1 Динамика заряженных частиц в магнитосфере Земли

Международная конференция
«Суперкомпьютерные технологии математического
моделирования» (СКТеММ-2011),
28-30 ноября 2011, г. Якутск
Численное моделирование
волновых процессов в
бесстолкновительной плазме на
основе гибридных моделей
Вшивкова Людмила Витальевна
Институт вычислительной математики и математической
геофизики СО РАН, г. Новосибирск
2011
Введение
Работа посвящена численному моделированию формирования и
распространения электромагнитных волн в бесстолкновительной
плазме на основе кинетического описания одной из компонент
плазмы
и
гидродинамическом
приближении
для
другой
(гибридные модели).
Гибридные
модели
ионы->кинетика
электроны->жидкость
Ур-ие Власова
МГД
электроны->кинетика
ионы->жидкость
2
Гибридная модель I
электроны
кинетика
ионы
жидкость
3
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли

E

Неоднородное
магнитное поле;


Источник: ESA
Ускорение электронов, связанное с
неоднородным полем (данные
спутника FAST NASA);
Источник – параллельное
электрическое поле на высоте
1-2 RE (~ 0.3 10 7 В/см; СИ: 1 мВ/м).
4
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.1 Геометрия и предположения





Плазма состоит из одного сорта ионов (ионов водорода) и
электронов;
плазма является квазинейтральной;
движение электронов только вдоль магнитного поля;
током смещения пренебрегаем;

1 
электрическое поле по  : E   v  B.
c
5
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.2 Исходная система
Уравнение Власова:
f  f e  f
 v    E    0,
t
r m v

W   функция распределения электронов, v  скорость
где f  f t , r, 
частицы и E  электрическое поле.

Уравнения для ионов:
ni
 
   niVi  0,
t

dVi
  1  
mi
 e  E  Vi  B ,
dt
c




где ni , Vi  плотность и средняя скорость ионов и B  магнитное поле.
Уравнения Максвелла:




 4 

1 B
 E  
,  B 
j ,   B  0,
c t
c
 

где j  ne Vi  Ve  плотность тока.
6
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.3 Начальные данные и граничные условия
Начальные данные (невозмущенное состояние плазмы):
1
n  n0 , B  Bz  0, Br  Br r  ~ 3 , Er  E  Ez  0, Vr  V  Vz  0.
r
На r  rmax граничные условия следующие
Vz   A sin  ,
E  A sin  ,
k||   2 
1 
 A cos ,
Vr 
2
k||   2 
k   k|| 
1 
 A cos ,
Ver  
k   k||2 
k||   2 
Er  1  2  A sin  ,
V  A cos ,
k   k|| 

2
Bz  A sin  ,

  2 
k
||
k||
n   k   2 1  2  A cos .
 k   k|| 

Здесь A  A(t )  th(t / 4),   t  k  k||r.
На r  rmin  невозмущенные значения.
По   периодические граничные условия.
7
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.4 Дисперсионный анализ
Линеаризованная система уравнений:
 Vr V 
n
,
 n0 

t
 
 r
V
me er  eEr ,
t
V
mi r  eEr ,
t
1
E   B0Vz ,
c
~
f  f exp  it  ik ||r  ik  ,
f   Vr , V , Vz , Ver , Bz , Er , E 
Vz
e
  B0V ,
t
c
E
Bz
E
 c
c r ,
t
r

Bz 4n0 e
Vr  Ver ,


c
4n0 e
Bz

V .
r
c
mi
2 
k||2V A2
1  2e k 2
8
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.5 Нормировка
Нормировка:
n0 , B0 , VA 
B0
,
4mi n0
4n0 e 2
c
 pi 
, L
,
mi
 pi
t0 
m
L
, E0  B0VA ,   e .
VA
mi
9
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.6 Сетка
Равномерная сетка: h1 , h2 по осям
 и r, соответственно.
Bz  i  ih1 , rk  kh2 ,
V , E , Br  i , rk 1/ 2  k  0.5h2 ,
Vr , Er  i 1/ 2  i  0.5h1 , rk ,
n, Vz  i 1/ 2 , rk 1/ 2 .
Уравнения движения ионов,
уравнения Максвелла
конечно-разностные схемы
Уравнение движения
электронов
метод частиц-в-ячейках (PIC)
10
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.7 Алгоритм вычисления
n 1 
rnVr   1  nV   0

