ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЕОЛОГИИ Лекция 3 по дисциплине «Математические методы моделирования в геологии» Грановская Н.В. 1 Основные вопросы лекции • Плотность распределения случайной величины • Параметры распределения случайной величины Грановская Н.В. 2 Распределение случайной величины – это закономерности варьирования её значений Грановская Н.В. 3 Гистограмма Эмпирический график распределения F(x) Частота или частость Плотность – важнейшая характеристика распределения случайной величины. Максимальные значения частоты или частости соответствуют максимальной плотности распределения 30 32 34 36 38 40 42 44 Грановская Н.В. 46 48 Х (содержание Fe в % в руде) 4 • • • • • • • • Особенности распределения значений случайной величины в выборочной совокупности выражаются рядом параметров: размах значений, медиана, мода, математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, среднеквадратичное отклонение, вариация, асимметрия, эксцесс Грановская Н.В. 5 Формулы для расчета данных параметров • Пусть имеется n измерений свойства х. • Необходимо найти статистические характеристики этого множества измерений Грановская Н.В. 6 • Медиана – средний член упорядоченного ряда значений. Для нахождения медианы нужно расположить все значения в порядке возрастания или убывания и найти средний по порядку член ряда. В случае n – четного числа в середине ряда окажутся два значения, тогда медиана будет равна их полусумме Грановская Н.В. 7 • Мода – наиболее часто встречающееся значение случайной величины (это значение с максимальной плотностью вероятности). То есть это значение отдельной переменной, которое наиболее часто появляется в группе данных. Мода соответствует перегибу, вершине на графике функции плотности распределения Грановская Н.В. 8 Если на эмпирических графиках распределения (гистограммах) – несколько модальных значений, то изучаемая выборка неоднородна Частота 7 6 5 4 3 2 1 56 59 62 65 Мо1 68 71 74 Мо2 Грановская Н.В. SiO2, % 9 Среднее значение • обычно это среднеарифметическое из всех измеренных значений: n 1 x xi n i 1 Грановская Н.В. 10 Медиана, мода и среднее значение • являются характеристиками положения – около них группируются измеренные значения случайной величины Грановская Н.В. 11 Меры рассеяния случайной величины • • • • Размах Дисперсия Среднеквадратичное отклонение Коэффициент вариации Грановская Н.В. 12 РАЗМАХ это разность между максимальным хmax и минимальным хmin значениями свойства: p = хmax – хmin Грановская Н.В. 13 ДИСПЕРСИЯ Это число, равное среднему квадрату отклонений значений случайной величины от ее среднего значения 2 1 n ( xi x ) 2 n i1 Грановская Н.В. 14 Среднеквадратичное отклонение • это число, равное квадратному корню из дисперсии 1 n ( xi x ) 2 n i 1 Грановская Н.В. 15 • Среднеквадратичное отклонение имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины и среднего значения. • Например, если значения случайной величины измерены в метрах, то и среднеквадратичное отклонение также будет выражаться в метрах Грановская Н.В. 16 . Коэффициент вариации • это отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению V x • Коэффициент вариации выражается в долях единицы или (после умножения на 100) в процентах. Он не имеет размерности, что удобно при сравнении разброса значений величин с разной размерностью. Вычисление коэффициента вариации имеет смысл для положительных случайных величин Грановская Н.В. 17 Асимметрия • степень асимметричности распределения значений случайной величины относительно среднего значения 1 n 3 A 3 ( xi x ) n i1 Грановская Н.В. 18 Асимметричное распределение Частота 7 6 5 4 3 2 1 56 59 62 65 68 71 74 Грановская Н.В. SiO2, % 19 Распределение симметричное (1), отрицательно асимметричное (2), положительно асимметричное(3) Грановская Н.В. 20 Эксцесс • степень остро- или плосковершинности распределения значений случайной величины относительно нормального закона распределения 1 n 4 E 4 ( xi x ) 3 n i 1 Грановская Н.В. 21 Показатель эксцесса равен нулю (1), положителен (2), отрицателен (3) Грановская Н.В. 22 • Асимметрия и эксцесс являются безразмерными величинами. • Они отражают особенности группировки значений случайной величины около среднего значения Грановская Н.В. 23 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ Грановская Н.В. 24