Лекция 4 Описание потоков вызовов в теории телетрафика 1

Лекция 4
Описание потоков вызовов в теории
телетрафика
1
Вопросы лекции 4
1.
2.
3.
4.
5.
Потоки заявок
Модель простейшего потока заявок
Основные показатели потока заявок
Модель примитивного потока
Поток обслуженных вызовов
2
Потоки заявок
Для передачи сообщений или установления соединений между
абонентами в сеть поступают заявки на обслуживание
Поток заявок – это последовательность заявок ( вызовов), поступающих
в систему обслуживания в определенные моменты времени
Поток заявок характеризуется моментами их поступления ( событиями)
во времени:
t1, t2, t3, … , ti, …, tc, …
где ti – это измеряемый параметр, который может принимать
определенные или произвольные значения.
Детерминированный поток – поток заявок в фиксированные моменты
времени
Стохастический ( случайный) поток – поток заявок в случайные
моменты времени
t1
t2
t3
t1
t2
ti
t3
tk-1 tk
ti
t ( ось детерминированного времени)
t ( ось непрерывного времени)
3
Потоки заявок
Параметры потока:
Интервал времени между моментами поступления вызовов
1.
Dtk=tk-tk-1,


Это интервал времени между моментами поступления соседних
вызовов или промежуток времени предшествующий поступлению
k-го вызова
tk-1 = tk - означает одновременное поступление (k-1)-го и k –го
вызовов для детерминированного потока
Интенсивность потока l – это число вызовов, поступающих за
2.
единицу времени.
Среднее число вызовов, поступающих в потоке за единицу
времени можно рассчитать по формуле
1
l
Dt
где
Dt  средний интервал времени между соседними вызовами
4
Потоки заявок
Основные свойства потоков

Стационарность

Последействие

Ординарность
Стационарность потока – это свойство отражающее неизменность
статистических параметров во времени: постоянная плотность
вероятности поступления вызовов в любой момент времени
Вероятность поступления заявки/вызова Р (Dt) на интервале Dt,
не зависит от расположения этого интервала на оси времени, а
зависит только от его величины.
если Dt1 = Dt2, то Р(Dt1)= Р (Dt2),
если Dt1 > Dt2, то Р(Dt1)> Р (Dt2)
5
Потоки заявок
Ординарность потока означает практическую невозможность
поступления в один момент времени более одного вызова.
Т.е. вероятность поступления двух и более вызовов за
бесконечно малый интервал времени
i 2
есть величина
Dt,т.е.
более малого порядка, чем
p(Dt)
Dt > 0
 o(t )  0
Последействие потока – это свойство, отражающее зависимость
вероятности поступления заявки в текущий момент ( интервал) времени
от предыдущих событий
Различают потоки
• с простым последействием
• с ограниченным последействием
6
Потоки заявок
Параметр потока
(t , Dt )
P
i

1
l (t )  lim
t
Dt
D 0
Параметр потока определяет плотность вероятности поступления
вызова в момент времени t.
Этот показатель означает, что вероятность поступления вызова в
промежутке [t; t+Dt) с точностью до бесконечно малого o(Dt)
пропорциональна промежутку времени Dt
P
i ≥1
(t; t+Dt) = l (t) Dt + o(Dt)
Для стационарных потоков
P
i ≥1
(t; t+Dt) = P
i ≥1
(Dt)
т.е. вероятность поступления вызова не зависит от времени.
Поэтому параметр стационарного потока постоянный
P
i ≥1
(Dt)= l Dt + o(Dt)
7
Модель простейшего потока заявок
Модель простейшего потока - наиболее распространенное
математического описания потоков заявок ( сообщений) в
телекоммуникационных системах
Простейший поток
- это поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и
отсутствия последействия.
Если за интервал t+Dt поступают i вызовов, то возможны (i+1) событие:
i вызовов поступают на интервале t и 0 на интервале Dt ,
i-1 вызовов на интервале t и 1 на интервале Dt,
i -2 вызовов на интервале t и 2 на интервале Dt и
0 вызовов на интервале t и i на интервале Dt
Вероятность поступления i вызовов на интервале t+Dt можно рассчитать
в виде
P i (t+Dt) = P(i,t, 0, Dt)+ P(i-1,t,1, Dt)+ P(i-2,t,2, Dt)+…+ P(1,t,i-1, Dt)+ P(0,t,i, Dt)
i
Pi (t  Dt )   P(i  j ), t , j, Dt )
j 0
8
Модель простейшего потока заявок
P(i-j,t,j,Δt) – вероятность совместного события:
за интервал времени t поступает i-j вызовов, а в
промежуток Δt поступает j вызовов. Следовательно,
P(i-j,t,j,Δt)= Pi-j (t) * Pj(Δt)
При отсутствии последействия вероятность поступления
вызовов в промежуток Δt не зависит от числа вызовов,
поступивших за промежуток t.
i
Pi (t  Dt )   Pi  j (t ) Pj (Dt )
j 0
9
Модель простейшего потока заявок
Pi (t+Δt)= Pi (t) * P0(Δt)+ Pi-1 (t) * P1(Δt)+ Pi-2 (t) * P2(Δt)+
+Pi-3 (t) * P3(Δt) + … + Pi-i (t) * Pi(Δt)
На основании свойства ординарности
Pi≥2(Δt)=0(t) ≈0
т.к. в один момент времени может поступить либо 0, либо 1
вызов.
Следовательно,
Pi (t+Δt)= Pi (t) * P0(Δt)+ Pi-1 (t) * P1(Δt)+ 0(t)
где

