Лекция 7 Основы теории электрических цепей Лекции профессора ЭЛТИ Юрия Петровича Усова 1510.09 1 Лекция 7 ТРАНСФОРМАТОР В ЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ Лекция 7 Трансформаторы предназначены для преобразования величин переменных напряжений и токов. Простейший трансформатор – это две индуктивно связанные катушки, помещенные на ферромагнитный сердечник (магнитопровод) Лекция 7 1 + u1 1’ i2 i1 w2 w1 Ф Ф – магнитный поток, Вб 2 + u2 2’ Лекция 7 В линейном режиме магнитопровод ненасыщен или отсутствует (воздушный трансформатор) При этом индуктивности и сопротивления катушек трансформатора постоянны Лекция 7 Передача энергии из одной катушки в другую осуществляется за счет взаимной индукции и ток i2(t) согласно правилу Ленца выбирает такое направление, что катушки будут включенными встречно Лекция 7 Если пренебречь потерями энергии в магнитопроводе, то тогда схема замещения трансформатора в линейном режиме будет следующей Лекция 7 Схема замещения: 1 + i1 * L1 u1 1’ М R1 * L2 R2 i2 2 + u2 2’ Лекция 7 Если u1 является напряжением источника, а u2 – напряжением на пассивной нагрузке, то тогда получаем Лекция 7 Уравнения по 2 закону Кирхгофа: di1 di2 u1 R1i1 L1 M dt dt di2 di1 0 u 2 R2i2 L2 M dt dt Лекция 7 Комплексная схема замещения: 1 U1 1’ I1 ZМ * Z1 I2 * Z2 2 U2 ZН 2’ Лекция 7 Уравнения по 2 закону Кирхгофа в комплексной форме: U 1 Z 1 I 1 Z M I 2 0 ( Z 2 Z н ) I 2 Z M I 1 где U2 ZН I2 Лекция 7 Из решения этих уравнений можно найти токи I1 и I2 Лекция 7 Векторная диаграмма при холостом ходе ( I2=0 ): 1 2 U1 jX М I 1 U 2 R1 I 1 2’ 1’ jX L1 I 1 I 1 I1e j 0 Лекция 7 Векторная диаграмма при сопротивлении нагрузки ZH=ZHejjH jH>0 Лекция 7 +j jX М I 1 U2 1’ 2’ 2 jX L2 I 2 R2 I 2 jн I2 +1 jX L1 I 1 R1 I 1 ( jX М ) I 2 U1 1 I1 Лекция 7 Схема замещения трансформатора без индуктивной связи: 1 + I 1 Z1 Z M Z2 ZM ZM U1 I2 2 + U2 I0 2’ 1’ I0 - ток намагничивания Лекция 7 Линейные цепи с гармоническими напряжениями и токами, содержащие трансформаторы, могут быть рассчитаны при помощи законов Кирхгофа или метода контурных токов в комплексной форме Лекция 7 Пример: I11 Z3 Е * I22 I3 ZM I2 I1 * I33 Z2 J Z1 + UJ ZH I11 Лекция 7 Дано: E , J , Z1 , Z2 , Z3 , ZH Определить: I1 , I2 , I3 , UJ Лекция 7 По методу контурных токов: I11=J I22(Z2+Z3) - I33ZM - I11Z3 = E - I22ZM + I33(Z1+ZH) + I110 = 0 Лекция 7 Далее находим: I1 = I11 I2 = I22 I3 = I22 – I11 UJ = E – Z3I3 Лекция 7 Резонанс в линейных цепях при гармонических напряжениях и токах Лекция 7 Резонанс – это такой режим пассивной цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором входные ток и напряжение совпадают по фазе 1510.09 24 Лекция 7 При резонансе цепь потребляет только активную мощность и входное сопротивление этой цепи будет вещественной величиной - R 1510.09 25 Лекция 7 Различают: резонанс напряжений; резонанс токов; резонанс в сложной цепи. 1510.09 26 Лекция 7 1. Резонанс напряжений Лекция 7 Резонанс напряжений – это резонанс при последовательно соединенных емкости и индуктивности 1510.09 28 Лекция 7 d Rк UR к U jX L UL катушка jX С c b UС UН RН a 1510.09 I а 29 Лекция 7 По закону Ома: U I Z вх Ie j( j) , (A) j где U Ue - входное напряжение 1510.09 30 Комплекс входного сопротивления цепи Лекция 7 Z вх (R к R н ) j(X L X C ) jj R jX Z вх e , где R Rк Rн , X XL XC , Zвх R2 X2 , 1510.09 (Ом) j arctgX . R 31 Лекция 7 Из определения резонанса j0 тогда 1510.09 X XL XC 0 32 Лекция 7 В результате при резонансе напряжений XL XC или 1 L 1510.09 C 33 Лекция 7 Другими словами – условие резонанса: LC 1 2f 2 1510.09 34 Лекция 7 Тогда X0 Z вх R j0 U j I e R 1510.09 35 Лекция 7 Тогда 2 U P R Q UI sin j 0 1510.09 36 Лекция 7 Тогда cos j 1 2 2 S P Q P 1510.09 37 Лекция 7 При этом UL UC I X L I XC U q 1510.09 38 Лекция 7 Если добротность X X C L q 1 R R 1510.09 39 Лекция 7 то U L U C U L , C (Ом) - характеристическое сопротивление 1510.09 40 Лекция 7 При резонансе