Лекции в формате ppt, 2 МБ - Кафедра физики атомного ядра и

с/к «Взаимодействие частиц и
излучений с веществом»
Кузаков Константин Алексеевич
кафедра физики атомного
ядра и квантовой теории
столкновений
Предмет спецкурса
Курс посвящен прохождению
быстрых частиц и излучений через
аморфные и упорядоченные среды
и связанным с этими процессами
явлениям.
Основной акцент делается на
физические суть и механизмы
процессов.
Структура курса
Взаимодействие с веществом:
I.
тяжелых заряженных частиц
(, π, p, d,  и т.д.);
II. электронов и позитронов (e-, e+);
III. -квантов;
IV. нейтральных частиц (n, ).
Литература




Мухин К.Н. «Экспериментальная ядерная физика»
(Книга 1. Части I и II.).
Энергоатомиздат, 1993.
Широков Ю.М., Юдин Н.П. «Ядерная физика».
Наука, 1980.
Меликов Ю.В. «Экспериментальная техника в
ядерной физике» (курс лекций).
Издательство МГУ, 1973.
Мурзина Е.А. «Взаимодействие излучения высокой
энергии с веществом» (Учебное пособие).
Издательство КДУ, 2007.
Раздел I. Взаимодействие тяжелых
заряженных частиц с веществом.
 Тяжелые заряженные частицы имеют
массу M>>me, где me – масса электрона.
Самые «легкие» – мюоны () и пионы ().
 Источники тяжелых заряженных частиц:
- ускорители низких и высоких энергий;
- ядерные реакторы (осколки деления);
- радиоактивные препараты
(-распад, p-распад, кластерный распад);
- космические лучи.
Раздел I.
1. Ионизационные потери энергии.
 При прохождении через вещество заряженная
частица за счет кулоновского взаимодействия
рассеивается на электронах и ядрах атомов (роль
ядерных сил мала, т.к. их радиус ~ 10-13 см).
 Передаваемая в результате такого кулоновского
рассеяния энергия частицы в основном идет на
ионизацию атомов. Радиационные потери энергии
(например, на тормозное излучение) в случае
тяжелых частиц как правило незначительны.
 Исследование ионизационных потерь необходимо
(i) для радиобиологической защиты при работе на
ускорителях, реакторах, с радиоактивными
препаратами и рентгеновскими источниками;
(ii) для разработки и создания детекторов частиц.
Выдающиеся физики, занимавшиеся
проблемой ионизационных потерь.
Ханс Бете
(1906 - 2005)
Феликс Блох
(1905 - 1983)
Нильс Бор
(1885 - 1962)
Лев Ландау
(1908 - 1968)
Энрико Ферми
(1901 - 1954)
Теория Бора
Niels Bohr
В 1912 г. Бор, используя свою модель атома, рассмотрел торможение
в веществе тяжелого иона с зарядом zeff и скоростью  > us ( << c), где
us – орбитальная скорость s-электрона в атоме вещества.
Считая электроны атомов вещества свободными и покоящимися, он в
рамках классической механики получил выражение для тормозной
способности вещества (т.е. удельных потерь энергии частицы):
2
4 zeff
e4
 dE 
nB


2
me
 dx 
n – атомная плотность; B – тормозное число (stopping number).
В рамках квантовой теории возмущений (Бете, 1930 г.):
2me 2
B  Z ln
I
Z, I – заряд и средний потенциал ионизации атома вещества.
Hans Bethe
Для релятивистского иона (Бете, 1932 г.):


2me 2
2
B  Z  ln
 
2
 I 1   



Расчеты показали (Блох, 1933 г.):
I=14∙Z эВ.
Felix Bloch
  c 
Кинематика рассеяния
Частица с массой M, энергией E и импульсом p
сталкивается с покоящейся частицей с массой m.
Законы сохранения энергии и импульса:
Решение системы уравнений:
Максимальное значение T достигается при 0=0 (лобовое столкновение):
Рассмотрим случай рассеяния тяжелой частицы на легкой
2 2 mc2  2m 2
Динамика кулоновского рассеяния
В приближении малых
углов рассеяния ( << 1):
Электрическое поле
частицы:
m
Интегрирование по dc от 0 до  дает:
Переданная энергия:
Удельные потери энергии
Число «рассеивателей»:
n0 – плотность «рассеивателей».
Полная переданная энергия:
Поскольку T0 = -dE, то
Для электрона Z = 1 
Z – атомный номер вещества! n – атомная плотность вещества.
Замечание: Вклад ядер в ионизационные потери мал, т.к.
dEя/dEe  Zme/Mя ~ 2∙10-4.
Для оценки Tmax (см. Кинематика рассеяния).
Если M >> m
2 2 mc2  2m 2
На первый взгляд Tmin = I, где I – средний потенциал ионизации атома
вещества. Однако, в области передаваемых энергий ΔE = E-E´ ~ I необходимо
уже учитывать квантовый характер движения электрона в атоме. Согласно
принципу Гейзенберга для неопределенности энергии и времени, время
взаимодействия можно оценить как  ~ ħ/I. С другой стороны, согласно
классической динамике,  ~ p0/Fy,max= 2b/(), т.е. время, за которое частица,
действуя с максимальной силой Fy,max= zZe2/b2 передаст электрону импульс
p0= 2zZe2/(b) (см. Динамика). Таким образом, находим b = ħ/(2I). Принцип
Гейзенберга для неопределенности импульса и координаты по оси y дает
p0 ≥ ħ/(2b)  p0min= I/. Отсюда получаем следующую оценку:
Тормозная способность
Используя полученную оценку для Tmin, получаем для удельных потерь
энергии (или линейной тормозной способности вещества):
re = e2/(mec2) ≈ 2,8∙10-13 см – классический радиус электрона.
Атомная плотность есть n = NAρ/A, где NA – число Авогадро;
ρ – плотность вещества; A – массовое число. Отсюда получим
массовую тормозную способность вещества (stopping power):
Замечание. Для легких элементов Z/A ≈ 1/2, а для тяжелых Z/A ≈ 2/5.
Формула Бете-Блоха
Более точное выражение для тормозной способности дается
формулой Бете-Блоха:
  – учитывает релятивистский эффект «сплющивания» электрического
поля частицы, т.е. уменьшение продольной и увеличение поперечной
компонент поля (относительно направления скорости частицы);
 слагаемое -β2 – учитывает случаи передачи большой энергии электрону
от релятивисткой частицы (т.е. случаи больших углов рассеяния частицы);
 δ – эффект «плотности», связанный с поляризацией атомов, когда с
ростом  прицельный параметр bmax= ħ/(2I) начинает значительно
превышать межатомное расстояние (при  >> 1 δ = 2∙ln(βħp/I), где
ħp = 28,8∙(ρZ/A)½ эВ – плазменная энергия вещества (ρ в г/см3)).
Основные свойства ф-лы Бете-Блоха:
1. Удельные потери пропорциональны
квадрату заряда частицы z2;
2. Удельные потери слабо зависят от массы
частицы M;
3. Удельные потери зависят от скорости
частицы, причем в широком диапазоне
скоростей ~1/2;
4. Удельные потери пропорциональны
плотности электронов в среде nZ.
Замечание.
При малых скоростях
~1/2
релятивизм
Плато Ферми
(эффект
плотности)
частицы, сравнимых с
орбитальными скоростями
электронов атомов среды,
начинают играть роль
эффекты перезарядки.
Эффективный заряд частицы
уменьшается  величина
удельных потерь падает. Для
небольших z:
σ захват
~ β 5
σ потеря
При этом при скоростях,
близких к орбитальной
скорости захваченного
электрона, σзахват≈ σпотеря.
Правило Брэгга
В 1905 г. австралийский физик Брэгг сформулировал
правило, согласно которому, тормозная способность
вещества, в чей состав входят несколько химических
элементов, есть линейная комбинация тормозных
способностей этих элементов:
Sir William Henry Bragg
(1862 – 1942)
ρj
 dE 


