«Дискретная математика для социологов» Программа дисциплины

Программа дисциплины
«Дискретная математика для социологов»
для направления 521200 – Социология
(вторая ступень высшего профессионального образования – бакалавриат)
для специальности 020300 - Социология
(третья ступень высшего профессионального образования)
I.
Пояснительная записка.
Авторы программы: д.ф.-м.н., профессор Самыловский Александр
Иванович; д.ф.-м.н., профессор, член-корреспондент РАЕН Флёров Юрий
Арсениевич.
Требования к студентам: Учебная дисциплина «Дискретная математика
для социологов» (4-й и 5-й модули учебного плана 1-го курса факультета
Социологии) не требует предварительных знаний, выходящих за рамки
программы общеобразовательной полной средней школы.
Аннотация: В настоящее время умение описывать дискретные
математические объекты, строить прикладные дискретные математические
модели и работать с ними составляет необходимую часть ремесла грамотного
исследователя, аналитика, практика. Учебная дисциплина направлена на изучение
основных понятий, методов и результатов комбинаторики, теории графов,
дискретной вероятности, которые с середины XX века играют совершенно
особую, всё возрастающую роль в естественно – научных и гуманитарных
исследованиях.
Дисциплина
является
необходимым
языковым
и
методологическим основанием для формирования знаний и навыков работы с
дискретными объектами, особенно актуальными в практике современного
социолога-аналитика. Методы комбинаторного анализа, теории графов и
дискретной вероятности позволяют строить и исследовать математикосоциологические модели, решать конкретные реальные социологические задачи,
являются средством четкой формулировки понятий и проблем во многих
социологических исследованиях. «Дискретную математику для социологов»
следует рассматривать как важный компонент в системе фундаментальной
1
подготовки современного социолога. Предпочтение в курсе отдается
конструктивным комбинаторным рассуждениям и конструктивной операционной
стороне комбинаторного анализа, теории графов и дискретной вероятности.
Основной акцент делается на методы, составляющие математическую основу –
ядро информационных технологий социологических исследований, которые
реально используются современным мировым профессиональным научноделовым сообществом в аналитических разработках и в практической
деятельности.
Целью курса является:
- овладение базовыми понятиями, основными определениями и
элементарными результатами дискретной математики (комбинаторного анализа,
теории графов и дискретной вероятности), необходимыми в практической
социологической деятельности;
- развитие логического мышления и умения оперировать дискретными
объектами, развитие навыков вычисления конечных сумм, перечисления
комбинаторных объектов и графов, анализа дискретных вероятностных моделей.
Дискретной математике вообще, а комбинаторике, теории графов и
дискретной вероятности – в особенности, присущи внутренняя математическая
целостность, конкретность и внешняя элегантность.
Программа курса предусматривает лекции (55 часов), семинарские занятия
(32 часа). Курсовых работ нет. В самостоятельную работу студентов входит
освоение теоретического материала, изучение базового учебника и основной
литературы, знакомство с дополнительной литературой, начальное ознакомление
с профессиональной литературой (предназначенной для углубленного изучения
научной области), подготовка к семинарским занятиям, подготовка к выполнению
промежуточных контрольных работ, выполнение домашних заданий, подготовка
к итоговой контрольной работе.
Учебная задача дисциплины: В результате изучения курса «Дискретная
математика для социологов» студент должен:
- знать и уметь использовать элементарные математические методы и
результаты комбинаторики, теории графов и дискретной вероятности для
постановки и решения теоретических и прикладных задач социологии;
- овладеть навыками самостоятельной аналитической работы и умением
постоянно пополнять свой профессиональный математический инструментарий,
следя за развитием математических и информационных технологий
социологических и социально-экономических исследований.
Материал курса предназначен для дальнейшего использования, прежде
всего, в «Теории вероятностей» (1-й – 2-й модули 2-го курса), в «Математикостатистических моделях в социологии» (3-й – 4-й модули 2-го курса), в «Анализе
социологических данных – 1» (4-й – 5-й модули 2-го курса), в социологическом и
политологическом моделировании, в дисциплинах, посвященных построению и
оцениванию
современных
социальных,
политических,
экономических,
управленческих, правовых моделей, методик, технологий. Учебная дисциплина
нацелена на развитие у студентов начальных навыков системной аналитики.
