Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники

Подготовка к ГИА
модуль «Геометрия»
Треугольники
Соловова Светлана Алексеевна
Полнякова Наталья Николаевна
МБОУ СОШ №85
г. Ульяновск, 2014 г.
Высота, медиана, биссектриса треугольника
Отрезок, соединяющий
вершину треугольника с
серединой противоположной стороны,
называется медианой
А
М
АМ – медиана
Отрезок биссектрисы
угла треугольника,
соединяющий вершину
треугольника с точкой
противоположной
стороны, называется
биссектрисой А
треугольника
Перпендикуляр,
проведенный из
вершины треугольника к прямой,
содержащей
противоположную
сторону,называется А
перпендикуляром
А1
АА1 – биссектриса
Н
АН - высота
Средняя линия треугольника
В
Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.
КМ – средняя линия
К
Средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон и
равна половине этой стороны
М
КМ АВ
А
С
1
КМ
 АВ
2
Cерединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к отрезку
называется прямая, проходящая через
середину данного отрезка и
перпендикулярна к нему
а
А
В
а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ
m
М
А
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от концов этого отрезка.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на
серединном перпендикуляре к нему
В
О
m – серединный перпендикуляр к отрезку
АВ,
О – середина отрезка АВ
МЄm
АМ = ВМ
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке
m  AB ,
n  BC ,
p  AC
В
n
m
m, n, p пересекаются в точке О
O
С
А
p
Точка пересечения биссектрис треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
СК – биссектриса <С
С
АМ – биссектриса <А
ВР – биссектриса <В
О – точка пересечения биссектрис
М
Р
А
О
К
В
Точка пересечения высот треугольника
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной
точке
ВК  АС
СР  АВ
АМ  ВС
В
Р
О – точка пересечения высот
О
А
К
М
С
Точка пересечения медиан треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2:1,
С
считая от вершины
ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС
О – точка пересечения медиан
Р
О
М
СО : КО = 2 : 1
АО : МО = 2 :1
ВО : РО = 2 : 1
А
К
В
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется
равнобедренным, если две его
стороны равны
Равносторонний треугольник
Треугольник, все стороны
которого равны, называется
равносторонним
В
А
В
С
АВ = ВС
А
С
АВ = АС = ВС
Свойства равнобедренного треугольника
С
В равнобедренном треугольнике углы
при основании равны
<А = <В
В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой
А
К
АС = ВС
В
СК - биссектриса
АК = КВ, СК  АВ
1. Высота равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является медианой и
биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является высотой и
биссектрисой.
Прямоугольный треугольник
В
Треугольник, у которого один из углов прямой,
называется прямоугольным
АВ и АС – катеты
ВС - гипотенуза
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов
А
С
ВС² = АВ² + АС²
Свойства прямоугольного треугольника
В
Сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°
Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы
30°
С
А
<A + < B = 90°
Если катет прямоугольного
треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30°
< A =1 30°
CB = 2 AB
Если CB =12
AB, то <A = 30°
Признаки равенства треугольников
I признак
По двум сторонам и
углу между ними
В
А
II признак
По стороне и
прилежащим к ней
углам
B
P
М
С
К
N
Если <A = <K,
AB = KM,
AC = KN,
то ∆ABC = ∆KMN
А
C
К
Если <B = <P
AB = KP, BC = PK,
то ∆ABC = ∆KPN
III признак
По трем сторонам
B
N
А
M
C
K
Если АВ = КМ,
АС = KN, BC = MN,
то ∆АВС = ∆KNM
N
Признаки равенства прямоугольных треугольников
В
М
А
По двум катетам
Если АВ = КМ,
АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и
острому углу
Если ВС = MN,
<B = <M,
то ∆АВС = ∆KMN
С
К
N
По катету и прилежащему
острому углу
Если AB = KM, <B = <M,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и катету
Если ВС = МN, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше
В суммы двух других сторон
АВ < ВС + АС
АС < АВ + ВС
ВС < АВ + АС
А
С
Сумма углов треугольника равна 180°
A
<A + <B + <C = 180°
Угол, смежный с какимнибудь углом треугольника,
называется внешним
<АВО – внешний
C
B
О
16
Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним
<3 смежный с <4
<4 + <3 = 180°
(<1 + <2) + <3 = 180°
2
<1 + <2 = <4
1
3
4
17
Зависимость между величинами сторон и углов
треугольника
В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая
сторона
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше катета
2. Если два угла треугольника равны, то
треугольник равнобедренный
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого
В1
В
С
А
<A = <A1 , <B = < B1, <C = <C1,
k – коэффициент подобия
∆АВС ∞ ∆ A1 B1C1
А1
С1
АВ
ВС
СА
  
k
А
В
С
А
1
1 В
1
1 С
1
1
Признаки подобия треугольников
1. Если
два угла одного треугольника соответственно равны двум
углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
2. Если
две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы, заключенные между
этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Р
Если
Если
<A: КР
= <K,
<B :=КМ,
<M,
АВ
= АС
АВ
АС
ВС
∆АВС