 ρdx  j ρ
 dE 


ρ
dx

j
ρ j ,   dE ρdx  j - плотность и
тормозная способность
вещества из j -го элемента
Раздел I.
2. δ-электроны.
δ-электроны – это электроны высокой
энергии (>> I), которые выбиваются из
атомов в результате прохождения через
вещество тяжелой заряженной частицы. δэлектроны ответственны за «волосатость»
треков заряженных частиц, наблюдаемых в
камере Вильсона или фотоэмульсиях. По
числу δ-электронов, создаваемых частицами
сверхвысоких энергий в космических лучах
или от ускорителей, можно надежно судить о
заряде этих частиц.
Иллюстрация
Расчеты методом
Монте-Карло
Спектр δ-электронов
Число образованных δ-электронов
с энергией T в интервале (T,T+dT):
n0 = NAρZ/A – плотность электронов
среды.
2 ze 2
b
 meT
   с 

dN
z 2 Z dT
K 2
dx
 2A T 2
re = e2/(mec2) – классический радиус
электрона.
Плотность δ-электронов
Чтобы найти общее число δ-электронов создаваемых на единице пути dx
(линейную плотность δ-электронов dnδ/dx), надо проинтегрировать по энергии
T от минимальной до максимальной:
Tmax
T
dn
dN
z 2 Z max dT
z 2 Z  1
1
 
 K 2


K

2
2

dx

dx

2
A
T

2 A  T ,min Tmax
T ,min
T ,min
Tmax 
2 2 2 me c 2
me  me 
1  2
 
M M 
2
  1
1  2





Tδ,min – нижняя граница энергии δ-электронов (>> I). В ультрарелятивистском
случае имеем β ≈ 1, Tδ,min<< Tmax , поэтому
dn
Z 1
 Kz 2
dx
2 A T ,min
Таким образом, измеряя dnδ/dx, можно определить заряд частицы z.
Угловое распределение
В системе центра инерции (СЦИ) угловое распределение δ-электронов
определяется формулой Резерфорда:
z 2 e 4 dСЦИ
d   
,
2
16 EСЦИ sin 4 
2
EСЦИ
me M  2 me 2


.
me  M 2
2
Для перехода в лабораторную систему отсчета (ЛС) воспользуемся
соотношением ψ = (π-θ)/2, где ψ – угол вылета δ-электрона относительно
направления движения частицы. Отсюда
2
 ze 2  d ЛС

d    
.
2 
3
 me  cos 
Т.е. наиболее «популярный» угол вылета ψ ~ π/2. Поскольку
T
4me M
4me
2
2
E
cos


E
cos
,
2
M
me  M 
то максимальные энергии реализуются при ψ ~ 0, а минимальные при ψ ~ π/2.
Раздел I.
3. Флуктуации ионизационных потерь.
Процесс потери энергии заряженной частицей
в веществе носит статистический характер.
Формула Бете-Блоха описывает лишь средние
потери энергии. Реальные потери одинаковых
частиц, проходящих один и тот же слой
вещества толщиной Δx, будут флуктуировать
около среднего значения. В результате будет
возникать энергетический разброс в
изначально моноэнергетическом пучке частиц.
Энергетическое распределение в пучке
зависит, очевидно, от толщины слоя.
Толстый поглотитель
Слой вещества считается толстым, если даже число столкновений с
максимальной передачей энергии Tmax, т.е. наименее вероятных столкновений,
велико. Число столкновений в слое Δx с передачей электрону энергии T в
интервале (T,T+dT) есть
z2 Z
dT
dN T   K 2
x 2
 2A T
Следовательно, число столкновений с максимальной передачей энергии есть

z2 Z
1
N T  Tmax    dN T   K 2
x
 2 A Tmax
Tmax
Ремарка: Хотя кинематически T ≤ Tmax, в динамической модели, использованной,
при выводе формулы Бете-Блоха, энергия T может быть сколь угодно большой!
Таким образом, критерий толстого поглотителя есть
z2 Z
N T  Tmax   1  K 2
x  Tmax
 2A
Еще в 1915 г. Бор показал, что в случае толстого поглотителя
распределение потерь энергии подчиняется закону Гаусса:

 E  E
1
PE  
exp 
2
2

 2

 ,
2

z2 Z
dE
  Kme c 2 x, E 
x
 A
dx
2
2
P(ΔE)
среднее значение
Niels Bohr
ΔE/σ
Рис. Пример распределения Гаусса.
Тонкий поглотитель
В случае тонкого поглотителя имеем
z2 Z
N T  Tmax   1  K 2
x  Tmax
 2A
Впервые этот случай рассмотрел Ландау (L.Landau, J. Physics (USSR) 8
(1944) 201). Он получил распределение, которое теперь носит его имя:
 E  Eв ер 
,
P E    



z2 Z
  K 2
x,
 2A
Лев Ландау
(Leo Landau)
 2me c 2  2

.
Eв ер     ln

0
,
373
2
I


Кривая Ландау
Распределение Ландау несимметрично: величина средней потери энергии
больше, чем наиболее вероятной. С ростом Δx распределение Ландау
постепенно переходит в распределение Гаусса.
наиболее вероятное
значение
P(ΔE)
среднее значение
ΔE/ξ
Рис. Пример распределения Ландау.
Раздел I.
4. Пробег тяжелой заряженной частицы.
Потери энергии приводят к постепенному
торможению частицы и, в конечном итоге, к её
остановке. Полный путь, пройденный
частицей, в веществе называется пробегом.
Энергия тяжелой заряженной частицы
меняется от E0 до 0 в результате различных
механизмов взаимодействия (неупругие и
упругие столкновения с атомами вещества,
радиационные потери и пр.), основным из
которых для энергий E0 ≤ 100 Мэв являются
ионизационные потери.
Пробег частицы в веществе
E
1
0
dE
 dE 
определяется следующим образом: RE0   dx 
0 E  dE   0   dx  dE
0

 dx 
R
0
Для вычисления -dE/dx используется
формула Бете-Блоха. При этом
траектория частицы на всем своем
протяжении близка к прямой линии,
так как ее масса M много больше
На практике
определить пробег
частиц в веществе
можно посредством
измерения
интенсивности
пучка после
прохождения пленок
разной толщины.
массы электронов me, с которыми она
взаимодействует. Теоретический
расчет зависимости R(E0) («пробегэнергия») требует численного
интегрирования по вышеприведенной
формуле. Однако, исходя из общих
свойств формулы Бете-Блоха, можно
сделать ряд полезных выводов в
отношении R(E0).
Формула Бете-Блоха:
(1) Поскольку Z/A практически не меняется с веществом, а I стоит под знаком
логарифма, то величина ρR слабо зависит от характеристик среды.
(Поэтому удобно измерять пробеги в массовых единицах длины, т.е. г/см2.)
(2) Для нерелятивистских частиц имеем
2
2me 2
dE
2 c Z

 Kz 2 ln
dx
 A
I
M04 4 E02
 R 2 
,
2
z
Mz
т.е. при равных скоростях (энергиях) пробеги частиц пропорциональны
(обратно пропорциональны) их массам и обратно пропорциональны
квадратам зарядов. Отсюда для пробегов частиц сортов 1 и 2 имеем

z12 M 2
M1 

.
R2 E02   2 
 R1  E01  E02
z2 M 1
M2 

Пример: R 10 Мэв   R p 2,5 Мэв .
Пробеги протонов в алюминии
Энергия,
МэВ
Пробег,
см
1
3
5
10
1.3*10-3 7.8*10-3 1.8*10-2 6.2*10-2
Пробег,
мг/см2
3.45
21
50
170
20
40
2.7*10-1 7.0*10-1
100
1000
3.6
148
1.9*103 9.8*103 4*105
560
Пробеги альфа-частиц в воздухе, биологической ткани, алюминии
Энергия,
МэВ
4
6
8
10
воздух, см
2.5
4.6
7.4
10.6
биоткань,
мкм
31
56
96
130
алюминий,
мкм
16
30
48
69
Straggling (страгглинг)
В силу статистического характера потерь энергии пробеги частиц одного сорта и
с одинаковой начальной энергией разные. Они распределены по закону Гаусса:
 R  Ra 2 
P R  
exp 
;
2
2R 

2 R 2
1
R 2  R  Ra  .
2
R 2
– straggling (страгглинг или
Ra
стрэгглинг, обычно ~ 12%)
распределение
Гаусса
Рис. Ra – средний пробег, который есть среднее распределения Гаусса P(R);
Re – т.н. экстраполированный пробег, определяется с помощью
экстраполяции по касательной к кривой пробега в точке (Ra,I0/2).
Кривая Брэгга
Кривой Брэгга называют график зависимости удельных ионизационных потерь
от расстояния, пройденного заряженной частицей в веществе. В кривой Брэгга
для тяжелых заряженных частиц наблюдается резко выраженный максимум в
конце пробега, который носит название пика Брэгга.
пик Брэгга
ln (ф-ла Бете-Блоха)
+
эффект перезарядки
закон ~1/2
(ф-ла Бете-Блоха)
Рис. Кривая Брэгга для
α-частиц с энергией
5.49 Мэв в воздухе.
Пик Брэгга используют в ядерной медицине для
удаления раковых опухолей с помощью пучков
ионов: практически прямолинейная траектория
ионов позволяет целенаправленно доставлять
дозу облучения в опухоль, с минимальным
ущербом для соседних здоровых тканей.
«Хвост» после пика
Брэгга объясняется
вторичными частицами
(электронами,
нуклонами и т.д.).
Придавая «уширение»
моноэнергетическому
пучку частиц, можно
эффективно облучать
бóльший объем.
Раздел I.
5. Упругое рассеяние на атомах.
Помимо возбуждения-ионизации атома возможен
процесс упругого столкновения с атомом, когда
частица рассеивается в кулоновском поле ядра
(экранированном электронами, строго говоря).
Механизм взаимодействия сходен с ионизационным
торможением, поскольку в обоих случаях имеет
место кулоновское рассеяние, но его относительный
вклад в общие потери энергии существенен только
при малых энергиях частицы, когда становится
заметным эффект перезарядки. Несмотря на малый
вклад упругого рассеяния в потери энергии, оно
может приводить к существенному отклонению
траектории частицы от прямолинейной.
Кулоновский барьер
Если энергия частицы настолько велика, что она может приблизиться на
расстояние, соизмеримое с радиусом действия ядерных сил (~ 10-13 см), то она
может испытывать помимо кулоновского отталкивания ядерное притяжение со
стороны ядра. Граничная энергия, выше которой может происходить рассеяние
в поле ядерных сил, определяется высотой кулоновского барьера для частицы:
zZe 2
zZe 2
zZ
VC R  


