Разность квадратов расстояний до двух точек

Курс дистанционного обучения
Математика
Геометрические места точек
на плоскости и в пространстве
Задачи на построения
Лекция 8
С.А.Гришин
к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики
Равноудаленность от одной точки
Где расположены точки на плоскости
равноудаленные на расстояние r от
заданной точки?
ГМТ – окружность радиуса r с
центром в заданной точке
Где расположены точки в пространстве
равноудаленные на расстояние r от
заданной точки?
ГМТ – сфера радиуса r с центром в
заданной точке.
Задача 1
Задача 1 Построить окружность данного радиуса, проходящую через
заданную точку A и касающейся данной окружности.
Построение
1.Строим ГМТ точек, удаленных от
Rr
точки Q на расстояние
2.Строим ГМТ точек, удаленных
от точки A на расстояние r
3.Точки O и o, принадлежащих
обеим ГМТ – искомые центры
окружностей.
Равноудаленность от двух точек
Где располагаются точки на плоскости
равноудаленные от двух заданных
точек?
ГМТ- срединный перпендикуляр
к отрезку AB.
Где располагаются точки в пространстве
равноудаленные от двух заданных точек?
ГМТ - срединная перпендикулярная
плоскость к отрезку AB.
Задача 2
Задача 2. Построить окружность, проходящую через заданную
точку A и касающейся данной прямой в данной точке B.
Построение
1.ГМТ – центров окружностей,
касающихся прямой в точке B –
перпендикуляр BO
2. ГМТ – равноудаленных от
точек A и B – срединный
перпендикуляр MO
Доказательство
Окружность с центром в точке O, радиуса OB
касается прямой в точке B и проходит через
точку A.
Равноудаленность от прямой и окружности
Где располагаются точки плоскости, равноудаленные
на расстояние d от заданной прямой?
ГМТ – пара параллельных прямых
Где располагаются точки плоскости, равноудаленные
на расстоянии d от заданной окружности?
ГМТ – пара концентрических окружностей
Равноудаленность от прямых на плоскости
Где располагаются точки на плоскости
равноудаленные от двух
параллельных прямых?
ГМТ – срединная параллельная
прямая
Где располагаются точки на плоскости
равноудаленные от двух непараллельных
прямых?
ГМТ – пара перпендикулярных
биссектрис смежных углов
Задача 3
Задача 3
Даны параллельные прямые и секущая. Постройте
окружность, касающуюся всех трех прямых.
Построение
1.
Способ – построение биссектрис углов
A и B , ГМТ точек, равноудаленных от двух
пересекающихся прямых, их пересечение –
центр окружности O.
2.
Способ – построение окружности
на отрезке AB, как на диаметре +
пересечение с прямой, равноудаленной
от двух параллельных прямых.
Задача 4
Задача 4 Построить окружность данного радиуса, касающихся двух
данных прямых.
Построение
1. Строим ГМТ, равноудаленных от
прямых L1 и L2.
2. Строим ГМТ, удаленных от
прямых L1 и L2 на расстояние r.
3. Четыре точки, принадлежащие
обеим ГМТ – искомые центры
окружностей.
Равноудаленость от плоскостей
Где располагаются точки в
пространстве равноудаленные от
двух параллельных плоскостей?
ГМТ – срединная плоскость,
параллельная данным
плоскостям
Где располагаются точки в
пространстве равноудаленные от
двух непараллельных плоскостей?
ГМТ – пара перпендикулярных
биссекторных плоскостей
смежных углов.
Разность квадратов расстояний до двух точек
На плоскости
Где расположены точки на плоскости, для которых разность
квадратов расстояний до двух заданных точек есть величина
постоянная?
MA2  MB 2  a 2
ГМТ – прямая перпендикулярная
отрезку AB
Построение d  AB
Точка P  A; B такова, что
 2