<Ато=
<К, ∞ ∆КРМ
КР
КМ
то ∆АВС
∞ ∆КРМРМ
В
∆АВС ∞ ∆КРМ
А
С
К
М
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного
треугольника и углов от 0° до 180°
Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе
В
BC
sinA
AB
Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
cos
A
С
А
AC
AB
Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему
tgA
BC
AC
Основное тригонометрическое тождество
sin² x + cos² x = 1
Теорема о площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его
сторон на синус угла между ними
1
S ab
sin
C
2
a
C
b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
C
а
B
b
c
A
a
b
c


sin
A sin
B sin
C
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
C
а
B
b
A
c
с
a
b
2
ab
cos
C
2
2
2
Решение задач
по готовым чертежам
1. В
треугольнике АВС
угол А равен 38°.
Найдите угол С.
2. В треугольнике АВС угол
С равен 118°. Найдите
угол А.
3. В треугольнике АВС угол 4. В треугольнике АВС
С равен 52°. Найдите
внешний угол СВD.
внешний угол при вершине
В равен 122°. Найдите
угол С.
5. Один из внешних углов
6. В треугольнике АВС угол А
треугольника равен 85°. Углы, равен 60°, угол В равен 70°.
не смежные с данным
Найдите разность углов АСН и
внешним углом, относятся как ВСН.
2 : 3. Найдите наибольший из
них.
8. Найдите синус угла АОВ. В
7. В треугольнике АВС угол С ответ укажите значение,
равен 50°, АD – биссектриса, умноженное на
угол САD равен 28°. Найдите
угол В.
9. Найдите косинус угла
АОВ. В ответ укажите
значение, умноженное
10. Найдите синус угла АОВ.
В ответ укажите значение,
умноженное на
на
11. Найдите косинус угла
АОВ. В ответ укажите
значение, умноженное на
12. Найдите синус угла АОВ.
В ответ укажите значение,
умноженное на
13. Найдите синус угла АОВ.
В ответ укажите значение,
умноженное на
14. В треугольнике АВС угол
С равен 90°, СН – высота, АС
=10, АН =8. Найдите cos B.
15. В треугольнике АВС угол 16. В треугольнике АВС, АС
С равен 90°, СН – высота, ВС = ВС =10, АВ = 12. Найдите
= 10, ВН = 8. Найдите cos А. cos А.
15. В треугольнике АВС угол С 16. В треугольнике АВС, АС =
равен 90°, СН – высота, ВС =
10, ВН = 8. Найдите cos А.
ВС =10, АВ = 12. Найдите cos
А.
18. В треугольнике АВС,
17. В треугольнике АВС, АС = АС = ВС, АВ =10, высота АН
ВС =10, АВ = 16. Найдите tgА. равна 8. Найдите sin А.
19. В треугольнике АВС, АС 20. В треугольнике АВС, АВ
= ВС, АН –высота, sin А =
= ВС, АС = 5, СН – высота,
0,8. Найдите косинус
АН = 4. Найдите . sin АСВ.
угла ВАН.
21. В треугольнике АВС, АВ 22. Найдите синус угла АОВ.
= ВС, АВ = 10, высота СН = В ответ укажите значение
8. Найдите косинус угла
синуса, умноженное на
АВС.
23. Найдите медиану
треугольника АВС, проведенную из вершины С,
если стороны квадратных
клеток равны 1.
24. Найдите высоту
треугольника АВС, опущенную
на сторону ВС, если стороны
квадратных клеток равны .
25. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника
АВС, считая стороны
квадратных клеток равными 1.
26. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника
АВС, считая стороны
квадратных клеток равными 1.
№1. Средняя линия равностороннего треугольника
АВС равна 15см. Найдите периметр
этого треугольника.
№2. Периметр равностороннего треугольника АВС
равен 90см. Найти длину средней
линии этого треугольника.
№3. В равностороннем треугольнике АВС
проведены средние линии. Найти периметр
получившегося треугольника, если АВ=12см.
№4. Периметр равнобедренного треугольника равен
90, а боковая сторона равна 25. Найдите основание
треугольника.
№5. В равнобедренном треугольнике угол при
основании равен 20º. Найдите градусную меру угла
при вершине. Ответ укажите в градусах.
№6. Чему равен угол при основании равнобедренного
треугольника, если угол при его вершине равен 96º?
Ответ укажите в градусах.
№7. Периметр равнобедренного треугольника равен
90, а боковая сторона равна 25.
Найдите площадь этого треугольника.
№8. Основание равнобедренного треугольника равно
8, угол при основании равен 45º.
Найдите площадь треугольника
№9. Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 10, угол при основании равен 45º. Найдите
площадь треугольника.
№10. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол
при вершине В равен 110º. Найдите величину угла А.
Ответ дайте в градусах.
№11. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол
при вершине С равен 117º. Найдите величину угла В.
Ответ дайте в градусах.
№12. В треугольнике АВС проведена высота СН. АВ=8, а СН=
5. Найдите площадь этого треугольника.
№13. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного
треугольника равна 8√2. Найдите катет.
№14. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного
треугольника равна 6. Найдите площадь этого
треугольника.
№15. В прямоугольном равнобедренном
треугольнике высота равна 3. Найдите площадь
треугольника.
№16. Катеты прямоугольного треугольника равны
Найдите гипотенузу.
12 и 5.
№17. Катеты прямоугольного треугольника равны
40 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
№18. В прямоугольном треугольнике один катет
равен 6, а другой на 5 его больше. Найдите площадь
треугольника.
№19. В прямоугольном треугольнике гипотенуза
равна 26, а один из катетов равен 10. Найдите
площадь треугольника.
№20. В прямоугольном треугольнике гипотенуза
равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой.
Найдите площадь треугольника.
Тестовые задания из КИМов
части 1и части 2
1.В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь
равна
. Найдите меньшую высоту.
2. В прямоугольном треугольнике АВС высота,
проведенная из вершины прямого угла равна 3,
медиана, проведенная к гипотенузе равна 5. Найдите