MeV
13
13
R
R0 A
A
R
0

 1,5 1013 cm .
Рис. Кулоновский потенциальный барьер.
VC(r) – потенциал взаимодействия;
R – радиус ядерного взаимодействия;
V0 – потенциал ядерного взаимодействия;
ε – энергия относительного движения
частиц (энергия взаимодействия).
Экранировка
Когда энергия частицы существенно ниже кулоновского барьера, она не в
состоянии достаточно близко подойти к ядру и проникнуть глубоко в
электронную оболочку атома. Здесь начинает сказываться экранирование:
 r 
zZe 2
VC r  
exp   ,
r
 aэ 
aэ 
a0
z2 3  Z 2 3


2
8
 a0 
 0,53 10 cm .
2
me e


aэ – параметр (радиус) экранирования; a0 – боровский радиус.
Если в СЦИ частицы и ядра кинетическая энергия есть EСЦИ, то минимальное
расстояние сближения частицы с ядром есть (из условия равенства
кинетической энергии и потенциальной энергии кулоновского отталкивания)
rmin
zZe 2
1,44  zZ


10 13 cm.
EСЦИ EСЦИ MeV 
Условие слабого экранирования: rmin< aэ;
условие сильного экранирования: rmin≥ aэ.
«Упругие» потери энергии
Удельные потери энергии достаточно быстрой частицей (rmin< aэ) при упругом
кулоновском рассеянии на ядрах можно вывести по аналогии с выводом
формулы Бете-Блоха для ионизационных потерь, обусловленных кулоновским
рассеянием на электронах. Действительно, имеем в общем случае (см. пункт 1,
Удельные потери энергии):
В данном случае: n0 – плотность ядер (атомная плотность); m = mя – масса
ядра; Z = Zя – заряд ядра. Максимально возможная кинетическая энергия
отдачи ядра есть (см. пункт 1, Кинематика рассеяния )
Для оценки минимальной энергии Tmin воспользуемся связью между
прицельным параметром и переданной энергией:
b
2 Zze
m яT 
2
2

Tmin
2  Zze 2 

 .

2 
m я  bmax 
Поскольку с ростом b ядро всё больше экранируется электронной оболочкой, то
при b > aэ (режим сильного экранирования) можно считать, что рассеяние
практически отсутствует. Поэтому можно положить: bmax ~ aэ. В
нерелятивистском случае
Tmax
2m я M 2 2

mя  M 2

m я M 2 aэ
4z 2 Z 2 e 4
 dE 
n0 ln
.

 
2
2
mя  M Zze
m я
 dx  упр
Оценим теперь отношение «упругих» и ионизационных потерь:
 dE 


 dx  упр me Z  z
~
m я  zeff
 dE 


 dx ион
2

 z
m
Z
e
 


z
m
A
n

 eff
2

 z
1

4
  5,5 10  

z
2

 eff
2

 z

4
  3 10  

z

 eff
2

.


zeff учитывает эффект перезарядки в ионизационных потерях при малых
энергиях частицы. В «упругих» потерях этот эффект несущественен, т.к. b < aэ.
Малые углы рассеяния
При кулоновском рассеянии
наиболее вероятны малые
углы рассеяния (θ << 1), что
отвечает малым
переданным импульсам p0.
Угол рассеяния частицы на
ядре в этом случае:

m
Переданный импульс p0 есть
(см. пункт 1, Динамика кулоновского рассеяния)
Поскольку bmax ~ aэ, то
 min
p0
.
p
2 zZe 2
 
.
bp
2 zZe 2 2 zZ z 2 3  Z 2 3 e 2
~

.
aэ p
a0 p
Таким образом, сверхмалые углы рассеяния маловероятны из-за экранирования!
Метод обратного
резерфордовского рассеяния
Ядерно-физический метод исследования твердых тел, так называемый
метод обратного резерфордовского рассеяния, основан на
применении физического явления – упругого рассеяния ускоренных
частиц на большие углы при их взаимодействии с атомами вещества.
Этот метод достаточно давно используется в ядерной физике для
определения состава мишеней путем анализа энергетических спектров
обратно рассеянных частиц. Аналитические возможности
резерфордовского рассеяния легких частиц получили широкое
применение в различных областях физики и техники, начиная от
электронной промышленности и заканчивая исследованиями
структурных фазовых переходов в высокотемпературных соединениях.
Рассмотрим принципиальные особенности метода обратного резерфордовского
рассеяния.
Возможная
схема
применения
метода
показана
на
Рис.
Коллимированный пучок ускоренных частиц с массой М1, порядковым номером
Z1 и энергией Е0 направляется на поверхность объекта исследования. В качестве
объекта исследования может быть достаточно тонкая пленка, масса и
порядковый номер атомов которой равны, соответственно, М2 и Z2.
Часть ионов в пучке будет отражаться от поверхности с
энергией KМ2E0, а часть пройдет вглубь, рассеиваясь
затем на атомах мишени. KМ2 – кинематический фактор:
KM2