2
Формы контроля:
- текущий контроль – вопросы и задачи для проверки усвоения материала
на семинарских занятиях;
- промежуточный контроль – четыре контрольных работы (аудиторные) и
два домашних задания;
- итоговый контроль – письменный экзамен.
Итоговая оценка (при положительных результатах текущего и
промежуточного контроля) складывается из оценок за промежуточные
контрольные работы (40%), из оценок за домашние задания (10%), из оценки
текущего контроля (10%) и из оценки за итоговую контрольную работу (40%).
II. Тематический расчет часов
(4-й – 5-й модули первого курса)
№
п/п
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
2.1.
Наименование разделов и
тем
Комбинаторные методы
дискретной математики
(модуль 4)
История развития, генезис
понятий, классические
задачи
Размещения и
производящие функции
Разбиения.
Двенадцатеричный путь.
Логические методы
комбинаторного анализа
Модели и задачи
комбинаторного анализа в
социологии
Элементы теории
графов
(модуль 4)
История развития, генезис
понятий, классические
задачи
Аудиторные часы
Формы
текущ.
контр.
Самост.
работа
Всего
часов
1 к.р.
20
44
лекции
семинары
всего
15
9
24
2
0
2
2
4
4
3
7
4
11
3
3
6
4
10
4
3
7
4
11
2
0
2
6
8
15
9
24
20
44
2
0
2
4
6
1 к.р.
1 к.р.,
1 д.з.
3
2.2. Ориентированные и
неориентированные
графы
2.3. Эйлеровы пути и циклы
2.4. Гамильтоновы пути и
циклы
2.5. Нахождение кратчайших
путей в графе.
Примеры применения
графов в социологии
3. Дискретные модели
теории вероятностей
(модуль 5)
3.1. История развития, генезис
понятий, классические
задачи
3.2. Вероятность сложных
событий
3.3. Дискретные случайные
величины
3.4. Числовые характеристики
дискретных случайных
величин
3.5. Элементы дискретного
вероятностного
моделирования в
социологии
Итого часов:
4
5
9
5
14
3
2
1
1
4
3
4
3
8
6
4
2
6
1 к.р.
4
10
25
14
39
2 к.р.,
1 д.з.
35
74
4
2
6
4
10
6
4
10
1 к.р.
8
18
6
4
10
1.д.з.
6
16
6
4
10
1 к.р.
8
18
3
0
3
9
12
55
32
87
75
162
Всего учебных часов: 162.
III. Содержание программы.
Раздел 1. Комбинаторные методы дискретной математики.
Тема 1.1. История развития, генезис понятий, классические задачи.
Структура курса дискретной математики. Два направления математического
образования (дискретность и непрерывность, конечность и актуальная
бесконечность). Предмет комбинаторики, история развития, генезис
4
современного состояния. Конструирование и анализ комбинаторных алгоритмов.
Два правила комбинаторики (правило суммы, правило произведения).
Классические задачи комбинаторного анализа. Задача размещения объектов по
ячейкам при различных ограничениях. Количество слов в алфавите при
различных ограничениях. Задача о числе отображений конечных множеств при
различных ограничениях.
Тема 1.2. Размещения и производящие функции.
Количество всевозможных размещений различных объектов по различным
ячейкам. Количество различных слов заданной длины в заданном алфавите.
Количество размещений различных объектов по различным ячейкам при условии,
что каждая ячейка содержит не более одного элемента. Количество слов заданной
длины без повторений символов в заданном алфавите. Перестановки элементов.
Упорядоченные размещения различных объектов по различным ячейкам.
Число монотонных слов заданной длины в заданном алфавите. Задача
Муавра о числе способов представления натурального числа как упорядоченной
суммы неотрицательных целых чисел. Сочетания и биномиальные
коэффициенты. Производящие функции. Бином Ньютона. Основные
комбинаторные тождества для чисел сочетаний. Полиномиальные коэффициенты.
Задача о числе размещений различных объектов по различным ячейкам при
заданном количестве объектов в каждой ячейке. Производящая функция для
полиномиальных коэффициентов, основные комбинаторные тождества для них.
Тема 1.3. Разбиения. Двенадцатеричный путь.
