5.4.4. Энергия заряженного конденсатора

5.4.4. Энергия заряженного конденсатора
Если замкнуть обкладки конденсатора, то по проволоке потечет ток,
который может даже расплавить ее. Значит, конденсатор запасает энергию.
Вычислим ее.
Конденсатор разряжается U' – мгновенное значение напряжения на
обкладках. Если при этом значении напряжения между обкладками
проходит заряд dq, то работа
dA = U'dq.
(5.4.24)
Работа равна убыли потенциальной энергии конденсатора:
dA = – dWc.
Так как q = CU, то dA = CU'dU', а полная работа
A   dA.
(5.4.25)
0
1
A  Wc  C  U dU   CU 2
2
U
CU
Wc 
2
2
(5.4.26)
(5.4.27)
Энергию конденсатора можно посчитать и по другим
формулам:
2
q
1
Wc 
 qU
2C 2
(5.4.28)
5.5. Энергия электростатического поля
Где же сосредоточена энергия конденсатора? На обкладках? То есть
на зарядах? А может, в пространстве между обкладками? Только опыт
может дать ответ на этот вопрос.
В пределах электростатики дать ответ на этот вопрос невозможно.
Поля и заряды, их образовавшие не могут существовать обособленно.
Их не разделить. Однако переменные поля могут существовать
независимо от возбуждавших их зарядов (излучение солнца,
радиоволны, …) и они переносят энергию. Эти факты заставляют
признать, что носителем энергии является электростатическое поле.
Носителем энергии в конденсаторе, Wc является
электростатическое поле.
Найдем Wc:
2
CU
ε 0εSU d ε 0ε  U 
Wc 


  Sd
2
2d d
2 d
2
2
Sd = V – объем. Отсюда:
ε 0 εE
Wc 
V (5.5.1)
Если поле однородно, заключенная в нем энергия 2
распределяется в
U
 E;
d
2
пространстве с постоянной плотностью. Тогда можно посчитать
удельную энергию ωуд:
2
W
ω уд  ; ω  ε 0εE
уд
V
2 ω  ED
уд
Или, так как D = ε0εE, то
2
(5.5.2)
(5.5.3)
Эти формулы справедливы для однородного поля.
Если поле создано двумя точечными зарядами q1 и q2, то для каждого
из них
W1  q1; φ12 W2  q2φ 21 Здесь φ – потенциал поля,
12
создаваемого зарядом q2 в точке, где расположен заряд q1, φ21 – потенциал
поля от заряда q1 в точке с зарядом q2.
Для вакуума можно записать
q1
q2
φ 21 
φ12 
4πε r
4πε r
Здесь r – расстояние0 между зарядами. Из двух последних0 систем
уравнений следует, что
q1q2
W1  W2 
W
4πε0r
1
1
1
W  W1  W2  (q1φ12  q2φ21 ).
2
2
2
Обобщая этот вывод на систему из N зарядов, записываем:
(5.5.4)
1 N
W 
qi φi

2
i 1
потенциал в точке, где расположен заряд q1,
создаваемый всеми остальными зарядами (кроме q1).
φi   φ k 
k i
Как мы уже говорили пондермоторные силы – это силы
электрического взаимодействия.
 Разноименные пластины конденсатора будут
притягиваться. Силу их притяжения называют
пондермоторной.
 При незначительном перемещении одной пластины в
поле другой совершается работа
dW
dA  dW  Fdx, F 
2
2
dx
q
q dx
dW


.
Тогда, можно записать, что
2C 2ε 0εS
 Отсюда можно получить формулу для расчета
пондермоторной силы
2
F
q
2ε 0εS
.
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Если в пространстве создать электрическое поле, то
носители заряда придут в упорядоченное движение –
положительные в направлении поля (от + к -), отрицательные
в противоположную сторону.
Электрический ток - упорядоченное движение заряженных частиц.
Электрический ток характеризуется силой тока.
Сила тока – скалярная величина, равная заряду, переносимому,
Через поперечное сечение проводника в единицу времени.
q
I 
t
размерность силы тока в СИ
Кл
1A 
;
с
Плотность тока
модуль вектора плотности тока численно равен отношению силы
тока через элементарную площадку, перпендикулярную
направлению движения носителей заряда, к ее площади:
I
j
S 
I   jS
s
В отличие от силы тока, которая есть величина скалярная и
направления не имеет, плотность тока – это вектор

Ясно, что плотность тока j связана с
плотностью свободных зарядов ρ и со
скоростью их движения
:

v


j  ρv др.


