Целочисленный квантовый эффект Холла B Электрон дрейфует поперек электрического поля, а вдоль поля смещается только при наличии рассеяния B E=0 В сильном магнитном поле электрон локализован в окрестности своей классической орбиты y x B E Тензоры проводимости и сопротивления j E Ej jx xx Ex xy E y j y yx Ex yy E y E x xx jx xy j y E y yx jx yy j y xx 2 xx 2 xx xy xx yy , yx xy xx yy , yx xy xy xy 2 xx 2xy Классическое движение в магнитном поле Уравнение движения с трением и с усреднением по времени ~ ~. e ~ mv mv [ vB ] eE ~v x c e ~ v y E m ~v y ~v x j ne~v j E 0 1 ( ) 2 0 xy 1 ( ) 2 ~v x z B eB mc x xx xy E e E m 1 ( ) 2 При xx y () xx 0 xy 0 nec B Продольная проводимость возникает в результате рассеяния ... ... в объеме ... или вдоль поверхности v y x B E Магнитное и размерное квантования B b kz N = 5 s 2 2N z || ( N 12 ) 2m b 2 Вырожденность всех (N, Nz )-уровней одинакова и равна 1 , 2 2rB rB2 c Число занятых уровней kz 2 Ns F0 4 3 1 2 kz Ns= 5 N=0 1 2 3 4 k nb 2c(nb) eB В полях Bi 2c 1 nb e i N=0 1 3 1 eB k (i 1,2,3,...) = i целые числа и все занятые уровни заполнены полностью. 1 k Влияние края на энергию 2D-электрона в магнитном поле N=1 /h N=1 N=0 N=0 N 3 4 3 F 2 2 1 1 0 0 0 r Основные двумерные системы: пленки и ... ... гетероструктуры ... МОП-структуры Si GaAs F GaAs AlxGa1-xAs F SiO2 AlxGa1-xAs Metal Основные измерительные конфигурации Холловский мостик 3 xx =(V34/J12)(a/b) 4 a 1 B b A Диск Корбино 2 a2 a1 1 xy =V35/J12 5 xx , xy 2 6 xx = ( J 12 /2 V 12 )ln( a 2 / a 1) xx Нобелевская работа 2h/2e2 Si xy B = 17.9 T T = 1.5 K Si 6.50 2h/3 e xy (k) 2 8 2h/4e2 2h/6e 4 0= 4 6.45 6453.3 6.40 Rxx 2 Rxx () Rxx , xy (k) 12 2h/8e2 n =1 B = 13.0 T T = 1.8 K 400 200 n =2 0 10 20 0 30 Vg (V) 23.0 23.5 Vg (V) 24.0 K. von Klitzing, C. Probst and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980) e xy i 2 2 GaAs Al 0. 3Ga 0.7 As 10 n = 3.71011 cm2 T = 8 mK xy (k) 12 Основные экспериментальные вопросы: 0 = 3 8 0 = 4 6 4 0 = 8 0 = 6 1. Точность и воспроизводимость xy на плато 2. Относительная протяженность плато 3. Температурная зависимость xx на плато 1 1 4 2 GaAs Al xGa 1x As 3 11 3 +3 40 2 B (T) 4 6 ! GaAs Al xGa 1x As n = 2.41011 cm2 xy (k) 1 1 0 = 1 40mK 10 5 2 1 30 20 400 mK 105 mK 9 mK 1 0 2 2 3 4 +4 5 0.5 2 +2 xx (10 ) Rxx (k) 0 1.0 n = 3.210 cm 0.95K 0 0 = 2 10 B (T) 15 G.Ebert, K. von Klitzing, C.Probst, K.Ploog, Sol. State Comm.44, 95 (1982) 2 3 4 B (T) 5 6 S.Koch, R.J.Haug, K. von Klitzing , K.Ploog Phys. Rev. B 43, 6828 (1991) Идеальный 2D-слой Vg1 s s s E 3 F F 2 1 Vg3 Vg2 N= 4 (i )Vg e B mc F >3 = 3 < 3 ( m )Vg n es e 2 Bs (2r ) es 2c 2 1 B 0 Локализованный уровень в неидеальном 2D-слое Идеальный 2D-слой в состоянии изолятора (i )Vg Vg ( m) 2 2 sme 2 2aB s Все характерные длины случайного потенциала много больше ларморовского радиуса Поэтому электроны движутся по спиралям, навивающимся на эквипотенциали. Случайный двумерный длиннопериодный потенциал превращает плоскость = const в “холмистый пейзаж”. Уровень Ферми Уровень Ландау превращается в полосу. Состояния на краях полосы локализованы вдоль замкнутых эквипотенциалей, но в центре полосы обязательно есть протяженные состояния, расположенные вдоль эквипотенциалей, уходящих на бесконечность. Длиннопериодный случайный потенциал Oy _ _ A2 Ox A2 + + _ + _ _ A1 + _ _ A1 + + _ _ + + _ E=0 E Перколяционная сетка Неидеальный 2D-слой Vg Vg Vg s s N=2 Изменение концентрации носителей 