напряжений входное сопротивление цепи будет минимальным, а ток будет максимальным 1510.09 41 Лекция 7 Векторная диаграмма при резонансе напряжений 1510.09 42 Лекция 7 +j UR к R к I Uн R н I b U I d Uк a +1 U C ( jX C )I U L jX L I c 1510.09 43 Лекция 7 Резонансные характеристики 1510.09 44 Лекция 7 I UL , UC UС I UL U резонанс 0 1510.09 Сp 1 UХ L UL Zк U I Zк UС 0 С 2L 45 Лекция 7 Резонанс напряжений используется в радиотехнике для усиления сигналов определенной частоты 1510.09 46 Лекция 7 и в электроэнергетике для увеличения активной мощности нагрузки генератора 1510.09 47 Лекция 7 Например RГ jX Г jX С RН EГ генератор 1510.09 I 48 Лекция 7 а) XС 0 ' Pн 1510.09 (С ) ' 2 (I ) R н 2 EгRн 2 (R г R н ) 2 Хг , (Вт ) 49 Лекция 7 б) XС XГ " Pн 1510.09 (резонанс ) " 2 (I ) R н 2 EгRн (R г R н ) 2 ' Pн , (Вт ) 50 Лекция 7 Примечание Если Rk=0, то тогда Zdb=jXL-jXC=0 - это идеальный резонанс напряжений 1510.09 51 Лекция 7 2. Резонанс токов Лекция 7 Резонанс токов – это резонанс при параллельно соединенных емкости и индуктивности 1510.09 53 Лекция 7 b Iк I IС U Rк UR к jX L UL jX С a 1510.09 54 Лекция 7 По закону Ома I U Y вх Ie j( j) , (A) j где U Ue - входное напряжение 1510.09 55 Лекция 7 Комплекс входной проводимости цепи Y вх 1 1 ( jX C ) (R к jX L ) j R к jX L X C (R к jX L )(R к jX L ) g jb Yвх е 1510.09 jj ,1 Ом 56 Лекция 7 Где g Rк 2 Rк , 2 ХL 1Ом - активная проводимость цепи 1510.09 57 Лекция 7 Где b bк bC ХL 1 2 , 2 Rк ХL ХС 1Ом - реактивная проводимость цепи 1510.09 58 Лекция 7 Где Yвх 2 2 g b , 1Ом - модуль входной проводимости цепи 1510.09 59 Лекция 7 Где b j arctg , g Град - угол сдвига фаз между 1510.09 Uи I 60 Лекция 7 Из определения резонанса j0 тогда 1510.09 b bк bC 0 61 В результате при резонансе токов Лекция 7 bк bC или XL 2 Rк 1510.09 2 XL 1 XC 62 Лекция 7 Тогда b0 I U ge 1510.09 j0 Y вх g j 63 Лекция 7 Тогда 2 PU g Q0 1510.09 cos j 1 SP 64 Лекция 7 При резонансе токов входная проводимость цепи и входной ток минимальны 1510.09 65 Лекция 7 Векторная диаграмма при резонансе токов 1510.09 66 Лекция 7 +j UR к b U IС UL jк a 1510.09 I +1 Iк Iк е j0 67 Лекция 7 Где Zк 2 Rк Iк U 2 ХL Zк U L Iк X L 1510.09 68 Лекция 7 Где UR к R к Iк XL jк arctg Rк IС U ХС 1510.09 69 Лекция 7 Резонансные характеристики 1510.09 70 Лекция 7 I IС Iк I 0 1510.09 Сp L С Z 2к 71 Лекция 7 Резонанс токов используется в радиотехнике для ослабления сигналов определенной частоты 1510.09 72 Лекция 7 и в электроэнергетике для уменьшения потерь энергии в проводах линии 1510.09 73 Лекция 7 Например Iн b I RЛ ~ IС U Rн jX С jX н 1510.09 a 74 Лекция 7 а) ' PЛ 1510.09 XС ' 2 (I ) R Л (С 0) 2 U RЛ R 2н Х 2н , (Вт ) 75 Лекция 7 б) " Pл XС R 2н X 2н Хн (резонанс) " 2 (I ) R л 2 1510.09 2 U R нR л 2 2 2 (R н Х н ) ' Pл Х 1 н Rн 2 Pл' , (Вт ) 76 Лекция 7 Примечание Если Rk=0, то тогда Zba=jXL(-jXC)/(jXL-jXC)= - это идеальный резонанс токов 1510.09 77 Лекция 7 3. Резонанс в сложной цепи Лекция 7 Резонанс в сложной цепи – это резонанс, отличающийся от резонансов напряжений и токов 1510.09 79 Лекция 7 Например с I jX L UL jX С U IR b IС UR R a 1510.09 80 Лекция 7 Комплекс входного сопротивления цепи Z вх R( jX C ) jX L R jX C jX L R( jX C )(R jX C ) 2 R 2 XС jj R вх jX вх Z вх e , 1510.09 (Ом) 81 Лекция 7 Где Rвх 2 R XC , 2 2 R XC (Ом) - активное сопротивление Xвх ХL 2 R XC , 2 2 R XC (Ом) - реактивное сопротивление 1510.09 82 Лекция 7 Где Zвх 2 Rвх 2 Xвх - полное сопротивление X j arctg вх 1510.09 Rвх 83 Лекция 7 При резонансе j0 и X вх 0 1510.09 84 Лекция 7 Тогда Z вх R вх 2 U P R вх 1510.09 U j I e R вх Q0 85 Лекция 7 Векторная диаграмма 1510.09 86 Лекция 7 +j I IС U a с IR U R R IR 1510.09 U L jX L I +1 b 87 Лекция 7 Где ( jXC ) IR I R jXC R IС I R jXC 1510.09 88 Лекция 7 Если R 2,5 X L , то X С 1,25 Х L и 1510.09 UR 5U 89 Лекция 7 Таким образом эта цепь в режиме резонанса может применяться для увеличения напряжения на нагрузке R 1510.09 90