площадь фигуры, образованной вписанным и
описанным кругами.
3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с
острым углом 15°, если известно, что высота
треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.
4.Найдите площадь треугольника, медианы которого
равны 3, 4, 5.
5.Найдите площадь треугольника, медианы которого
10, 10 и 16.
6. Найдите площадь треугольника АВС, если
известно, что угол ВАС равен 60°, АВ =20, а
медиана АМ равна 14.
7.Найдите площадь треугольника две стороны,
которого равны 10 и 12, а медиана, проведенная к
третьей стороне равна 5.
8.треугольнике две стороны равны 11 и 23, а
медиана, проведенная к третьей стороне равна 10.
Найдите третью сторону.
9. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8, АС =
6, угол ВАС равен 60°. Найдите биссектрису АМ.
10.треугольнике АВС известно, что АВ = х, АС = у,
угол ВАС равен 120°.
Найдите биссектрису АМ.
11. В равнобедренный треугольник АВС с
основанием ВС вписана окружность. Она касается
стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности.
Если АМ = 6 и ВМ = 24.
12. В равнобедренный треугольник АВС с
основанием ВС вписана окружность. Она касается
стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности,
если АМ = 8 и ВМ = 12.
13. В прямоугольный треугольник вписана
окружность. Точка касания делит гипотенузу на
части, равные 6 см и 4 см. Найдите радиус этой
окружности
14. В прямоугольном треугольнике с углом 60°
вписана окружность радиуса .Найдите площадь
этого треугольника.
15. В равнобедренном треугольнике расстояние от
центра вписанной окружности до вершины
противолежащей стороны основанию, равно 5. Боковая
сторона равна 10. Найдите длину радиуса.
16. Около равнобедренного треугольника МРК с
основанием МК, равным 48, описана окружность с
центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите
расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.
17. Основание тупоугольного равнобедренного
треугольника равно 24, а радиус описанной около него
окружности 13. Найдите боковую сторону треугольника.
.
18.Около равнобедренного треугольника АВС с
основанием АВ и углом 120° при вершине описана
окружность. Докажите, что отрезок, соединяющий
центр описанной окружности с точкой пересечения
продолжения высот треугольника, равен диаметру
описанной окружности
Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических
величин.
1. Мальчик прошел от дома по направлению на
восток 120 м. Затем повернул на север и прошел 50
м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался
мальчик?
Решение:
Пусть мальчик находится в точке пересечения
осей направлений.
По т. Пифагора х=√(1202 +502) = √16900 = 130
Ответ: 130
2. Девочка прошла от дома по направлению на запад
240 м. Затем повернула на север и
прошла 480 м. После этого она повернула на восток
и прошла еще 240 м. На каком расстоянии (в метрах)
от дома оказалась девочка?
3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке,
пошли по взаимно перпендикулярным дорогам,
мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч.
Какое расстояние (в километрах) будет между ними
через 1 час 42 минут?
1 час 42 мин = 1,7 часа
4*1,7 = 6,8 км - прошел мальчик
3*1,7 = 5,1 км - прошла девочка
√(6,82+5,12)=√72,25 = 8,5 км - расстояние между
ними
4. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке,
пошли по взаимно перпендикулярным дорогам,
мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч.
Какое расстояние (в километрах) будет между ними
через 1 час 30 минут?
1 час 30 мин = 1,5 часа
4*1,5 = 6,0 км - прошел мальчик
3*1,5 = 4,5 км - прошла девочка
√(6,02+4,52)=√56,25 = 7,5 км - расстояние между
ними
8. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 9
шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень
человека равна трем шагам. На какой высоте (в
метрах) расположен фонарь?
Решение. Из подобия
большого и маленького
треугольников:
х : (9+3) = 1,8 : 3
х : 12 = 0,6
х = 0,6*12= 7,2 Ответ: 7,2
9. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 14
шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень
человека равна трем шагам. На какой высоте (в
метрах) расположен фонарь?
10. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 15 м от
столба, на котором висит фонарь на высоте 10,2 м.
Найдите длину тени человека в метрах.
Пусть х - длина тени.Из подобия маленького и
большого треугольников следует:
х / 1,7 = (х+15) / 10,2
10,2х = 1,7 (х+15)
8,5 х = 25,5
11. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от
столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м.
Найдите длину тени человека в метрах.
№9. Один острый угол прямоугольного
треугольника в два раза больше другого. Найдите
меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.
В
Решение:
<A + <B = 90°
А
С
Пусть <A = x, тогда
<B = 2х
х + 2х = 90°
х = 30°
Ответ: 30°
№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г)
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину
угла АВС. Ответ дайте в градусах.
Решение:
В
<BAC = <BCA
<BCA = 180° – 123° = 57°
<ABC = 180° – 2·57° = 66°
Ответ: 66°
123°
А
С
№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса,
угол С равен 50°, угол САD равен 28°.
Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Решение:
С
D
А
В
<A + <B + <C = 180°
<CAD = <BAD = 28°
<A = 2·28° = 56°
<B = 180° - 56° - 50° = 74°
Ответ: 74°
№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г)
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым
углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8.
Найдите медиану СК этого треугольника
Решение:
А
К
1 12 21
СК