t r r
r 
2
 Vr
V
V

V

V

 
r
r

  eEr  e V Bz
mi
 Vr


 t
r
r 
r 
c

1
E   Vz Br  Vr Bz 
c
 Vz
Vz V Vz 
e

   V Br
mi 
 Vr

r
r  
c
 t
Bz
c 
rE   c Er

t
r r
r 
4e
Vr  Ver   1 Bz
c
nr 
4e
1 Bz
V  
c
n r
dW
dr
 evr Er ,
 vr
dt
dt
Er  f Ver  PIC 
11
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.7 Алгоритм вычисления
Нахождение плотности:
nim1/12,k 1/ 2  nim1/ 2,k 1/ 2 


h1rk 1/ 2

h2 rk 1/ 2
Vr ,mi 1/ 2,k 1/ 2  r r n i 1/ 2,k 1/ 2 
m
V m,i 1/ 2,k 1/ 2  nim1/ 2,k 1/ 2 
 nim1/ 2,k 1/ 2  Vm,i ,k 1/ 2  Vm,i 1,k 1/ 2
где
Vrm,i 1/ 2,k  Vrm,i 1/ 2,k 1 

,

 rk 1/ 2


rk 1/ 2 
h1
h2

1
1
Vr ,i 1/ 2,k 1/ 2  Vr ,i 1/ 2,k  Vr ,i 1/ 2,k 1 , V ,i 1/ 2,k 1/ 2  V ,i ,k 1/ 2  V ,i 1,k 1/ 2 ,
2
2
 f i 1/ 2,k 1/ 2  f i 1/ 2,k 3 / 2, Vr ,i 1/ 2,k 1/ 2  0,
 r f i 1/ 2,k 1/ 2  
 f i 1/ 2,k 1/ 2  f i 1/ 2,k 1/ 2, Vr ,i 1/ 2,k 1/ 2  0;
 f i 1/ 2,k 1/ 2  f i 3 / 2,k 1/ 2, V ,i 1/ 2,k 1/ 2  0,
 f i 1/ 2,k 1/ 2  
 f i 1/ 2,k 1/ 2  f i 1/ 2,k 1/ 2, V ,i 1/ 2,k 1/ 2  0.




12
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.7 Алгоритм вычисления
Граничные условия:
n1/ 2,k 1/ 2  nim 1/ 2,k 1/ 2 ,
nim 1/ 2,k 1/ 2  n1/ 2,k 1/ 2 , k  0,..., k m  1,
ni 1/ 2, 1/ 2  n0 r1/ 2 , i  0,..., im  1,
ni 1/ 2,k
m
1 / 2

k||2   2 
  k   2 1  2  A cos , i  0,..., im  1,.
 k   k|| 

13
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.8 Электрическое поле
Уравнения движения для каждой частицы:
dW
 evr Er ,
dt
dr
 vr ,
dt
*
2
где W  me vr / 2  Br  кинетическая энергия частицы,   магнитный
момент. Далее
d
dv
B
W  *  me r   r  eEr .
dt
dt
r
Следовательно,
dvr , j
Br  j , rj 
1
 j
  Er  j , rj ,
dt
r

drj
 vr , j .
dt
14
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.8 Электрическое поле
Схема движения частицы:
m
m
B

B

r ,i , k 1 / 2
vrm, j 1  vrm, j  Erm, j   j r ,i ,k 1/ 2
, rjm 1  rjm   vrm, j 1.

h2
Плотность и средние значения скоростей частиц:


1
 v R

nem,i 1/ 2,k   R i 1/ 2   jm R rk  rjm ,
j
Verm,i 1/ 2,k 
Здесь
m
e ,i 1/ 2 , k
n
m
r, j
i 1/ 2


  jm R rk  rjm .
j
 |f|
, | f | h,
1 
R f   
h
0, | f | h,
где f   , r, h  h1, h2 . Для каждого узла Ver  f Er .
15
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.8 Электрическое поле
16
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.8 Электрическое поле
Окончательная формула для Er:





m 1
m 1
E
R



R
r

r

 r , j i 1/ 2 j
k
j
j



  vrm, j R i 1/ 2   jm 1 R rk  rjm 1 
j
   j
Br , j
j
где Er , j 
 R
i 1 / 2
r



R i 1/ 2   jm 1 R rk  rjm 1  Verm,i 11/ 2,k nem,i11/ 2,k ,
  j R rk  rj Er ,i 1/ 2,k .
i ,k
17
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.9 Результаты расчетов
временной шаг   10 4
число частиц 1 000 000
сетка
16 64
d l (в км)
570
s m (в км)
10
r0 (в км)
7 000
n0 (в 1/м^3) 10 6
B0 (в T)
0.3 10 6
тепловая скорость электронов (в м/с) 0.59 107
0.65 107
альфвеновская скорость (в м/с)
18
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.9 Результаты расчетов
Скорость электронов Ver:
19
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.9 Результаты расчетов
20
1 Динамика заряженных частиц в
магнитосфере Земли
1.9 Результаты расчетов
21
Гибридная модель II
ионы
кинетика
электроны
жидкость
22
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.1 Геометрия и предположения