a2
2
2
a2  d 2
 AP  PB  a
 AP  PB 

d  AP 

2d
 AP  PB  d
 AP  PB  d


Построение и доказательство ГМТ
a2  d 2  c2
Доказательство
c
AP
c2 a2  d 2

 AP 

2a
c
2a
2a
AM 2  AP2  BM 2  BP 2
AM 2  BM 2  AP 2  BP 2  a 2
Задача 5
Задача 5 Построить точку равноудаленную от трех прямых на
плоскости.
1. Случай : две из трех прямых параллельны.
Построение
1. ГМТ равноудаленных от
прямых L1 и L2.
2. ГМТ равноудаленных от
прямых L1 и L3.
3. Точки O и o принадлежат
обеим ГМТ –центры искомых
окружностей.
Продолжение решения задачи 5.
Случай 2 : среди прямых нет параллельных
Построение
1. Строим ГМТ равноудаленных от
прямых L1 и L2 (зеленые)
2. Строим ГМТ равноудаленных от
прямых L1 и L3 (коричневые)
3. Строим ГМТ равноудаленных от
прямых L2 и L3 (синие)
4. Четыре точки O,O1,O2,O3,
принадлежащие трем ГМТ, центры искомых окружностей.
Сумма квадратов расстояний до двух точек
На плоскости
Где расположены точки на плоскости, сумма квадратов расстояний
которых до двух заданных точек есть величина постоянная?
ГМТ – окружность, построенная
на заданном отрезке, как на диаметре.
В пространстве
Где расположены точки в пространстве, сумма
квадратов расстояний которых до двух заданных
точек есть величина постоянная?
ГМТ –сфера, построенная на заданном
отрезке, как на диаметре.
Отношение расстояний до двух точек
На плоскости
Где расположены точки на плоскости, отношение расстояний
которых до двух заданных точек есть величина постоянная?
ГМТ – окружность, построенная на отрезке, как на
диаметре, концы которого делят данный отрезок в
в заданном отношении внутренним и внешнем образом.
Построение точек P и Q:
PA : PB  QA : QB  m : n
MA : MB  m : n
Построение и доказательство ГМТ
MA : MB  PA : PB  QA : QB  m : n
PMQ - прямоугольный.
MP, MQ -биссектрисы внутреннего
Доказательство
и внешнего углов треугольника
M принадлежит окружности, построенной на отрезке PQ ,
как на диаметре.
Отношение расстояний в пространстве
ГМТ в пространстве, отношение расстояний которых до
двух заданных точек A и B есть величина постоянная m : n,
является сфера, построенная на отрезке PQ, как на диаметре.
Точки P и Q делят отрезок AB в заданном отношении.
Задача 6
Задача 6. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе C
и отношению m : n катетов.
Построение
1.
Точки P и Q делят гипотенузу
AB в отношении m : n
AP : PB  AQ : QB  m : n
2. Окружность с диаметром PQ
3.Окружность с диаметром AB
4. C – точка их пересечения
Отрезок виден под данным углом
На плоскости
Где расположены точки на плоскости, из которых данный
отрезок виден под данным углом?
ГМТ – две симметричные дуги окружностей с общей хордой АВ.
Построение
1.Построение угла ABN, равного
,
где ON – срединный перпендикуляр,
Угол OBN – прямой, угол BON
равен  ,
2.Окружность с центром О
и радиусом OB.
3. Дуга AMB – искомая + симметрия
Задача 7
Задача 7 Построить параллелограмм по заданному отношению
длин диагоналей, углу между диагоналями и стороне.
Построение
1.
Строим ГМТ, из которых отрезок Ad
виден под заданным углом  .
2. Строим ГМТ, для которых
AM : Md  m : n
3.Точка C, принадлежащая
обеим ГМТ – вершина
параллелограмма.
4. Строим вершину B
параллелограмма, два решения
ГМТ –середин хорд окружности
Где расположены середины хорд заданной длины 2a
в окружности радиуса R ?
ГМТ – окружность с тем же центром
определенного радиуса.
Анализ
M – середина любой хорды.
OM  R 2  a 2  const
ГМТ – окружность радиуса OM
Построение радиуса
ГМТ середин хорд
Найти ГМТ середин всех хорд окружности, проходящих
через заданную точку окружности.
ГМТ – окружность, построенная на
отрезке AO, как на диаметре.
Анализ
Отрезок AO виден из точки M под
углом 90 град.
Задача 8
Задача 8 Через точку пересечения двух окружностей провести
секущую, расположенную внутри окружностей и
имеющую заданную длину 2a.
Построение
1. Строим окружность на отрезке Oo
как на диаметре
2. На окружности находим точку P.
для которой oP=a
3. Строим хорду AB перпендикулярную
отрезку OP.
ГМТ в экстремальной геометрии
Среди треугольников со стороной a и заданным
отношением m : n длин двух других сторон найти
треугольник с наибольшей площадью. Найти значение
этой площади.
Построение
Задача 9
1. Находим точки P и Q, делящие
отрезок AB в отношении m : n.
2. Вычисление длин отрезков
n
n
BP 
a, BQ 
a
mn
m-n
3.Вычисление радиуса
1
mna
hmax  R  ( BP  BQ )  2
2
2
m

n
2
S max
mna

2(m 2  n 2 )
Задача 10
Задача 10
Построить треугольник по углу и высотам, проведенным из
вершин двух других углов.
Построение
1. Строим треугольник AHc по двум
сторонам h1 и h2 и углу 
2. Через точку H проводим прямую
перпендикулярную AH.
3. Через точки c и A проводим прямые
перпендикулярные Ac.
4. Точки их пересечения прямых 2) и
3) дают вершины C и B треугольника
Домашнее задание 1
1. Найти ГМТ середин отрезков с концами на двух данных
параллельных прямых.
Ответ: ГМТ равноотстоящих от двух прямых
Домашнее задание 2
2. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте,
проведенных к одной из них.
Ответ: ГМТ равноотстоящих от прямой и точки
Домашнее задание 3
3. Постройте прямоугольный треугольник по заданному
отношению катетов и высоте, опущенной на гипотенузу.
Ответ: ГМТ с заданным отношением расстояний до двух
заданных точек.
Домашнее задание 4
4. Постройте окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и касающуюся данной прямой.
Ответ: пересечения ГМТ равноотстоящих от точки и прямой
Лекция окончена
Спасибо за внимание.