1.5 F s E 2 1.5 < < 2 = 2 F F 1 N=1 Vg s Изменение магнитного поля Vg s N=2 B2B1 B1 N=1 s 2 E B3B2 1.5 < < 2 1.5 F Vg F F 1 = 2 3 a 1 b J12 A 5 xy V35 J12 Форма двумерной области между холловскими контактами несущественна Потенциал (или ток), приложенный извне Диск Корбино Квазиидеальная полоска с двумя контактами A ' V 1 2 V J 1 2 0 2 A Эквипотенциали (обычно вдоль них течет холловский ток) На плато e2 J12 , i V12 2 B e2 V12 J12 J i i 2 0 B ' Токи текут : либо по краевым каналам , либо вдоль эквипотенциалей под уровнем Ферми FN E d g ec h a n n e l V 1 2 A x На самом деле происходит распределение токов между краем и объемом в зависимости от рассеяния B ' VA 1 2 J 1 2 2 A 0 B ' B Температурная зависимость продольной проводимости в режиме квантового эффекта Холла (т.е. на плато) * xx exp , T 20 3 10 10 T (K) 5 4 3 Rxx () g () (109cm2meV1) B =7.85 T 30 7.75 25 7.66 20 102 10 * xx exp T 7.60 7.48 7.39 =2 7.35 7.43 7.31 7.23 7.27 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 T 1(K1) 7.54 g0 15 10 =2 5 0.35 0 6 5 4 3 2 1 0 (meV) GaAs – AlxGa1xAs E. Stahl, D. Weiss, G. Weimann, K. von Klitzing, K. Ploog, J. Phys. C 18, L783 (1985) Температурная зависимость продольной проводимости в режиме квантового эффекта Холла (продолж.) GaAs – AlxGa1xAs 4 3.5 3 1.5 1.2 10 xx () Режим Мотта 1 0.5 0.6 0.7 T 1/3 0.8 (K 1/3) 0.9 D.C. Tsui, H.L. Störmer, A.C. Gossard Phys. Rev. B 25 1405 (1982) 2.0 xxT (1 xxT2/3 (1 20 T (K) 2.5 2 T 1/3 (K1/3) 2.5 3.0 3.5 6 10 107 xxT 2/3 vs T 1/3 108 109 xxT vs T 1/2 Режим Эфроса Шкловского 1010 1011 2 3 6 5 4 T 1/2 (K1/2) 7 G.Ebert, K. von Klitzing, C.Probst, et al., Sol. State Comm.45, 625 (1983) Цепочки фазовых переходов = 5.5 4.5 3.5 12 2.5 8 6 xy (k) 10 4 200 xx () 6 4 7 5 2 3 2 0 100 0 0 1 1 2 2 B (T) 4 6 M.A. Paalanen, D.C. Tsui, A.C. Gossard, Phys. Rev. B 25, 5566 (1982) Всплывание уровней Д.Е. Хмельницкий, Phys. Lett. 106A, 182 (1984) xy xx () 2 e 1 xy i 2 2 rB2 c ne2 1 xx m 1 ()2 eB 2 2 m 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ) n (i 1 2 ) ( i 2 2 2 2rB2 ()2 Количество заполненных протяженных состояний (минизон Ландау) Эффективное количество состояний в каждой из минизон, у которой есть заполненное протяженное состояние При <~ 1 локализованные состояния верхних минизон «просачиваются» под протяженные состояния нижних минизон. Всплывание уровней (продолжение) В 2D-системах уровень Ферми пропорционален концентрации n. 2k F2 2 n Например, в идеальной 2D-системе без магнитного поля F 2m m Поэтому для i-того протяженного состояния E(i) i= 2 F E(i) 2 2 1 ( ) Ei n (i 12 ) m ()2 i i=1 i=0 0 1 2 3 4 5 Всплывание уровней (Эксперимент) 1.3 3.5 4 1.6 2 4 1.5 = 3 2 GaAs Al 0. 3Ga 0.7 As T = 25 mK 0 0 2.3 T 0 1.30 1.25 Vg (V) 4 B (T) 8 12 11 2 n (10 /cm ) Vg (V) 1.7 b) .5 1.6 =0.5 2.8 2.5 a) 1.0 1 1 Vg (V) 0 n (1011/cm2) 4.4 T 3 2 xx (e /2h) 3 2 = 2.5 11 n (10 cm ) 1.4 1.5 1.2 1.5 1.4 1.5 1.3 1.3 2 3 B (T) 4 1.20 I. Glozman, C.E. Johnson, and H.W.Jiang, Phys. Rev. Lett. 74, 594 (1995) 5 Всплывание уровней (Эксперимент) 5 i=4 i=3 i=2 3 Insulator n (1011cm2) 4 2 1 0 i=1 Insulator 0 2 4 B (T) 6 8 M. Hilke, D. Shahar, S.H. Song, D.C. Tsui, and Y.H.Xie, Phys. Rev. B 62, 6940 (2000) Двухпараметрический скейлинг i =0 2 2 i =0 /2 i=2 1 xx xx i =1 1 A0 0 1 = 1 C1 0.5 C2 A1 1 1.5 xy i= 2 i =1 0 a) b) C1 A2 2 A0 0 0.5 C2 A1 1 1.5 xy A2 2 xx (e2/2h) 1 0 5 7 9 B (T) 11 2 1108 1 xx(e /2h) 0 Q/e 1108 13 0 0 xy ( e / 2 h ) 2 1