Разбиения объектов на классы (числа Стирлинга второго рода), связь
разбиений с размещениями. Число разбиений. Рекуррентное соотношение для
числа разбиений. Число сюръективных отображений множеств. Основные
комбинаторные тождества для чисел разбиений. Двенадцатеричный путь:
количество размещений объектов по ячейкам (объекты различные или
одинаковые; ячейки различные или одинаковые; размещения произвольные, либо
каждая ячейка не пуста, либо в каждой ячейке не более одного элемента). Числа
Белла разбиений конечного множества на непересекающиеся подмножества,
рекуррентное соотношение для чисел Белла.
Тема 1.4. Логические методы комбинаторного анализа.
Принцип включений – исключений. Формула включений – исключений.
Задача о числе беспорядков, задача о числе сюръективных отображений конечных
множеств.
Системы
представителей
множеств.
Системы
различных
представителей, необходимое и достаточное условие их существования.
Тема 1.5. Модели и задачи комбинаторного анализа в социологии.
Комбинаторные
задачи
планирования
выборочных
обследований.
Экстремальные комбинаторные задачи о выборе информативных признаков, «о
покрытиях». Модели парных взаимодействий.
5
Раздел 2. Элементы теории графов.
Тема 2.1. История развития, генезис понятий, классические задачи.
Становление и развитие теории графов. Задача Эйлера о кенигсбергских
мостах. Проблема четырех красок. Генезис современного состояния предмета.
Тема 2.2. Ориентированные и неориентированные графы.
Определение графа. Графы неориентированные и ориентированные.
Отношения смежности и инцидентности. Неориентированный полный граф.
Ориентированный полный граф. Расширения понятия графа (петли, несколько
ребер). Простой граф. Конечный граф. Изоморфные графы. Степени вершин. О
представлении графов в ЭВМ (матрица инциденций, матрица смежности вершин,
списки инцидентности). Пути и циклы. Связность. Подграфы. Связные
компоненты (или компоненты связности). Поиск в графе. Примеры задач поиска в
графе (базы данных, задача о взаимозачетах). Поиск в глубину. Поиск в ширину.
Деревья. Остовное дерево (каркас). Алгоритм построения остовного дерева
методом поиска в глубину. Кратчайшие пути в связном неориентированном графе
из заданной вершины до всех остальных вершин.
Тема 2.3. Эйлеровы пути и циклы.
Эйлеровы пути и циклы. Теорема о существовании эйлеровых путей и
циклов в графе. Алгоритм построения эйлеровых циклов. Оценка сложности
алгоритма.
Тема 2.4. Гамильтоновы пути и циклы.
Сложность задачи проверки существования гамильтонова цикла. Пути,
имеющие тип цикла. Достаточное условие для того, чтобы полный простой путь
имел тип цикла. Связь между наличием в связном графе гамильтоновых циклов и
длиной максимальных простых путей в нем.
Тема 2.5. Нахождение кратчайших путей в графе. Примеры применения
графов в социологии.
Алгоритм построения кратчайшего пути от фиксированной вершины до всех
остальных вершин в ориентированном графе (случай неотрицательных весов
ребер). Задача о спросе и предложении. Метод критического пути при
управлении. Методология ветвей и границ.
Раздел 3. Дискретные модели теории вероятностей.
Тема 3.1. История развития, генезис понятий, классические задачи.
Интуитивные предпосылки теории вероятностей. Опыт, множество
элементарных исходов опыта, событие. Классическое, статистическое,
геометрическое
определение
вероятности.
Субъективная
вероятность.
Математическое определение вероятности. Алгебра событий. Исчисление
6
событий. Использование методов комбинаторики для вычисления вероятностей.
Вероятностное пространство как парадигма вероятностного мышления и как
корректная математическая модель случайного явления. Теория вероятностей в
научном исследовании и в решении практических задач.
Тема 3.2. Вероятность сложных событий.
Совместные и несовместные события. Правила исчисления теоретикомножественной суммы (объединения) событий. Теорема сложения вероятностей.
Теорема о непрерывности вероятности. Условная вероятность. Зависимые и
независимые события. Правила исчисления теоретико-множественного
произведения (пересечения) событий. Теорема умножения вероятностей. Дерево
вероятностей. Причинно-следственная и вероятностная зависимость. Формула
полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез). Дерево решений.
