уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Волновые
уравнения
Максвелла
Итак, переменное магнитное поле вызывает появление
вихревого электрического поля.
Переменное электрическое поле вызывает появление
магнитного поля.
Взаимно порождаясь, они могут существовать
независимо от источников заряда или токов, которые
первоначально создали одно из них. В сумме это есть
электромагнитное поле (ЭМП). Превращение одного поля
в другое и распространение в пространстве есть способ
существования ЭМП.
Конкретные проявления ЭМП – радиоволны, свет, гаммалучи и т.д.
В 1860 г. знаменитый английский физик Джеймс Клерк Максвелл
создал единую теорию электрических и магнитных явлений, в
которой он использовал понятие ток смещения, дал определение
ЭМП и предсказал существование в свободном
пространстве электромагнитного излучения, которое
распространяется со скоростью света.
Теорию ЭМП Максвелл сформулировал в виде
системы нескольких уравнений. В учении об
электромагнетизме эти уравнения Максвелла
играют такую же роль, как уравнения (или
законы) Ньютона в механике или I и II начала в
термодинамике.
Джеймс Клерк Максвелл
(1831-1879) английский физик, создатель
классической электродинамики, один из
основоположников статистической
физики.
Электромагнитное поле как следствие принципа относительности
Энштейна.
Принцип относительности (П.О.) Эйнштейна (сформулирован на основе опыта
Майкельсона, Физо и др.):
законы всех физических явлений, в том числе и
электромагнитных, имеют одинаковый вид (т.е.
описываются одинаковыми уравнениями) во всех
инерциальных системах отсчета.
Из принципа относительности вытекает, что раздельное рассмотрение
электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.
Заряды, неподвижные относительно одной системы координат, движутся
относительно другой и, следовательно, создают не только электрическое, но
и магнитное поле. Неподвижный проводник с постоянным током, I = const,
создает только магнитное поле. Но относительно других систем отсчета он
движется и, следовательно,
в любой точке пространства порождает

вихревое электрическое
B поле.
t
0
Основные положения теории электромагнитных явлений записываются в виде
системы уравнений – уравнения Максвелла. В электромагнетизме эти уравнения
играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или
I и II начала в термодинамике.
уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Первая пара уравнений:

 
B
rot E  
t


div B  0

Первое из этих уравнений является выражением
закона электромагнитной индукции.
Второе уравнение отражает свойство замкнутости
линий вектора (или уход их в бесконечность) или
отсутствие источников магнитного поля, т.е.
магнитных зарядов.
Вторая пара уравнений:



D
rot H  j 
t


div D


уравнение устанавливает связь между полным
током и порождаемым им магнитным полем.
уравнение показывает, что источниками вектора
служат сторонние заряды.

D
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Граничные условия.
Интегральная и дифференциальная формы уравнений Максвелла
эквивалентны, если все величины в пространстве и времени
изменяются непрерывно.
Если имеется поверхность разрыва, т.е. поверхность, на которой
свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная
форма уравнений является более общей.
Математическая эквивалентность обеих форм записи уравнений
Максвелла достигается введением граничных условий для
дифференциальной формы:


Dn1  Dn 2 ;


E 1  E 2 ;


Bn1  Bn 2 ;


H 1  H 2 .
Каждое из векторных уравнений с роторами эквивалентно трем
скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов
Ex E y
Bz


y
z
dt
уравнения Максвелла дополняются так
называемыми материальными уравнениями:


D   0 E


B   0 H


j  E
В скалярной форме уравнения Максвелла имеют следующий вид:
B
E z E y

 x
y
z
t
B y
E x E z


z
x
t
E y E x
B

 z
x
y
t









Dx 
H z H y

 jx 

y
z
t 
D y 
H x H z

 jy 

z
x
t 
H y H x
D 

 jz  z 
x
y
t 


D   0 E


B   0 H


j  E
Уравнения Максвелла можно записать и в интегральной форме:
Первое уравнение: циркуляция вектора напряженности электрического
поля вдоль замкнутого контура определяется скоростью изменения потока
вектора магнитной индукции через площадку, ограниченную этим контуром
(закон электромагнитной индукции).
d  
  
