3.1 Магнитное поле Опыт показывает, что вокруг постоянных магнитов и

III. Электромагнетизм
3.1 Магнитное поле
Опыт показывает, что вокруг постоянных магнитов и
токов возникает силовое поле, которое обнаруживает себя
по воздействию на другие постоянные магниты и
проводники с током.
В 1820 году Эрстед установил, что
под действием поля тока магнитная
стрелка устанавливается
перпендикулярно току.
S
При изменении направления тока
стрелка поворачивается в
противоположную сторону. Провод с
N
током I находится над магнитной
B
стрелкой, закрепленной на игле.
I
Для определения характеристик магнитного поля
используют малую рамку с током (подобно пробному
заряду при изучении электрического поля).
Ориентация рамки в пространстве определяется
нормалью, выбранной по
правилу правого винта –
n
B
за положительное направление
нормали принимается
направление поступательного
движения винта, головка
которого вращается по
часовой стрелке в
направлении тока в рамке.
N
S
I
Магнитное поле поворачивает рамку с током
определенным образом, что используется для выбора
направления самого магнитного поля –
за
направление
магнитного
поля
в
точке
пространства принимается направление, вдоль которого
располагается положительная нормаль к рамке.
По определению северный полюс магнитной стрелки
указывает на северный географический полюс Земли и
притягивается к южному магнитному полюсу Земли.
Магнитные и географические полюса Земли занимают
противоположное положение.
Стрелка ориентируется в магнитном поле так, что
вектор соединяющий ее южный полюс S с северным
полюсом N совпадает с направлением магнитного поля.
Ориентация магнитной стрелки связана с действием
пары сил со стороны магнитного поля на оба полюса
стрелки. Данная пара сил создает вращающий момент M ,
зависящий как от свойств поля, так и свойств стрелки.
Это же имеет место и для рамки с током, поэтому в общем
случае можем записать
M = [pm  B]
где
(3.1.1)
M
pm - вектор магнитного момента
рамки с током,
B - вектор магнитной индукции. pm

B
В частности, для плоского контура с током
магнитный момент равен
(3.1.2)
m
I
p  I S n
где
– площадь контура,
n - положительная нормаль к контуру.
Из (3.1.1) следует выражение для
вращательного момента
S
величины
M = pm B  sin
На контуры с разными магнитными моментами p m
действуют разные
вращательные моменты
M , но
при фиксированном угле  отношение
M
 B  sin
pm
постоянно.
Это отношение максимально при угле
равно значению магнитной индукции
M max
B
pm
где
α = π/2
и
(3.1.3)
M
- максимальное
значение вращательного момента.
max
Итак, магнитная индукция есть вектор, модуль
которого дается выражением (3.1.3) (когда
), а
направление совпадает с направлением положительной
α = π/2
нормали рамки с током (когда
).
α=0
Вектор B
является аналогом вектора
напряженности электрического поля E , но по
историческим причинам был назван не вектором
напряженности магнитного поля, а магнитной
индукцией.
Опыт показывает, что для магнитного поля, как и для
электрического поля, выполняется принцип суперпозиции
–
магнитное поле, созданное несколькими токами, равно
векторной сумме магнитных полей, созданных каждым
током в отдельности
B =  Bi
i
Магнитное поле изображают с помощью силовых
линий магнитной индукции – это линии, касательные к
которым в каждой точке совпадают с направлением
вектора B
. Густота силовых линий характеризует
величину магнитной индукции.
Направление силовых линий определяется правилом
правого винта – головка винта, ввинчиваемого по
направлению тока, вращается в направлении силовых линий
магнитной индукции.
Силовые линии магнитной индукции всегда замкнуты
и охватывают проводник с током.
В полосовом магните силовые линии выходят из
северного полюса N и входят в южный полюс S.
Силовые линии
кругового тока
Силовые линии
полосового магнита
Опыт показывает, что если разрезать полосовой
магнит на все более мелкие части, то он не разделяется на
отдельные полюса, значит свободные магнитные заряды
отсутствуют.
Поэтому силовые линии
B не обрываются на
магнитных полюсах.
Такое поле называют соленоидальным или вихревым.
3.2 Закон Био-Савара-Лапласа
В 1820 году французские физики Био и Савар провели
экспериментальные исследования магнитных полей,
созданных
токами
различной
формы.
Лаплас
проанализировал их результаты и установил зависимость,
которая называется законом Био-Савара-Лапласа :
Элемент проводника с током I длиной dl в
вакууме создает магнитную индукцию, равную
0 I [dl  r ]
dB 
3
4
r
где
(3.2.1)
- вектор, направленный вдоль тока,
r - радиус-вектор, проведенный из элемента проводника
в точку, в которой определяется магнитное поле,
dl
0  4 10 Гн м
- магнитная постоянная, Гн – генри
(единица индуктивности).
Из свойств векторного
произведения следует
7
dB  dl
dB  r
dB
dl

r
Пунктиром показана силовая линия магнитной индукции
(круг), созданной элементом тока dl . Вектор dB
направлен согласно правилу правого винта.
Из (3.2.1) следует, что величина вектора
0 Idl sin 
dB 
2
4
r
где