АВ

АС

ВС

36

64

5
22
2
Ответ: 5
С
В
№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°.
Внешний угол при вершине В равен 68°.
Найдите угол А.
I способ:
Внешний угол треугольника
28
равен сумме двух углов
треугольника, не смежных с ним.
Следовательно
<A + <C = 68°
68
А
В
<A = 68° – 28° = 40°
II способ:
Ответ: 40°
<ABC = 180° - 68° = 112°
Сумма углов треугольника равна 180°.
Следовательно <A + <B + <C = 180°
<A = 180° – 28° – 112° = 40°.
Ответ: 40°
Решение:
С
№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их
серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.
Решение:
Достроим треугольники АВС и ВАD.
D
В
∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу
между ними)
AO = OB, DO = OC по условию,
<DOB = <AOС как вертикальные,
следовательно
О
DB = AC
∆ADO = ∆BCO (по двум сторонам и
углу между ними)
А
С
AO = OB, DO = OC по условию,
<DOА = <СOB как вертикальные,
следовательно
АD = ВC
Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом
∆ABC = ∆BAD (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.
№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина
ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC.
Так как М и N середины сторон АВ и
ВС, то MN – средняя линия ∆АВС
Решение:
С
следовательно
MN || АС.
Так как MN || АС,
то <ACB = <MNB (как
соответственные),
<ABC – общий,
N
следовательно
∆MBN ∞ ∆ABC (по двум углам)
Что и требовалось доказать
А
М
В
№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом
L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.
∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам
(<K – общий, <KLM = <KPL = 90°).
Решение:
M
∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам
(<M – общий, <KLM = <MPL = 90°).
P
L
K
∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам
(углы при вершине P прямые, <K =
<MLP).
Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то
MP
LP2
 
LP

KP

MP
LP
KP
Что и требовалось доказать.