Раздел 3.3. Дискретные случайные величины.
Детализация математической модели случайного явления и концепция
случайной величины. Случайная величина как функция от элементарных исходов
опыта. Случайная величина как функция, определенная на вероятностном
пространстве. Вероятностные распределения, функция распределения случайной
величины. Мышление на языке вероятностных распределений. Случайная
величина Бернулли. Схема независимых испытаний Бернулли. Биномиальная
случайная величина. Предельная теорема Пуассона и случайная величина
Пуассона. Предельные теоремы Муавра – Лапласа и случайная величина Гаусса
(нормальная случайная величина). Некоторые другие дискретные случайные
величины как математические модели случайных явлений. Многомерные
случайные величины. Сумма случайных величин. Табулирование распределений.
Раздел 3.4. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Неравенство
Чебышёва. Понятие об интеграле Стилтьеса. Понятия неопределенности,
энтропии и количества информации. Условное математическое ожидание.
Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин. Элементы
аппарата производящих функций в теории вероятностей.
Раздел 3.5. Элементы дискретного вероятностного моделирования в
социологии.
Комбинаторика и графы в вероятностном моделировании. Вероятностное
моделирование как основа принятия решений в условиях неопределенности.
Неограниченные последовательности испытаний Бернулли как математические
модели социологических исследований. Наивероятнейшее число наступлений
события и теорема Бернулли. Элементы рангового анализа в социологии.
Элементы теории информации в социологии.
7
IV. Учебно-методическое обеспечение дисциплины:
1. Литература
Базовый учебник
Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А. Дискретный анализ. Ч.I: Учебное пособие.
М.: Изд-во МФТИ, 1999.
Основная литература
1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической
статистики. СПб.: Лань, 1999.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу
дискретной математики. М.: Наука, 1992.
3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. 7-е издание. М.:
Эдиториал УРСС, 2001.
4. Грэхем Рональд Л., Кнут Дональд Е., Паташник Орен. Конкретная
математика. Основание информатики. М.: Мир, 1998.
5. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения.
М.: Вузовская книга, 1999.
6. Москинова Г.И. Дискретная математика. Учебное пособие для ВУЗов.
М.: Логос, 2000.
7. Ниворожкина Л.И. и др. Основы статистики с элементами теории
вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. Ростов-на-Дону:
Феникс, 1999.
8. Оре Ойстин. Графы и их применение. М.: Мир, 1965; Новокузнецк: Изд.
отдел Новокузнецкого физико-математического ин-та, 2000.
9. Политическое моделирование. Хрестоматия к курсу, ч.2 / Составитель
Д.С.Шмерлинг. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 2001.
10. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990.
11.Томас Ричард. Количественные методы анализа хозяйственной
деятельности. М.: Дело и Сервис, 1999.
12. Феллер Вильям. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1.
М.: Мир, 1984.
13. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: Аудит,
ЮНИТИ, 1997.
Дополнительная литература
1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. М.:
Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
2. Алексаченко В.А. Логика. Множества. Вероятность. М.: Вузовская книга,
2001.
8
3. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975.
4. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию
вероятностей. М.: Наука, 1964.
5. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. М.:
Наука, 1977.
6. Емеличев В.А. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
7. Кемени Джон Дж., Снелл Дж.Л., Томпсон Дж.Л. Введение в конечную
математику. М.: Мир, 1965.
8. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию
вероятностей. М.: Наука, 1982.
9. Курбатов В.И., Угольницкий Г.А. Математические методы социальных
технологий: Учебное пособие. М.: Вузовская книга, 1998.
10. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.
11. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер,
2001.
12. Оре Ойстин. Теория графов. М.: Наука, 1968.
13. Плаус Скотт. Психология оценки и принятия решений. М.: ИИД
«Филинъ», 1998.
14. Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие. СПб.-М.:
Невский диалект – Физматлит, 2000.
15. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ,
1972.
16. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. М.:
Наука,1982.
17. Уилсон Р.Дж. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.
18. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
19. Харари Фрэнк. Теория графов. М.: Мир,1973.
20. Cook Wade D., Kress Moshe. Ordinal Information and Preference Structures:
Decision Models and Applications. USA: Prentice-Hall – Englewood Cliffs, 1992.