2
 M 2  M 2 sin 2  1 2  M cos  
1
1
 2
 .
M1  M 2


Если энергии частиц анализирующего пучка достаточно
для того, чтобы достичь задней поверхности мишени, то
Рис. Схема применения
рассеянные атомами этой поверхности частицы будут
метода обратного
иметь энергию E1. В случае присутствия на поверхности
резерфордовского
пленки примеси, масса атомов которой равна М3,
рассеяния (М3 < М2)
появится пик в области энергий KМ3E0.
Аналитические возможности метода. Применение метода
для определения пространственного распределения
примесей и дефектов основано на возможности
регистрировать разницу в энергии частиц ΔE, рассеянных
атомами, находящимися на разной глубине. Частица,
попадающая в детектор, претерпев акт упругого рассеяния
на некоторой глубине x, имеет меньшую энергию, чем
частица, рассеянная атомами вблизи поверхности. Это
связано, во-первых, с потерями энергии на пути в мишень и
из нее, а, во-вторых, из-за различий в потерях энергии при
упругом взаимодействии частицы с атомами,
находящимися на поверхности и на глубине x.
Рассмотрим процесс рассеяния частиц
на большой угол на глубине и на
поверхности в соответствии с Рис.
x  dE 
E1  K M 2 E 

 ,
cos  2  dx  вых
E  E0 
Рис. Геометрия рассеяния частиц от мишени

E  1  K M 2
x  dE 

 ,
cos 1  dx  вх
E1  E0  E ,
 1  dE 
1  dE  
E0  x 

 

 .
 cos 1  dx вх cos  2  dx вых 

Последнее соотношение лежит в основе перевода энергетической шкалы в
спектрах обратного рассеяния в шкалу глубины. При этом глубинное разрешение
определяется энергетическим разрешением детектора и может составлять
величину до 20 нм. Для определения энергетических потерь частицы (-dE/dx)вх и
(-dE/dx)вых можно использовать формулу Бете-Блоха.
Пример
На Рис. приведен пример энергетического
спектра обратного рассеянных ионов.
Стрелками на Рис. отмечены положения
пиков тех элементов, которые содержатся
на поверхности исследуемого образца
(пики справа, т.к. атомные веса этих
элементов больше, чем
кремния). Величина сигнала от i-го
элемента примеси в мишени, или площадь
под пиком, пропорциональна количеству
Рис. Энергетический спектр ионов
гелия с энергией 2 МэВ обратно
рассеянных от кремниевой мишени
этого элемента в мишени и, согласно
формуле Резерфорда, квадрату его
заряда.
Раздел I.
5. Многократное рассеяние.
Проходя через достаточно толстый слой
вещества, частица претерпевает много
столкновений с ядрами. Этот процесс
упругих кулоновских столкновений носит
название многократного рассеяния. В
каждом элементарном акте такого процесса
частица рассеивается преимущественно на
малый угол. В результате многократного
рассеяния параллельный пучок частиц
приобретает некоторый угловой разброс,
сохраняя азимутальную симметрию.
Мера многократного рассеяния
Если выбрать систему координат на плоскости, нормальной к первоначальному
направлению пучка, то угловое отклонение частицы в результате многократного
рассеяния можно характеризовать двумя (малыми) углами x и y. Поскольку
все акты рассеяния являются статистически независимыми, а отклонения в
одну или другую сторону в каждом акте равновероятны то распределение
результирующих отклонений будет описываться кривой Гаусса:
 x2 
dx ;
Px dx 
exp  
 2 2 
2
2 x
x 

1
  y2 
d .
P y d y 
exp  
 2 2  y
2
2  y
y 

Направление частицы будет определяться углом :
1
 2  x2   y2 .
Распределение частиц по углу  есть (dΩ  dxdy = 2πd):
 2 
P d  P x P y d x d y 
exp   d
 2 
2


2

2

 2 x2  2 y2 .
Таким образом, угловое распределение частиц после прохождения слоя
2



вещества характеризуется среднеквадратичным углом отклонения
Расчет угла 
Будем считать, что рассеяние обусловлено кулоновским потенциалом и что
рассеивающий слой достаточно тонкий, чтобы изменением энергии частиц за
счет ионизационных потерь можно пренебречь, т.е. E = const. Если число
элементарных актов рассеяния в слое есть N, а угол рассеяния в i-ом акте есть
θi, то
N

N
2
2


N

,
i
2 
2

i
i 1
i 1
.
N
Воспользуемся полученной ранее связью между θ и прицельным параметром b:
2 zZe

bp
2
 
2

2
 1
 2 .
 p  b
b    2 zZe
2
Число столкновений с параметром удара b в слое толщиной x есть
dN b   2n0 xbdb.
Полное число столкновений в слое будет
N
bmax


2
2


dN
b


n
x
b

b
.
0
max
min

bmin
Теперь среднеквадратичный угол  можно найти следующим образом:
bmax
2 
2

 bdN b
bmin
bmax
 dN b 
bmax
8z 2 Z 2 e 4

n
x
ln
0
Np 2 2
bmin
bmin

2

b
2
zZe
 n0 x ln max
  N 2 
2
p 
bmin
2
12

 .

Максимальный прицельный параметр можно оценить обычным образом
bmax~aэ, где aэ – параметр экранирования. Минимальный прицельный параметр
bmin можно оценить, исходя из следующего критерия: на всей толщине слоя в
среднем происходит только один акт рассеяния с прицельным параметром
b<bmin, т.е. N(b<bmin) = 1. Тогда
N b  bmin  
bmin
2
2


dN
b


n
xb

1

b

0
min
min

0
1
.
n0 x
Окончательно для среднеквадратичного угла  получаем

2 zZe
p
2

n xa
 n0 x ln 2 3 0
z Z

2
0
23
12

 .