- угол между векторами
dl
и
dB
(3.2.2)
r
.
равна
3.3 Применение закона Био-Савара- Лапласа для
расчета магнитных полей простых токов
3.3.1 Магнитное поле прямого тока
Пусть ток течет по тонкому
прямому проводу бесконечной
длины. Разобьем его на малые
участки dl . Все участки в любой
точке, удаленной от оси, создают
магнитные индукции dB ,
направленные в одну сторону.
I
rd
Rd
; dl =
=
2
sin sin 
dl
R
r=
sin
dB
R
r
A

d
rd
Подставляя выражения r и
получаем величину магнитной
элементарным участком тока dl
dl
в формулу (3.2.2),
индукции, созданной
0 I  R  d  sin   sin  0 I
dB 

sin   d
2
2
4
sin   R
4 R
2
Просуммируем вклады от всех элементарных участков –
это сводится к интегрированию по углу 0 <   

0 I
20 I
B   dB 
sin


d



4 R 0
4 R
Таким образом, магнитная индукция прямого тока равна
0 I
B
2 R
(3.3.1)
B
Силовые линии магнитной индукции
прямого
тока
являются
концентрическими
окружностями,
охватывающими провод.
3.3.2 Магнитное поле кругового контура с током
Пусть магнитное поле создается током, текущим по
тонкому проводу в форме окружности радиуса R.
Найдем магнитную индукцию в центре кругового
тока (точке О).
Все элементы тока создают
в точке О магнитные поля, dl
R
направленные вдоль
A
n
нормали к контуру n .
Поэтому векторное
O
сложение dB сводится
к сумме их величин.
B
I
.
OA=r
Поскольку радиус R перпендикулярен к элементу
тока
вид
dl
, то угол
 = /2
Интегрируя, получаем
и формула (3.2.2) принимает
0 Idl
dB 
2
4 R
0 I
0 I
0 I
B   dB 
dl

2

R

2 
2
4 R
4 R
2R
Итак, магнитная индукция кругового тока в центре
круга равна
(3.3.2)
0
B
I
2R
Аналогичный расчет магнитной индукции в точке А,
находящейся на оси кругового тока на расстоянии
центра контура, дает
B
0 IR
2
2( R  r )
2
2 3/ 2
r   формула (3.3.3)
r   принимает вид
При
а при
B
 0 IR
2r
3
r
(3.3.3)
переходит в (3.3.2),
2
(3.3.3в)
от
Введем дипольный магнитный момент, согласно (3.1.2)
pm  S  I  n   R I  n
2
Тогда формулу (3.3.3) можно
переписать в векторном виде
0
2 pm
B
2
2 3/ 2
4 ( R  r )
(3.3.3с)
I
Силовые линии кругового тока
3.3.4
Магнитное поле движущегося заряда
Пусть ток создается зарядами величиной
движущимися со скоростью
в проводнике.
Величину такого тока можно записать в виде

q,
I = j  S = nq S
где S – площадь поперечного сечения проводника, n –
концентрация зарядов. Подставим данное выражение в
закон
Био-Савара-Лапласа
(3.2.1)
для
магнитной
индукции, созданной элементом проводника dl
0 I [dl  r ] 0 nq S[dl  r ]
dB 

3
3
4
r
4
r
здесь
Sdl - объем элемента проводника,
nSdl = dN – число зарядов в этом объеме.
Поскольку вектор скорости
направлению с вектором
dl

совпадает по
, то имеет место равенство
 dl =  dl
Поэтому магнитную индукцию dB , созданную
элементом проводника dl , можно переписать в виде
0 q[  r ]
dB 
dN
3
4
r
Разделив последнее выражение на
магнитную индукцию, созданную одним зарядом
0 q[  r ]
B
3
4
r
Отсюда следует, что
неподвижный заряд
магнитное поле
не создает.
получим
dN,
q
(3.3.4)
B
.
q
r

v