Облако плотной плазмы;
облако состоит из ионов углерода и водорода;
однородный плазменный фон;
однородное магнитное поле;
плазма является квазинейтральной.
Источник: ESA
23
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.2 Исходная система уравнений
Уравнения движения отдельных ионов:

dr 
 u,
dt

du
  1   
m
 Z e E  u  B   R .
dt
c



Здесь Z  заряд ионов сорта  и R  сила трения между ионами
сорта  и электронами.
Плотность и средняя скорость ионов сорта  :

n   f du ,

1
V 
n

 
f  u du .
24
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.2 Исходная система уравнений
Движение электронов описывается уравнениями:
(1)

ne
   neVe  0,
t



 1    pe 
 Ve

(2)
me 
 Ve   Ve   e E  Ve  B  
 Re ,
c

 ne
 t




 Te

ne 
 Ve   Te     1 pe Ve    1Qe    qe .
(3)

t


Уравнения Максвелла:


 4 

1 B
 E  
,  B 
j ,   B  0.
(4)
c

t
c

Здесь j  плотность тока, которая в случае многокомпонентной
плазмы имеет вид


 
j  e  Z nV  neVe .


 




25
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.2 Исходная система уравнений
Плазма является квазинейтральной, т.е. ne   Z n ;


qe  k1Te , где k1  коэффициент электронной теплопроводности,

 1

Vi  Vir , Vi , Viz , Vi   Z n u  средняя скорость ионов.
ne 
26
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.3 Сила трения в многокомпонентной плазме
При моделировании с одним сортом ионов уравнение движения для

электронов:


 
 Ve
  1    pe


me 
 Ve   Ve   e E  Ve  B  
 me Ve  Vi ,

t
c
n


e


где  эффективная частота столкновений.
Уравнение движения ионов:


 
du
  1   
mi
 Z i e E  u  B   Ri ,
Ri  me Ve  Vi .
dt
c


В случае многокомпонентной плазмы следует придерживаться
принципов:






Суммарный вклад сил трения в полный импульс и полную
энергию должен быть равен нулю;
 Формальное разделение любой ионной компоненты на два
сорта не должно менять потоки энергии.

27
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.3 Сила трения в многокомпонентной плазме
Исходная система уравнений для трехкомпонентной плазмы
состоит из (1) – (3) для электронов и следующих уравнений для
ионов:

n1
   n1V1  0,
t

n2
   n2V2  0,
t


 V1 
  1   
m1 
 V1   V1   Z1e E  V1  B   R1 ,
c


 t




 V2
  1   
m2 
 V2   V2   Z 2 e E  V2  B   R2 .
c


 t

 






  
Силы трения Re , R1 , R2 пока не определены. Уравнения Максвелла (4).
28
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.3 Сила трения в многокомпонентной плазме
Уравнение для полного импульса системы:








me neVe  m1n1V1  m2 n2V2 
me neVexVe  m1n1V1xV1  m2 n2V2 xV2 
t
x









me neVeyVe  m1n1V1 yV1  m2 n2V2 yV2 
me neVezVe  m1n1V1zV1  m2 n2V2 zV2 
y
z





1  
 pe  j  B  Re ne  R1n1  R2 n2

Re ne   R1n1  R2 n2 .
c
Уравнение для плотности полной энергии:

  nT   
 

B 2 neTe 
We  W1  W2 
    WeVe  W1V1  W2V2  P  e e Ve  qe  

t 
8   1 
 1



  
  
  
  
 Qe  n1 V1  Ve  R1  n2 V2  Ve  R2

Qe  n1 Ve  V1  R1  n2 Ve  V2  R2 .





