За направление
 вектора j принимают направление
v

вектора
положительных носителей зарядов
(раньше не знали о существовании отрицательных
носителей зарядов и приняли так).
Если носителями являются как положительные,
так и отрицательные заряды, то плотность тока
определяется формулой:



j  q n v др.  q n v др.
где
q n и q n – объемные плотности зарядов.

Там, где носители только электроны,
плотность тока определяется
выражением:


j  env др.


j можно изобразить графически с
Поле вектора
помощью линий тока, которые проводят так же,
как и линии вектора
 напряженности
E


jв
Зная
каждой точке интересующей
нас поверхности S можно найти силу тока 
через эту поверхность, как поток вектора j
 
I   j S.
S


Уравнение непрерывности
Представим себе, в некоторой проводящей среде,
где течет ток, замкнутую поверхность S
Для замкнутых поверхностейвекторы нормалей, а
следовательно, и векторы S принято брать
наружу, поэтому интеграл
 
j

S

S
дает заряд, выходящий в единицу времени
наружу из объема V, охваченного
поверхностью S.


Мы знаем, что плотность постоянного
электрического тока одинакова по
всему поперечному сечению S
однородного проводника.
Поэтому для постоянного тока в
однородном проводнике с сечением S
сила тока:
I  jS

Из этого следует, что плотности
постоянного тока в различных
поперечных сечениях 1 и 2 цепи
обратно пропорциональны площадям
S1 и S2 этих сечений :
j2 / j1  S1 / S 2

В интегральной форме можно записать:
 
q
 j S   t
S

Это соотношение называется уравнением
непрерывности. Оно является, по существу,
выражением закона сохранения электрического
заряда.

Дифференциальная форма записи уравнения
непрерывности.

ρ
j  
t


В случае постоянного тока,
распределение зарядов в пространстве
должно оставаться неизменным:
следовательно,
q
 0,
t
 
j

S

0
,


это уравнение непрерывности для
постоянного тока



j
Линии
в случае постоянного тока
нигде не начинаются и нигде не
заканчиваются.
Поле вектора
не имеет
источника.

j
В дифференциальной форме уравнение непрерывности для постоянного тока

j  0


Если ток постоянный, то избыточный заряд
внутри однородного проводника всюду равен
нулю.
Докажем это: т.к. для постоянного тока справедливо
уравнение
отсюда
 
 j S  0
S
 qi  0.

Избыточный заряд может появиться только на
поверхности проводника в местах соприкосновения с
другими проводниками, а также там, где проводник
имеет неоднородности.
Сторонние силы и ЭДС

Для того, чтобы поддерживать ток
достаточно длительное время,
необходимо от конца проводника с
меньшим потенциалом непрерывно
отводить, а к другому концу – с большим
потенциалом – подводить электрические
заряды. Т.е. необходим круговорот
зарядов.

Поэтому в замкнутой цепи, наряду с
нормальным движением зарядов, должны
быть участки, на которых движение
(положительных) зарядов происходит в
направлении возрастания потенциала, т.е.
против сил электрического поля


Перемещение заряда на этих участках
возможно лишь с помощью сил
неэлектрического происхождения
(сторонних сил): химические процессы,
диффузия носителей заряда, вихревые
электрические поля.
Аналогия: насос, качающий
воду в водонапорную башню,
действует за счет негравитационных сил (электромотор).
Сторонние силы можно характеризовать работой, которую они
совершают над перемещающимися по цепи зарядами
Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного
Положительного заряда в цепи, называтеся:

электродвижущей силой (ЭДС), :
A
E ;
q
 Дж 



В
 Кл 

Стороннюю силу, действующую на
заряд, можно представить в виде:




E ст
сил.


Fст  E ст q,
(7.4.2)
– напряженность поля сторонних

Работа сторонних сил на участке 1 – 2:
2 

 
A12   Fст d l  q  E ст d l ,
2

Тогда ЭДС
1
1
 
A12
E12 
  E ст d l .
q 1
2

(7.4.3)
Для замкнутой цепи:
 
E   Ei   E ст d l .
(7.4.4)
 
E   Ei   E ст d l .

Циркуляция вектора напряженности сторонних
сил равна ЭДС, действующей в замкнутой цепи
(алгебраической сумме ЭДС).

При этом необходимо помнить, что поле сторонних
сил не является потенциальным, и к нему нельзя
применять термин разность потенциалов или
напряжение.