 E  dl   dt  B  dS
S
Г  
 B  dS  0
 S
Второе уравнение: поток вектора магнитной индукции через произвольную
замкнутую поверхность равен нулю.
Первое уравнение: циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна
сумме токов проводимости через площадку, ограниченную контуром, и
скоростью изменения потока вектора индукции электрического поля через
эту же площадку.
  d  
  
 H  dl   j  dS  dt  D  dS
Г
S
S
  
 D  dS     dV
 S
V
Второе уравнение: поток вектора магнитной индукции через замкнутую
поверхность определяется электрическим зарядом, находящимся внутри
этой поверхности.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Свойства уравнений Максвелла.
1. Уравнения Максвелла линейны. Свойство линейности уравнений
Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции:
если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям
Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.
2. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности,
выражающее закон сохранения электрического заряда.
3. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных
системах отсчета. Уравнения релятивистски инвариантны. Их
вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой, хотя величины в них преобразуются по
определенным правилам. Отдельное рассмотрение электрического
и магнитного полей имеет относительный смысл.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Свойства уравнений Максвелла.
4. Уравнения Максвелла не симметричны относительно
электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в
природе существуют электрические заряды, но не обнаружены
магнитные.
5. Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле
способно существовать самостоятельно – без электрических
зарядов и токов. Изменение состояния этого поля имеет волновой
характер. Поля такого рода называют электромагнитными
волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью,
равной скорости света. Этот вывод и теоретическое исследование
электромагнитных волн привели Максвелла к созданию
электромагнитной теории света, в соответствии с которой свет
также представляет собой электромагнитные волны.
Уравнение электромагнитной волны
Электромагнитное поле не стоит на месте, а распространяется в пространстве.
Этот процесс является периодическим и носит волновой характер.
На основе уравнений Максвелла можно получить волновое уравнение э/м волны:
E
H

  0
(1)

x
t

H
E
 0
(2) 

x
t
уравнения Максвелла для плоской гармонической
электромагнитной волны, когда токи и заряды
отсутствуют
Решение этих уравнений и составляют искомое уравнение волны
Дифференцируя (1) по х и (2) по t, получаем:
2H
2E
 a 2
xt
t
 E
 H
 a
2
xt
x
2
2
 E
 E
  a a 2
2
x
t
2
2
 a  0
E
H

  0
(1)

x
t
 Аналогично дифференцируем (1) по t и (2) по х:
H
E
 0
(2) 

x
t
2H
2E
 a
2
x
xt
 E
 H
 a 2
xt
t
2
2
2H
2H
  a a 2
2
x
t
Это общее дифференциальное уравнение волны
Если изменение величины S отвечает уравнениям:
то это означает, что величина S
распространяется в виде волны со скоростью v.
2S
1 2S
 2 2
2
x
v t
Таким образом, можно написать:
 H 1  H

2
2
2 
x
v t 

2
2
 E 1  E 

2
2
2 
x
v t 
2
2
Дифференциальное
уравнение плоской
гармонической
электромагнитной волны
Фазовая скорость ЭМВ определяется выражением
1
υ
ε 0μ 0
1
c

εμ
εμ
1
где c 
– скорость света в вакууме;
ε 0μ 0
12
1
ε 0  8,85418782  10 Ф  м
μ 0  1,256637061  10 6 Гн  м 1
8
1
с  2,99792458  10 м  с
В
веществе
скорость
распространения
электромагнитных возмущений меньше в n  εμ
раз.
Скорость распространения электромагнитных волн
в среде зависит от ее электрической и магнитной
проницаемостей. Величину n  εμ называют
абсолютным показателем преломления. С
учетом последнего имеем:
1
υ
μ 0ε 0
1
c

με n
c
и n
υ
Следовательно, показатель преломления есть
физическая величина, равная отношению скорости
электромагнитных волн в вакууме к их скорости в
среде.
Решением дифференциальных уравнений является гармоническая функция:
E = Em·sinω(t-x/v) = Em·sin(ωt-kx)
E  E0 sin( t  kx   )
H = Hm·sinω(t-x/v)

k
– волновое число, ω – круговая частота,

φ – начальная фаза колебаний в точках с
координатой x  0,
υ – фазовая скорость.
Таким образом:
  
• векторы E Η υ взаимно перпендикулярны, т. к.

k и υ направлены одинаково;
• электромагнитная волна является поперечной;
• электрическая и магнитная составляющие
распространяются в одном направлении;
 