21. Ross Sheldon M. Topics in Discrete and Finite Mathematics. UK: Cambridge
University Press, 2000.
Литература для углубленного изучения научной области
1. Анастази Анна, Урбина Сьюзан. Психологическое тестирование. 7-е
международное издание. СПб.: Питер, 2001.
2. Басакер Роберт Дж., Саати Томас Л. Конечные графы и сети. М.:
Наука, 1974.
3. Кемени Джон Дж., Снелл Дж.Л. Кибернетическое моделирование.
Некоторые приложения. М.: Советское радио, 1972.
4. Коваленко И.Н., Левитская А.А., Савчук М.Н. Избранные задачи
вероятностной комбинаторики. Киев, Наукова думка, 1986.
5. Кофман Арнольд. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука,
1975.
9
6. Кристофидес Никос. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир,
1978.
7. Кузютин Д.В. Математические методы стратегического анализа
многосторонних отношений: Голосование. Многосторонние соглашения: Учебное
пособие. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2000.
8. Математические методы в социальных науках / Сб. статей под ред.
Пауля Ф. Лазарсфельда и Нейла У. Генри. М.: Прогресс, 1973.
9. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974.
10. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: Изд-во
МАИ, 1992.
11. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.
12. Сачков В.Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М.:
Наука, 1978.
13. Сачков Ю.В. Вероятностная революция в науке (Вероятность,
случайность, независимость, иерархия). М.: Научный мир, 1999.
14. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. СПб.:
Речь, 2000.
15. Тараканов В.Е. Комбинаторные задачи и (0,1)-матрицы. М.: Наука,
1985.
16. Угольницкий Г.А. Модели социальной иерархии. М.: Вузовская книга,
2000.
17. Холл Маршалл. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
18. Эрдёш Пауль, Спенсер Джоэл. Вероятностные методы в комбинаторике.
М.: Мир, 1976.
19. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: Учебное пособие
для ВУЗов. М.: Высшая школа, 2001.
20. Agresti Alan. Categorical Data Analysis. USA: John Wiley & Sons, 1990.
2. Тематика заданий по различным формам текущего контроля:
Домашнее задание 1.
Размещения, перестановки, сочетания. Биномиальные коэффициенты. Урновые
схемы. Рекуррентные соотношения. Числа Фибоначчи. Разбиения. Основные
комбинаторные тождества и соотношения. Метод включений - исключений.
Изоморфизм графов. Степени вершин и количество ребер в графе. Пути и циклы.
Пути максимальной длины. Компоненты связности. Эйлеровы и гамильтоновы
циклы.
Домашнее задание 2.
Дискретные случайные величины. Распределения дискретных случайных
величин, используемых при моделировании социально-экономических явлений и
процессов. Применения предельных теорем Пуассона, Бернулли и Муавра –
Лапласа.
10
Контрольная работа 1. Элементы комбинаторики.
Размещения, перестановки, сочетания.
Биномиальные коэффициенты.
Разбиения.
Основные комбинаторные тождества и соотношения.
Метод включений – исключений.
Контрольная работа 2. Элементы теории графов.
Изоморфизм графов.
Степени вершин и количество ребер в графе.
Пути и циклы.
Пути максимальной длины.
Компоненты связности.
Эйлеровы и гамильтоновы циклы.
Контрольная работа 3. Вероятность сложных событий.
Вычисление вероятностей на основании формул комбинаторного анализа.
Вычисление вероятности объединения нескольких совместных событий.
Вычисление вероятности пересечения нескольких зависимых событий.
Вычисление вероятности наступления хотя бы одного из нескольких независимых
событий.
Использование формулы полной вероятности и формулы Байеса в социальноэкономическом анализе.
Контрольная работа 4. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Вычисление математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных
величин, заданных своими распределениями.
Вычисление коэффициента корреляции двух дискретных случайных величин,
заданных своим двумерным распределением.
3. Методические указания студентам.
Для закрепления материала каждой лекции рекомендуется активная работа на
семинарах, регулярное выполнение домашних заданий и решение
дополнительных задач на текущую тему, даваемых на семинарах, имеющихся в
задачниках [2,7], в основной [1,4,8,10,12,13] и в дополнительной литературе.
Авторы программы:
А.И.Самыловский
Ю.А.Флёров
11