 
 
ne e 2 
, j  Z1en1 V1  Ve  Z 2en2 V2  Ve . Тогда
С другой стороны: Qe  j /  ,  
me
 
 
1 
Qe  j  Z1en1 V1  Ve  Z 2 en2 V2  Ve .
2





29
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.3 Сила трения в многокомпонентной плазме
Окончательные формулы для сил трения имеют вид:

Z1e 
R1  
j,


Z 2e 
R2  
j,


n1  n2 
Re   R1  R2 .
ne
ne
30
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.4 Начальные данные и граничные условия
Начальные данные (невозмущенное состояние плазмы):
t  0 : n  n0 , Br  B  0, Bz  B0 ,
T  T0  0, ur  u  u z  0,


r 2  z 2  R0 : ur  u0 r / R0 , u z  u0 z / R0 , u  0.
для ионов облака
Область решения: 0  r  Lr ,  Lz  z  Lz .
Граничные условия:
r  0 : f 0, z , t  / r  0,
f  Bz , E z , u z , n, T ,
ur  u  0, E  Er  0, B  Br  0;
r  Lr :
z   Lz :
f Lr , z , t   f Lr , z , 0;
f r ,  Lz , t   f r ,  Lz , 0.
31
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.5 Нормировка и сетка
Нормировка:
B0
B02
n0 , B0 , VA 
, T0 
.
8 n0
4 mi n0
Вводится равномерная сетка с шагами h1 , h2 по осям r, z , соответственно. Сеточные функции:
Vr , Er , Br  ri  ih1 , z k  kh2 ,
V , E , B  ri , z k 1/ 2  k  0.5h2 ,
n, T , Vz , E z , Bz  ri 1/ 2  i  0.5h1 , z k 1/ 2 .
32
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.6 Алгоритм вычисления

du
  1   
m
 Z e E  u  B   R
dt
c



dr 
u
dt



 1    pe 
 Ve

me 
 Ve   Ve   e E  Ve  B  
 Re
c

 ne
 t


n   f du


1 B
 E  
c t

1
V 
n
(PIC)
 4 
 B 
j
c

 
f  u du







 T

ne  e  Ve   Te     1 pe  Ve    1Qe    qe 
 t

(конечно-разностные методы)
33
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.6 Алгоритм вычисления
Схема Бориса (для уравнений движения ионов):
Z  m
  z B 
m
m
m
m m
~
,
ur  ur 
  Er  u Bz  uz B 
M  
n h2 
Z  m
   z Br  r Bz  
m
m m
m
m
~
 ,
u  ur 
 E  uz Br  ur Bz  

M  
n  h2
h1  
где u~r , u~  новые компоненты скорости в декартовых координатах.
Z 
  r rB  
m
,
umz1  umz     E zm  umr Bm  u
Brm 
M 
rn h1 
z m 1  z m   u m 1 , x  r m  u~ , y   u~ ,
z
r

r m 1  x 2  y 2 , sin   y / r m 1 , cos   x / r m 1 ,
u m 1  u~ cos   u~ sin  , u m 1  u~ cos   u~ sin  .
r
r



r
34
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.6 Алгоритм вычисления
Плотность и средние скорости ионов:
ni 1/ 2,k 1/ 2
q 


j i 1/ 2 , k 1 / 2
j
Vi 1/ 2
где q j  часть заряда q j.
,


q j u j   j  q j u j 
Vi 1/ 2,k 1/ 2
q u 


j
j
j i 1 / 2 , k 1 / 2
ni 1/ 2,k 1/ 2Vi 1/ 2
35
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.7 Результаты расчетов
Плотность фона
число частиц в облаке 1000000
192000
число частиц в фоне
шаг по времени
0.0005
размер сетки по r
60
200
размер сетки по z
V0i
r
z
n0
B0
H+
C+++
(в см/сек)
1.4  107
173
(в см)
576
(в см)
1013
(в 1/см^3)
100
(в Гс)
(КИ-1 ИЛФ СО РАН)
H+ (50%) C+++ (50%)
36
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.7 Результаты расчетов
Фазовые плоскости:
H+, фон
H+, C+++, фон
C+++
фон
H+
фон
H+
37
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.7 Результаты расчетов
Силовые линии магнитного поля:
38
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.7 Результаты расчетов
Фазовые плоскости:
C+++
C+++
фон
фон
H+
H+
39
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.8 Интерфейс
40
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.8 Интерфейс
41
2 Генерация возмущений при разлете
облака плазмы сложного состава в
замагниченном фоне
2.8 Интерфейс
42
Заключение





создана новая двумерная численная модель распространения
альфвеновской волны в полярной области магнитосферы
Земли;
разработан
новый
численный
алгоритм
вычисления
электрического поля, ускоряющего электроны по направлению
к Земле и исследовано прохождение альфвеновской волны на
открытых линиях магнитного поля;
разработана новая версия двумерной численной модели
разлета плазменного облака, учитывающая сложный ионный
состав облака, конечную проводимость плазмы и электронную
температуру;
разработаны алгоритмы и создан программный пакет для
численной реализации модели;
проведено
исследование
структуры
возмущений,
генерируемых облаком плотной плазмы, в зависимости от угла
по отношению к магнитному полю и аномальной проводимости
плазмы.
43
Спасибо за внимание
44
Публикации