• векторы E Η колеблются в одинаковых фазах.
и их величины связаны соотношением.
√εа·E = √μа·H (√ε√ε0·E = √μ√μ0·H)
Энергия электромагнитного поля.
Энергия электромагнитного поля складывается из энергии его электрической

и магнитной составляющих. Так как колебания векторов E и H происходят
в фазе, для мгновенных значений объемной плотности энергии
электромагнитного поля получаем:
wэм  wE  wH 
aE
2
2

a H
2
2
или
1  
wэм  ( ED  BH )
2
(масса единичного объема электромагнитного поля равна w =mc2, a m = w/c2).
Модуль плотности потока энергии волны можно получить, умножив объемную
плотность энергии на скорость волны v:
 a a
U  wэм  v 
EH  Em H m sin 2 (t  x / v)
 a a
Плотность потока энергии –это вектор, совпадающий с направлением
вектора скорости волны, т.е. перпендикулярный векторам и . В случае
В случае электромагнитных волн он называется вектором УмоваПойнтинга. Его можно представить как векторное произведение U =
Длина волны связана с периодом Т (или частотой ν=1/Т) колебаний:
  V T 
V
в вакууме

  c T 
c

В соответствии с условиями возбуждения и свойствами излучения ЭМ волны
делятся по частоте (или длине волны) на несколько диапазонов, составляющих
шкалу ЭМ волн: радиоволны, оптическое излучение, рентгеновское излучение,
γ- излучение.
Частоты видимых световых волн лежат в пределах: λ = 760 – 380 нм. Действуя
на глаз, видимое излучение вызывает ощущение света.
Излучение может быть
Монохроматическим (простым)
называют излучение какой-либо
одной длины волны.
Сложным - излучение,
состоящее из волн различной
длины, называется
Любой цвет можно разложить на сумму основных (или базовых) 3 цветов :
красный, зеленый, синий соответствующей яркости
Свет, содержащий все волны видимого диапазона в определенном
соотношении по интенсивности – белый свет.
Шкала ЭМВ
В оптике условно рассматривается три области:
Длина волны (λ) < размеров приборов;
геометрическая оптика.
λ сравнима с размеров приборов;
волновая оптика.
λ < размеров приборов;
квантовая оптика.
Длина
Название
Частота
более 100 км
Низкочастотные электрические колебания
0 – 3 кГц
100 км – 1 мм
Радиоволны
3 кГц – 3 ТГц
100 – 10 км
сверх низкие частоты
3 – 3-кГц
10 – 1 км
километровые (низкие частоты)
30 -– 300 кГц
1 км – 100 м
гектометровые (средние частоты)
300 кГц – 3 МГц
100 – 10 м
декаметровые (высокие частоты)
3 – 30 МГц
10 – 1 м
метровые (очень высокие частоты)
30 – 300МГц
1 м – 10 см
дециметровые (ультравысокие)
300 МГц – 3 ГГц
10 – 1 см
сантиметровые (сверхвысокие)
3 – 30 ГГц
1 см – 1 мм
миллиметровые (крайне высокие)
30 – 300 ГГц
1 – 0.1 мм
децимиллиметровые (гипервысокие)
300 ГГц – 3 ТГц
2 мм – 760 нм
Инфракрасное излучение
150 ГГц – 400 ТГц
760 – 380 нм
Видимое излучение (оптический спектр)
400 - 800 ТГц
380 – 3 нм
Ультрафиолетовое излучение
800 ТГц – 100 ПГц
10 нм – 1пм
Рентгеновское излучение
30 ПГц – 300 ЭГц
<10 пм
Гамма-излучение
>30 ЭГц
Распространение света
фронт волны - поверхность, отделяющая часть пространства уже
вовлеченного в волновой процесс от области, в которой колебания еще не
начались
волновые поверхности – геометрическое место точек, в которых вектор
имеет одинаковую фазу