P1(Δt) = λ*Δt + 0(t)

P0(Δt) = 1-λ*Δt + 0(t)
В пределе при Δt →0 получается система уравнений
P’i(t)= - λ*Pi(t)+ λ*Pi-1(t)
10
Модель простейшего потока заявок
Граничные значения

Р0(0)=1;

Рi(0)=0; для i = [1,∞)
Общая формула для расчета вероятности поступления i
вызовов имеет вид
( l t )  lt
Pi (t ) 
e
i!
i
Данное распределение вероятности поступления i вызовов называется
распределением Пуассона и математически описывает простейший
поток заявок.
Простейший поток создается большим количеством/группами
источников вызовов
11
Основные показатели потока заявок




Распределение числа поступающих вызовов
Среднее значение количества поступающих
вызовов
Дисперсия числа поступающих вызовов
Распределение промежутка времени между
соседними вызовами
Распределение числа поступающих вызовов
( l t )  lt
Pi (t ) 
e
i!
i
12
Основные показатели потока заявок
Пример расчета вероятности поступления i вызовов за период t = 180c
t
l
lt
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
180 сек
160 выз/час
8
плотность
функция
распределение распределения
вероятностей
вероятностей
0.000
0.000
0.003
0.003
0.011
0.014
0.029
0.042
0.057
0.100
0.092
0.191
0.122
0.313
0.140
0.453
0.140
0.593
0.124
0.717
0.099
0.816
0.072
0.888
0.048
0.936
0.030
0.966
0.017
0.983
0.009
0.992
Графики функции и плотности распределения
числа вызовов
1.000
0.800
0.600
0.400
0.200
0.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
13
Основные показатели потока заявок
Оценка влияния параметра потока на распределение
распределение вероятностей
при l  { 10; 3; 0,5 }
0.700
0.600
10
3
0.5
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
i
0.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
функция распределения вероятностей
при l  { 10; 3; 0,5 }
1.200
В зависимости от
величины параметра
потока l
распределение
Пуассона может
преобразовываться из
экспоненциального в
биномиальное или в
нормальное
1.000
0.800
10
0.600
0.400
3
0.200
0.5
0.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
i
14
Основные показатели потока заявок
Среднее количество поступающих вызовов рассчитывается
как математическое ожидание значений числа
поступающих вызовов в потоке
i

(lt )i lt
(
l
t
)
M (i)   iPi (t )   i
e  ltelt 
 lt
i!
i!
i 0
i 0
i 0


Дисперсия количества поступающих вызовов в потоке
рассчитывается в виде
i
i

(
l
t
)
(
l
t
)
D(i)   i 2 Pi (t )  M 2i   i 2
e lt  (lt ) 2  ltelt 
 lt
i!
i!
i 0
i 0
i 0


Важный признак простейшего потока – это практическое
равенство математического ожидания и дисперсии.
Их значения равны параметру потока
λt.
15
Основные показатели потока заявок
Распределение промежутка времени Δt между
соседними вызовами
P (Δt < t) = 1- P (Δt > t)
Вероятность P (Δt > t) равносильна тому, что за
интервал Δt не поступит ни один вызов ( или
поступит 0 вызовов)
P (Δt > t) = P0(t)
P (Δt < t) = 1- P (Δt > t) = 1- P0(t) = 1-e –λt
Дифференцируя по t получаем
p (t) = λe
–λt
- экспоненциальное (показательное) распределение
интервала времени между соседними вызовами в
потоке с параметром λ
16
Основные показатели потока заявок
Среднее длительность интервала времени Δt между соседними
вызовами рассчитывается как математическое ожидание в виде