Ремарка: В нерелятивистском случае p = 2E, а в ультрарелятивистском p ≈ E.
Таким образом, угол многократного рассеяния
• пропорционален заряду рассеивающейся частицы;
• пропорционален заряду рассеивающего ядра;
• обратно пропорционален энергии частицы;
• пропорционален квадратному корню из атомной плотности;
• пропорционален квадратному корню из толщины слоя.
Ремарка: Многократное рассеяние было рассмотрено в рамках приближенной
модели, которая тем не менее правильно отражает основные зависимости угла
многократного рассеяния от параметров частицы и среды. Более строгое
рассмотрение должно учитывать эффекты экранирования (это делается,
например, в рамках теории Мольера), потери энергии при достаточно толстых
слоях, квантовые эффекты.
Раздел I.
6. Ориентационные явления.
До сих пор рассмотрение велось для случая
неупорядоченного вещества (газа, жидкости,
аморфного т/т), т.е. такого вещества, в котором
отсутствует дальний порядок в расположении
атомов и чьи физические свойства (электро- и
теплопроводность, упругость и деформируемость и
т.д.) изотропны. В монокристаллах, где присутствует
дальний порядок, физические свойства выказывают
анизотропию. Соответственно, при прохождении
частицы через монокристалл возникает ряд
специфических явлений, обусловленных
упорядоченным расположением атомов. Эти
явления называют ориентационными.
Каналирование
Рис. Каналы, формируемые
атомными цепочками вдоль
основных
кристаллографических
направлений в кристалле.
Если быстрая заряженная частица движется в кристалле, то
при некоторых условиях и для определенных траекторий она
претерпевает ряд столкновений с атомами при практически
одинаковых прицельных параметрах. В этом случае говорят,
что индивидуальные столкновения становятся
коррелированными. Отклонения в каждом столкновении с
атомами будут при этом малы. Если такая частица движется
вдоль главных кристаллографических направлений, она
претерпевает серию малоугловых коррелированных
отклонений на соседних атомах цепочки. Такие частицы
называют каналированными, а подобный режим движения
называют каналированием заряженных частиц в кристаллах.
Атомы кристаллической решетки вдоль основных
кристаллографических направлений формируют т.н. каналы,
которые ограничиваются плотно упакованными атомными
рядами или плоскостями (см. Рис.). Эффект каналирования
был открыт в начале 1960-х годов (Piercy et al., PRL 10 (1963)
399) в результате наблюдений аномально больших пробегов
тяжелых ионов в кристаллических материалах.
Осевое
каналирование
Jens Lindhard
(1922 - 1997)
В режиме осевого каналирования частица движется в направлении
кристаллографической оси вдоль атомных цепочек. Основная идея,
существенно упрощающая теоретический анализ эффекта каналирования,
состоит в замене истинного потенциала атомов кристалла потенциалом,
усредненным по координатам атомов вдоль направления
кристаллографической оси (Линдхард, 1964). Основа непрерывного
приближения заключается в предположении, что в отклонение траектории дают
вклад много последовательных атомов. При этом закономерности движения
частицы в кристалле будут отличаться от закономерностей ее движения в
аморфном веществе. При движении вдоль атомных цепочек в непрерывном
приближении вводится средний потенциал

1
на расстоянии r от оси цепочки, т. е.
U r  
V R  r 2  z 2 dz ,
d




где V(R) – ионно-атомный потенциал; d – расстояние между атомами в цепочке.
Бесконечные пределы интегрирования обоснованы эффектом экранирования.
Плоскостное
каналирование
В режиме плоскостного
каналирования частица движется
вдоль кристаллических атомных
плоскостей (см. Рис.).
Рис. В кубической решетке существуют три основных
типа плоскостей, которые в кристаллографии
обозначают как (100), (110) и (111).
Если угол между импульсом частицы и кристаллической плоскостью мал, то
потенциал поля отдельных атомов может быть заменен усредненным
непрерывным потенциалом плоскости U(y), зависящим только от расстояния
до кристаллической плоскости y:



U  y   n0 d p  2rV R  y 2  r 2 dr ,
0
где n0 – число атомов в единице объема, n0dp – среднее число атомов на
единицу площади плоскости, dp – расстояние между соседними плоскостями.
Угол Линдхарда
Существует критический угол относительно кристаллографических направлений, который
разделяет все траектории на траектории каналированных и неканалированных частиц. Для
частицы, движущейся под углом меньше критического, столкновения с атомами кристалла
будут коррелированными, и частица большую часть времени будет проводить далеко от
цепочек. При углах больших критического атомные цепочки или плоскости не оказывают
направляющего действия на частицу. Для оценки критического угла введем в рассмотрение
энергию барьера для каналов Ec, зависящую от заряда иона z и параметров кристалла.
Обозначим через ψ угол между направлением движения частицы и направлением канала,
когда частица находится на оси канала. Если энергия поперечного движения Е = Е sin2ψ
больше, чем Ec, то частица может уйти из канала. Таким образом, критический угол можно
оценить как
12
Ec  E sin 2  c
 Ec 
 c    .
E
Только в случае, если угол между направлением падающего иона и осью канала меньше
критического и ион начинает свое движение вблизи оси канала, можно не учитывать уход
иона из канала и рассматривать собственно каналирование.
Минимальный выход
Если пучок частиц направлен вдоль оси канала, то он
разделяется на каналированную и неканалированную
компоненты. При такой ориентации в совершенном
кристалле в режим каналирования попадает до 95 - 98 %
частиц. Небольшая часть пучка (2 – 5%) испытывает на
влете в кристалл сильное рассеяние на атомных ядрах,
находящихся на поверхности кристалла, отклоняется на
угол больше критического и попадает в неканалированную
компоненту. Величину выхода частиц, рассеянных на
большие углы при нулевом угле влета, нормированную на
выход в неориентированной мишени, называют
минимальным выходом и обычно обозначают как min.
Вокруг каждой атомной цепочки имеется область πρmin2, в которой
частицы не могут быть каналированными даже при нулевом начальном
угле влета, причем ρmin определяет минимальное расстояние, на которое
каналированные частицы могут приблизиться к атомным цепочкам (или
плоскостям). Тогда часть пучка, попадающего в неканалированную
компоненту, определяется как πρmin2/πr02, где πr02 – площадь одного
канала. Из геометрических соображений следуют соотношения
min=πρmin2n0d (осевое каналирование) и min=2ρmin/dp (плоскостное
каналирование). Минимальное расстояние сближения, например, для
осевого каналирования можно оценить соотношением ρmin2=aэ2+u2 где
aэ и u – радиус экранирования и амплитуда тепловых колебаний атомов
в направлении, перпендикулярном атомной цепочке, соответственно. Из
приведенных формул следует, что минимальный выход в плоскостном
случае существенно превышает ту же величину для осевого
каналирования. Это является основной причиной того, что плоскостное
каналирование реже используется в исследовании кристаллов с
помощью ядерно-физических методов.
Ядерно-физические методы
Ядерно-физические методы исследования
кристаллической структуры материалов
представляют собой совокупность
экспериментальных методик, основанных на
измерениях характеристик рассеяния ионов:
(a) В режиме «прохождение» измеряется
выход ионов, рассеянных на нулевой угол;
(b) В методе «резерфордовского рассеяния»
исследуется зависимость выхода ионов,
рассеянных на большие углы, от угла влета
относительно кристаллографической оси;
(c) В режиме «блокировка» измеряется выход
Рис. Различные геометрии
ионов, рассеянных на большой угол, в
экспериментов по рассеянию
зависимости от угла вылета относительно
ускоренных ионов кристаллами
кристаллографической оси.
Эффект теней – возникновение характерных
минимумов интенсивности (теней) в угловом
распределении частиц, вылетающих из узлов решётки
монокристалла. Эффект наблюдается для
положительно заряженных тяжёлых частиц (протонов,
дейтронов, более тяжёлых ионов). Тени образуются в
направлениях кристаллографических осей и
плоскостей. Эффект теней был обнаружен А.Ф.
Тулиновым (1964 г. – идея; 1965 г. – реализация,
облучение протонами кристалла вольфрама). С
помощью этого метода удалось, в частности,
наблюдать плоскостные тени, то есть области
пониженной интенсивности частиц в направлении
кристаллографических плоскостей, имеющие форму
прямых линий. При регистрации плоскостных теней в
качестве детектора часто используют ядерные
фотоэмульсии, так как с их помощью можно
регистрировать теневую картину в большом телесном
угле. На эмульсии возникает сложная теневая картина
Рис. Ионограмма кристалла.
кристалла, называемая ионограммой (Рис.).
In a simple Coulomb repulsion model, the resulting region of “forbidden” space at a
distance L behind the scattering center takes the form of a paraboloid with radius
Иллюстрация эффекта тени (shadowing) и блокировки (blocking)
Угловые размеры тени
Поскольку углы ψ0 и ψ1 малы, то
ze, E
b r
   0  1   min ,
d
b
ψ1
ψ0
b
d
Минимальный угол ψmin ищем из условия
d
0 
db

Ze
Рис. Схема рассеяния частицы с
зарядом ze и энергией E,
вылетающей из узла решетки (в
 min  2
результате ядерной реакции или
резерфордовского рассеяния на
большой угол), на соседнем ядре с
зарядом Ze.
d – расстояние между узлами
решетки; b – прицельный параметр.
rmin
zZe 2

.
E
1 rmin
 2
d b
rmin
.
d
Таким образом, угловая полуширина тени
есть
 1 2   min
zZe 2
2
.
Ed
Релятивистская теория
каналирования (основы)
Пусть частица с зарядом q и массой M
движется в плоскости (x,z) под малым
углом θ относительно оси z. Обозначим ее
энергию, импульс и скорость до попадания
в кристалл через E0, p0 и 0. Тогда
движение частицы в кристалле будет
Систему координат выберем
так, чтобы оси z и y были
параллельны цепочкам атомов
и находились посредине между
кристаллическими
плоскостями. Тогда ось x
будет перпендикулярна
плоскостям и U = U(x).
описываться уравнениями:
dp x
U
 q
,
dt
x
dp z
 0.
dt
(1)
Так как потенциал U зависит только от
поперечной координаты x, то
U dU dU


.
x
dx  x dt
(2)
Используя (2) и соотношения
px c 2
x 
,
E
E
p x2c 2  p z2c 2  M 2c 4 ,
нетрудно проинтегрировать уравнения (1):
dp z
dt

 x dp x
dU
 q
dt
dt
p z  const

 Ez 


p z2 c 2  M 2 c 4  const;
d p x2 c 2
 qdU
2E
 dE  qdU
 E  qU  const.
Поскольку θ ≈ px/pz << 1, то E = Ez+ (pxc)2/(2Ez)  закон сохранения энергии
можно переписать в виде
p x2 c 2
 Ez  qU  const
2Ez
В силу θ0 << 1 имеем pz≈p0
и Ez ≈ E0 . Таким образом,
закон сохранения энергии и
первое из уравнений (1)
можно записать в виде
px2c 2
 E 
 qU  const.
2 Ez
 p x2
2

qU

const
m

E
c
,

0

2m

2
d
x
dU
m
q
 0,
(3)
  dt 2
dx


p x  m x ,
Достаточно хорошей аппроксимацией
реального потенциала U(x) является
потенциал гармонического осциллятора:
U x   U 0 2 x d p  ,
2
x
dp
2
, (4)
где dp – расстояние между
кристаллическими плоскостями.
Подставляя (4) в (3), получим уравнение
движения гармонического осциллятора:
d 2x
2


x  0,
2
dt

8qU 0 2c

2
m d p d p
2qU 0
.
E0
Таким образом, частица в плоскостном канале кристалла будет совершать
гармонические колебания с частотой ω относительно точки x = 0 по закону
x  A sin t   ,
A
dp
2
E
,
qU 0
где  – фаза колебаний, зависящая от начальных условий.
Угол θ будет также изменяться по гармоническому закону:

x
0
 
A
0
cost    
1
0
2 E
cost   .
E0
Критический угол каналирования Линдхарда θL можно получить из условия
A ≤ dp/2, т.е. из условия, что частица все время движется между плоскостями
канала (при этом, очевидно, E ≤ qU0). Отсюда находим
L 
1
0
2qU 0
.
E0
В действительности из-за конечных размеров и тепловых колебаний атомов
область допустимых значений θ немного меньше угла Линдхарда.
Пример
Рис. Гранецентрированная
кубическая решетка типа алмазной.
Пусть протон с энергией 70 ГэВ попадает в кристалл кремния, имеющего
гранецентрированную кубическую решетку типа алмазной (см. Рис.), под малым
углом к плоскостям (110), для которых dp = 1,92 Å (1 Å = 10-10 м) и U0 = 22 эВ.
Простой расчет по формуле (12) дает θL = 2,510-5 радиан. То есть, протоны с
энергией 70 ГэВ могут захватываться в режим каналирования, если их угол с
плоскостью (110) не превышает 0,0014о. Однако это не означает, что они
обязательно дойдут до конца кристалла: рассеяние на электронах и ядрах
атомов кристалла и дефекты кристаллической решетки могут увеличить
поперечную энергию частицы и вывести ее из режима каналирования. Этот
процесс называется деканалированием. Существует и обратный процесс:
частицы, не попавшие сразу в режим каналирования, могут быть захвачены в
него в глубине кристалла благодаря взаимодействию с электронами, ядрами и
дефектами решетки.
Метод изогнутых кристаллов
Частицы, захваченные в режим
каналирования, можно отклонить от
первоначального направления, если
кристаллические плоскости изогнуть
(Цыганов, 1976). Пусть частицы с
энергией E0, импульсом p0 и скоростью 0
влетают в изогнутый кристалл в плоскости
(x, z) под углом θ0 к оси z.
Если радиус R кривизны плоскостей велик по сравнению с расстоянием dp между
плоскостями, то изгиб не изменит усредненного потенциала U, но приведет к
появлению центростремительной силы pzz/R(z), заставляющей частицу
двигаться вдоль изогнутого канала. В дальнейшем будем использовать
локальную систему координат (Рис.), связанную с координатой z частицы.
Положим pz = p0 и z = 0 и будем считать кривизну плоскостей постоянной:
R(z) = R = const. В этих предположениях уравнение движения частицы вдоль оси
x локальной системы координат можно записать в виде:
dp x
U p00
q

 0.
dt
x
R
Интегрирование этого уравнения приводит к закону сохранения поперечной
энергии
p
1 p02c 2 2
E 
 qU  0 0 x  const,
2 E0
R


dx px

.
dz p0

Используя гармонический потенциал U x   U 0 2 x d p ,
x
2
представим уравнение движения в виде
dp
2
,
p0 d 2 x 8qU 0 x p00


 0.
2
2
0 dt
dp
R
Заменой x  x  p00 d p2 8qU 0 R  оно сводится к уравнению движения
гармонического осциллятора
d 2x
2


x  0,
2
dt

2c
dp
2qU 0
.
E0
Таким образом, решением будут гармонические колебания:
x  x0  A sin t   ,
A
dp
2
E
,
qU 0
x0  
p00 d p2
8qU 0 R
.
Если максимальное значение модуля |x|max ≤ dp/2, то частица захватится в
режим каналирования. Из этого условия можно получить ограничение на радиус
изгиба кристалла
R  Rc 
p0 0
d p.
4qU 0
Критическое значение Rc радиуса изгиба соответствует нулевой поперечной
энергии E = 0, т.е. когда частица входит в кристалл точно по оси z (θ0=0 и x=0).
Для R > Rc критическое значение угла θ0, при котором частица еще может
каналироваться, определяется тем же условием |x|max ≤ dp/2:

x
0
x max 
 
p0 0 d p2
8qU 0 R

A
0
dp
2
cost    
dp
E

qU 0
2
1
0

2 E
E
cost    
 L cost   ,
E0
qU 0
E
 R 
 R 
 1  c    c   L 1  c .
qU 0 
R
R

Пример
Рассмотрим отклонение протонов с энергией 70 ГэВ, движущихся между
изогнутыми плоскостями (110) кристалла кремния. Критический радиус в этом
случае будет Rc = 15 см. Так как при R = Rc угловой аксептанс θc = 0, то обычно
выбирают R >> Rc. Например, при R = 75 см для поворота протона с E0 = 70 ГэВ
на угол δ = 1° длина lc кристалла должна составлять всего lc = Rsinδ = 1,3 см.
Она примерно в 100 раз меньше длины электромагнита и в 10000 раз меньше
длины конденсатора, решающих ту же задачу.
Почему еще не заменили все электромагниты, используемые для управления
пучками заряженных частиц, на кристаллы, которые гораздо компактнее и совсем
не потребляют электроэнергии? Одна из главных причин – малый угловой
аксептанс. В приведенном примере протоны, входящие в кристалл под углом θc >
20 мкср относительно оси кристалла, не захватятся в режим каналирования.
Характерный же угловой разброс протонов в пучке ускорителя в 10-100 раз
превышает величину θc. Магнитные же элементы позволяют отклонять и
транспортировать пучки протонов практически со 100%-ной эффективностью.
Это однако не означает, что кристаллы не найдут применения для управления
пучками частиц высоких энергий. Во-первых, достаточно часто возникает задача
отделить от интенсивного пучка частиц лишь небольшую долю ~ 10-3 - 10-4.
Кристаллы прекрасно подходят для решения этой задачи. Во-вторых, угловой
разброс ультрарелятивистских частиц в пучках от ускорителей уменьшается
пропорционально их энергии E0, в то время как угол Линдхарда θL ~ E0-1/2 то есть
угловой аксептанс кристалла, должен расти с увеличением энергии. Отклонение
частиц при помощи изогнутых кристаллов уже нашло практическое применение
для вывода протонов из ускорителей и создания и формирования пучков
заряженных частиц (Рис.12). В экспериментах в ЦЕРН (Женева) эффективность
отклонения протонного пучка с энергией 450 ГэВ кристаллом кремния составила
около 50%. Столь высокую эффективность удалось достичь благодаря
специальным мерам по уменьшению угловой расходимости пучка.
Рис. Устройства для отклонения и
вывода частиц из ускорителей,
создания и формирования пучков
заряженных частиц при помощи
изогнутых кристаллов.
Фокусировка