E
Волновой фронт – один, а волновых поверхностей может быть бесконечное
множество.
r =cΔt
плоский фронт
r=cΔt
сферический
фронт
Световыми лучами называют
линии, вдоль которых
распространяется световая
энергия. Вектор Умова-Поинтинга касательная к лучу.
Если известны форма и
положение фронта световой
волны в момент времени t, то
фронт волны в последующие
моменты времени t +Δt можно
найти по принципу Гюйгенса:
Принцип Гюйгенса
Каждая точка, до которой доходит световое
возбуждение, является в свою очередь
центром вторичных волн; поверхность,
огибающая в некоторый момент времени
эти вторичные волны, указывает положение
к этому моменту фронта действительно
распространяющейся волны.
Показатель преломления
c1 Δ
t
A
i1
A’
i1
B
i2
c2Δt
B’
C1
C2
i2
Отсюда ∟ АА’В=∟i1
Аналогично ∟ А’ВВ’=∟i2
Пусть плоская волна падает на границу двух сред,
где скорости света С1 >С2. Для нахождения законов
отражения и преломления применим принцип
Гюйгенса: построим огибающую элементарных волн.
АВ = С1·Δt; А’В’= С2·Δt. В изотропной среде лучи
перпендикулярны к волновым поверхностям.
как углы со взаимоперпендикулярными сторонами
c1 t
sin i1 
BA
sin i2 
sin i1 c1

sin i2 c 2
Сопоставление с известным из геометрической оптики
законом:
c2 t
BA
sin i1
 n12
sin i2
где n12 –относительный показатель преломления второго вещества по
отношению к первому, дает
c1
 n12
c2
Если в качестве среды 1 брать вакуум, то
-абсолютный показатель
c0
 n1 преломления данной
c1
среды

n
   
 0 0
По абсолютным показателям преломления двух сред
c0
 n1
c1
c0
 n2
c2
можно найти их относительный показатель преломления:
c1 n2
n12 

c2 n1
Явление полного внутреннего отражения.
При переходе света из оптически более плотной среды
в оптически менее плотную среду (n1>n2) угол
преломления γ будет больше угла падения α.
С увеличением угла α, при некотором α = α0 можно получить γ=π/2, т.е.
преломленный луч будет скользить по поверхности раздела сред. Угол
падения, удовлетворяющий условию sinα0 = n2/n1, при котором γ=π/2 ,а
sinγ=1, называется предельным углом падения.
При α > α0 луч не преломляется, а полностью отражается обратно в первую
среду. Это называется полным внутренним отражением.
При n1<n2, то γ< α и даже при α=π/2, γ< π/2)
γ
β
Поглощение света.
При прохождении волны через вещество электрические заряды в атомах и
молекулах при действии переменного вектора совершают вынужденные
колебания с той же частотой. При этом частицы среды сами становятся
вторичными излучателями ЭМ волн, которые распространяются по
различным направлениям.
Казалось бы рассеяние должно быть всегда и большое. Но прозрачные
среды почти не рассеивают света, т.к. вторичные волны являются
когерентными и вследствие интерференции взаимно гасят друг друга по
всем направлениям, кроме направления распространения.
Однородность среды важна, т.к. для полного гашения необходима не
только когерентность, но и равенство интенсивностей интерферирующих
волн.
Особенно сильно рассеивается свет в так называемых мутных средах
(молоко, туман, суспензии, эмульсии).
1) интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна λ4 (или
пропорциональна четвертой степени частоты) –закон Релея: I=const/λ4. Рассеяние
света по закону Релея имеет место при λ>>а, где а – параметр, характеризующий
линейные размеры рассеивающих частиц.
2) интенсивность рассеянного света различна в различных направлениях и
вычисляется по формуле: : где Iа- интенсивность рассеянного света в направлении,
составляющем угол α с направлением проходящего света.
1
I a  I max (1  cos 2  )
2
Свет, рассеянный на частицах, размер которых намного меньше λ, частично
поляризован. Потому что колебания электронов, вызванные рассеиваемым пучком,
происходят в перпендикулярной к пучку плоскости.
3) Свет, рассеянный под углом α=π/2 к направлению луча, плоскополяризован. При
α≠π/2 –свет будет частично поляризован.
Луч, проходя через мутный раствор, сбоку кажется голубоватым, а спереди –
розоватым. В атмосфере рассеяние происходит за счет флуктуаций плотности среды.
Его интенсивность небольшая ≈3·10-7. Молекулярным рассеянием объясняется
голубой цвет неба. Утром и вечером мы видим проходящие лучи, которые из-за
рассеяния голубой части спектра окрашены в красный цвет.