Вшивкова Л.В. Численное моделирование динамики многокомпонентной
плазмы // Вестник Новосибирского Государственного Университета, т.3, вып.
2, 2003, стр. 3-20.
Дудникова Г. И., Вшивкова Л. В., Рэнкин Р. Гибридная модель
распространения aльфвеновской волны сдвига в бесстолкновительной плазме
// Вычислительные технологии, Том 11, № 3, 2006, стр. 50-60.
Vshivkova L. V. Numerical simulation of plasma using the hybrid MHD-kinetic
model // Bull. NCC. Ser. Num. An., Iss. 14, 2009, p. 95-114.
Вшивкова Л.В., Дудникова Г.И. Численные гибридные модели динамики
альфвеновских волн. Информационные и математические технологии в науке и
управлении // Труды XV Байкальской
Всероссийской конференции
«Информационные и математические технологии в науке и управлении», ч. 1,
Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2010, стр. 166-174.
Вшивкова Л.В., Дудникова Г.И. Гибридная МГД-кинетическая модель
дисперсионных альфвеновских волн // VI Всесибирский конгресс женщинматематиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): Материалы
Всероссийской конференции, 15-17 января 2010, Красноярск: РИЦ СибГТУ,
2010, стр. 68-71.
Дудникова Г.И., Вшивкова Л.В. Гибридные численные модели волновых
процессов в плазме // Тезисы докладов международной конференции
“Современные проблемы прикладной математики и механики: теория,
эксперимент и практика”, посвященная 90-летию со дня рождения академика
Н.Н. Яненко, 2011, стр.88.
Вшивкова Л.В. О численном моделировании динамики многокомпонентной
плазмы // XL Международная студенческая научная конференция «Студент и
научно-технический прогресс», Новосибирск, 2002 (тезисы).
45
Доклады на конференциях и семинарах











Вшивкова Л.В. О численном моделировании динамики многокомпонентной плазмы // XL
Международная студенческая научная конференция «Студент и научно-технический
прогресс», Новосибирск, 2002.
Вшивкова Л.В., Дудникова Г.И. Численные гибридные модели динамики альфвеновских
волн. XV Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и математические
технологии в науке и управлении», Иркутск-Байкал, 1-9 июля 2010.
Вшивкова Л.В., Дудникова Г.И. Гибридная МГД-кинетическая модель дисперсионных
альфвеновских волн. VI Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 15-17
января 2010 (работа отмечена дипломом конкурса молодых ученых).
Вшивкова Л.В. Численное моделирование динамики заряженных частиц в магнитосфере
Земли. Семинар ИВМиМГ под руководством д.ф.-м.н. В.А. Вшивкова, 2009.
Вшивкова Л.В. Гибридная МГД-кинетическая модель дисперсионных альфвеновских волн.
Семинар ИВМиМГ под руководством д.т.н. В.Э. Малышкина, 2009, 2010.
Вшивкова Л.В. Численное моделирование волновых процессов в бесстолкновительной
плазме на основе гибридных моделей. Семинар ИВМиМГ под руководством д.ф.-м.н. В.П.
Ильина, 2011.
Вшивкова Л.В. Численное моделирование волновых процессов в бесстолкновительной
плазме на основе гибридных моделей. Объединенный семинар ИВМиМГ под руководством
академика РАН Б.Г. Михайленко, 2011.
L. Vshivkova, R. Rankin and R. Marchand. Hybrid MHD-kinetic modeling of dispersive scale Alfven
waves. Space Physics Seminar Series, March 2007, University of Alberta, Edmonton, Canada.
L. Vshivkova, R. Rankin and R. Marchand. Hybrid MHD-kinetic model. Space Physics Seminar
Series, May 17, 2006, University of Alberta, Edmonton, Canada.
L. Vshivkova, R. Rankin and R. Marchand. Hybrid magnetohydrodynamic-kinetic model. SEW
(Space Environment Workshop), September 8-10, 2005, Saskatoon, Canada.
L. Vshivkova, R. Rankin and R. Marchand. Parallel electric fields and inertial Alfven waves. DASP
(Division of Atmospheric and Space Physics), February 23-25, 2005, Edmonton, Canada.
46