0
0
M (Dt )   tP(Dt )dt   tle dt 
lt
1
l
Дисперсия Δt


D(Dt )   t 2 P(Dt )dt  M 2 (Dt )   t 2le lt dt 
0
0
1
l2

1
l2
Среднеквадратическое отклонение интервала Δt
 (Dt ) 
1
l
2

1
l
Равенство математического ожидания и среднеквадратического
отклонения так же есть признак показательного распределения
17
Модель примитивного потока
Простейший поток – математическая модель потока от
очень большого количества источников заявок
(пример: поток заявок на установление соединений
на городскую АТС емкостью 10 000 абонентов)
Ограниченное ( конечное) число источников формирует
поток, который описывается моделью примитивного
потока
( примеры: поток заявок на сельскую АТС емкостью
100 номеров/абонентов; поток пакетов на
обслуживание сервером локальной сети)
18
Модель примитивного потока
Описание потока

Ni – число источников генерации заявок

i – число занятых источников

λi – параметр потока
λi=
a Ni= a ( N-i),
где a – параметр, характеризующий нахождение источника в
свободном состоянии
Параметр потока λ может быть определен в виде
N
l   li Pi
i 0
Где, Pi – вероятность того, что занято i источников
19
Модель примитивного потока
Поток создается только свободными источниками. Поэтому
параметр потока зависит от состояния каждого источника
Состояния источника - свободен/занят как временной процесс
Поток вызовов от одного источника
1
2
t cв1
3
n-1
t
n
t cв2
t cвn
t зан1
t зан2
t зан3
t занn-1
t занn
Интенсивность или активность источника в свободном состоянии a – это
отношение числа поступивших вызовов к суммарному свободному
времени
a
n
n
 tcâ
i 1
i
a
n

n
1
n
 tcâ  tcâ
i 1
i
i
i 1
n

1
__
tñâ
20
Модель примитивного потока
Средняя интенсивность источника
_
n
a
T
_
n
a 
T
1
n
 tcâ   tçaí
i 1

n
i
i 1
i
1
_
_
t ñâ  t çaí
n
Следовательно, средняя интенсивность свободного источника
величина, обратная среднему промежутку между вызовами
Распределение промежутка свободности подчиняется
показательному закону с параметром a
P(tñâ  t )  1  e
at
Это равносильно предположению, что новые вызовы поступают
случайно независимо от моментов возникновения и окончания
обслуживания предыдущих вызовов
21
Модель примитивного потока
Вероятность поступления за время t ровно k
заявок описывается биномиальным
распределением
P(t , k )  C (at ) (1  at )
k
N
k
N k
Вероятность поступления заявки в ti момент времени
определяется соотношением числа одновременно
занятых Ni источников в этот момент времени
N  Ni
Ni
P(ti ) 
 1
N
N
22
Поток обслуженных вызовов
Последовательность моментов окончания обслуживания
вызовов образует поток освобождений или поток
обслуженных вызовов
Поток обслуженных вызовов зависит от

поступающего потока

показателей обслуживающей системы (времени
обслуживания t )
Время обслуживаиня t может быть случайным или
детерминированным



Длительность телефонного разговора
Время обработки пакета в узле маршрутизации и коммутации
Длительность сеанса связи с узлом доступа с ресурсам Интернет
23
Поток обслуженных вызовов
Наиболее распространенным законом распределения времени
обслуживания является показательный
t
P (t  t )  1  e
_
t
Поток обслуженных заявок достаточно точно соответствует
простейшему потоку ( его свойствам).
Параметр простейшего потока обратно пропорционален среднему
времени обслуживания заявки в системе

1
_
t
  интенсивность обслуживания вызовов
24
Литература











Романов А. И. Телекоммуникационные сети и управление: Учебное
пособие –К. ИПЦ « Киевский университет», 2003, -247с.
Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации – М.:
Радио и связь, 1985
Сети ЭВМ. Под редакцией В.М. Глушкова – М.: Связь, 1977
Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем – М. : Наука, 1978
Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового
обслуживания – М.: Наука, 1966
Клейнрок Л. Коммутационные сети – М.: Наука, 1970
Шварц М. Сети ЭВМ. Анализ и проектирование - М.: Радио и связь,
1981
Советов Б.Я. и др. Построение сетей интегрального обслуживания –
Л.: Машиностроение, Лен отд-е, 1990
Клейнрок Л. Вычислительные сети с очередями – М.: Мир, 1979
Хилс М.Т. Принципы коммутации в электросвязи - М.: Радио и связь,
1984
Френк Г. , Фриш И. Сети, связь и потоки – М.: Связь, 1978
25
Спасибо за внимание!
26