Лекция 6: СТО

Лекция №6
Динамика релятивистской частицы
Алексей Викторович
Гуденко
13/03/2012
План лекции




Постулаты теории относительности. Принцип
относительности Эйнштейна.
Релятивистская кинематика. Замедление
времени и сокращение длины. Преобразования
Лоренца. Интервал. Релятивистский закон
сложения скоростей.
Релятивистский импульс. Релятивистская
энергия. Связь между энергией и импульсом
частицы. Динамический инвариант.
Примеры релятивистского движения частиц.
Альберт Эйнштейн (1879 -1955)

Альберт Эйнштейн – немецкий
физик-теоретик (в 1933 г. переехал
в США).
Нобелевская премия 1921 г. «за
заслуги перед теоретической
физикой, и особенно за открытие
закона фотоэлектирческого
эффекта».
Основные принципы (постулаты)
специальной теории относительности (СТО)
Специальная теория относительности - изучает
быстро движущиеся частицы в ИСО.
Постулат I. Законы природы = inv.
Все физические законы – как механические так и
электромагнитные – имеют одинаковый вид во
всех ИСО. Никакими опытами невозможно
установить, какая из инерциальных систем
неподвижна.
Постулат II. Скорость света = inv
Скорость света в пустоте одна и та же во всех
инерциальных системах отсчёта и равна
c ≈ 300000 км/с
Скорость света С = inv




С = 299792458 м/с
Скорость света не изменяется при переходе от
одной ИСО к другой, т.е. является инвариантом.
Скорость света в вакууме не зависит от движения
источника света и одинакова во всех направлениях.
Скорость света в вакууме является предельной:
никакой сигнал, никакие частицы, никакое
воздействие одного тела на другое не могут
распространяться со скоростью, превышающей
скорость света в вакууме. Это предельная скорость
передачи информации.
Относительность одновременности.
Y'
Y
V
A
O
B
O'
O


Δt' = 0 - из симметрии
Δt = L/(c-v) - L/(c+v) = 2Lv/(c2 – v2),
длина стержня x2 – x1 = 2L
X'
X
Замедление времени.
Синхронизация часов.
v
L
τ = 2(L2 + ¼ v2τ2)1/2/c
τ0 = 2L/c
vτ
τ = τ0/(1 - v2/c2)1/2

Собственное время τ0 – самое маленькое. Все движущиеся
часы покажут большее время: τ > τ0
Лоренцевское сокращение
l = l0(1 – β2)1/2



Длина стержня – разность координат его
концов в одно и то же время (Δt = 0) –
зависит от системы отсчёта.
l0 – длина покоящегося стержня
(собственная длина)
Продольные размеры движущегося со
скоростью β стержня сокращаются:
l = l0(1 – β2)1/2
Преобразования Лоренца




x’ = (x – ut)/(1 – β2)1/2
y’ = y
z’ = z
t’ = (t – ux/c2)/(1 – β2)1/2




x = (x’ + ut’)/(1 – β2)1/2
y = y’
z = z’
t = (t’ + ux’/c2)/(1 – β2)1/2
Интервал – релятивистский
инвариант. Причинность.

Для любой пары событий величина
пространственно-временного интервала между
событиями s является инвариантом:
S2 = (сΔt)2 – Δx2 – Δy2 – Δz2 = (сΔt')2 – Δx'2 – Δy'2 – Δz'2

Типы интервалов:
1.
2.
3.
S2 = 0 – светоподобный интервал
S2 > 0 – времениподобный интервал. Между событиями
может быть причинно-следственная связь
S2 < 0 – пространственноподобный интервал. Между
событиями не может быть причинно-следственной
связи.
Сложение скоростей в СТО



vx = (vx’ + u)/(1 + vx’u/c2)
vy = (vy’ + u)(1 – u2/c2)1/2/(1 + vy’u/c2)
vz = (vz’ + u)(1 – u2/c2)1/2 /(1 + vz’u/c2)1/2
Две частицы



Расстояние между частицами L = 1,6 cв.с.
Частицы летят навстречу друг другу с v = 0,8 c
Через какое время они встретятся:
1)
2)
1)
2)
по лабораторным часам?
по собственным часам?
Скорость сближения – 2v,
Δt = L/2v = 1 c
Относительная скорость
v’ = 2v/(1+β2) = 0,975 c < c
Время встречи по собственным часам расчитаем через
интервал:
s2 = (c Δt)2 – (L/2)2
s’2 = (c Δt0)2  Δt0 = [(Δt)2 – (L/2c)2]1/2 = 0,6 c
Импульс и энергия в СТО








Импульс релятивистской частицы
p = m0v/(1 – v2/c2)1/2
Релятивистская энергия:
Е = mc2/(1 – v2/c2)1/2
Энергия покоя:
Е0 = mc2
Кинетическая энергия:
K = E – E0;
Скорость частицы: v = c2 p/E
E2 = E02 + p2c2  pc = (K(K + 2E0))1/2
Для безмассовых частиц: E = pc; v = c
закон дисперсии релятивистской частицы
E = E(p): E = (E02 + p2c2)1/2
Законы релятивистской динамики



F = dP/dt
Работа силы:
dA = Fdr
Кинетическая энергия частицы:
К = ∫Fdr = ∫dp/dt vdt = ∫vdp = pv - ∫pdv = mv2/(1 – v2/c2)1/2 +
mc2(1 – v2/c2)1/2 – mc2 = mc2/(1 – v2/c2)1/2 – mc2
Энергия релятивистской частицы



К = mc2/(1 – v2/c2)1/2 – mc2
Для малых скоростей – обычная
формула:
К = mc2/(1 – v2/c2)1/2 – mc2 ≈ ½ mv2
v→c K→∞
mc2/(1 – v2/c2)1/2
E
mc2 + ½ mv2
E0
c
v
Динамический инвариант
E2 – pc2 = inv

При столкновении протонов высоких
энергий могут образовываться
антипротоны:
p + p → p + p + p + p~

Пороговая энергия реакции Кпорог = ?
1.
2.
Встречные пучки:
Кпорог = Ep = 938 МэВ ≈ 1 ГэВ
неподвижная мишень:
Кпорог = 6Ep ≈ 6 ГэВ
Мюон (μ) – нестабильная частица с
временем жизни τ0 ≈ 2 мкс
Задача (5.11).
 Время жизни τ0 = 2,2 мкс
 Масса m ≈ 207 me
 E = 1 ГэВ
 β=?τ=?S=?
 β ≈ 0,995; τ = τ0 E/mc2 ≈ 10 τ0 = 2,1.10-5c;
S ≈ c τ = 6 км