Дизъюнкция двух высказываний будет истина, если хотя бы одно из высказываний истина. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 AB 0 1 1 Дизъюнкция двух высказываний будет истина, если хотя бы одно из высказываний истина. Таблица истинности: А 0 1 0 1 B 0 0 1 1 AB 0 1 1 1 •В естественном языке звучит как НЕ. •В алгебре логики обозначается как А или А). •В языках программирования обозначается NOT. Пусть есть высказывание А. Отрицание высказывания будет истина, если высказывание А ложь, и отрицание высказывания А ложь, если высказывание А истина. Таблица истинности: А 0 1 A Пусть есть высказывание А. Отрицание высказывания будет истина, если высказывание А ложь, и отрицание высказывания А ложь, если высказывание А истина. Таблица истинности: А 0 1 A 1 Пусть есть высказывание А. Отрицание высказывания будет истина, если высказывание А ложь, и отрицание высказывания А ложь, если высказывание А истина. Таблица истинности: А 0 1 A 1 0 Логические операции имеют следующий приоритет выполнения: 1) действия в скобках 2) инверсия 3) конъюнкция 4) дизъюнкция Таблицы истинности Решение логических выражений принято оформлять в виде таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных Для составления таблицы истинности необходимо: 1. 2. 3. 4. Выяснить количество строк (2n, где n – количество переменных) Выяснить количество столбцов (количество переменных + количество логических операций) Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений переменных Заполнить таблицу истинности по столбцам Пример 1. Построим таблицу истинности для функции F = (А В) (¬A ¬B) 1. Переменных: две (А и В), т.е. N = 2 количество строк: 2n=22=4. С заголовком: 5 2. Количество столбцов: 2 переменные + 5 операций (,,¬, и ¬). Итого 7 3. Порядок операций: 1 5 2 4 3 F = (А В) (¬A ¬B) Пример 1. Таблица F = (А В) (¬A ¬B) A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 АВ А В А В (АВ) (А В) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 Пример 2. Построим таблицу истинности для функции F = X Y ¬Z 1. Переменных: три (X, Y и Z), т.е. n = 3 количество строк: 2n=23=8. С заголовком: 9 2. Количество столбцов: 3 переменные + 3 операции (,,¬). Итого 6 3. Порядок операций: 3 2 1 F = X Y ¬Z Пример. Таблица F = X Y ¬Z X Y Z Z Y ¬Z X Y ¬Z 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 Составьте таблицу истинности для функции А ¬В A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 ¬B 1 0 1 0 A ¬B 1 0 1 1 Составьте таблицу истинности для функции Постройте таблицу истинности для логического выражения: D=А V B & C Таблица истинности: А B C B&C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 АVB&C D 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Самостоятельно: А ( B B C) ( А В) ( А В) Домашнее задание D=А B C D=А (B C) D=(А B) C