МОНИТОРИНГ СОСТОЯНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ ЭНТРОПИИ А.Н. Тырсин1, О.В. Ворфоломеева2 1 – НИЦ «Надежность и ресурс больших систем и машин» УрО РАН, г. Екатеринбург 2 – Челябинский государственный университет, г. Челябинск Роль энтропии в сложных, открытых системах Пригожин И.Р.: бифуркация – переломный момент в развитии системы: выбор из нескольких новых состояний; бифуркации провоцируются изменением управляющего параметра системы, возрастанием энтропии. Преодоление точки бифуркации сопровождается снижением энтропии, самоорганизацией. Климонтович Ю.Л.: существует «норма хаотичности» (уровень энтропии) для нормального функционирования системы; отклонения от нормы означают «болезнь». Если «лечение» приближает состояние открытой системы к норме, имеет место процесс самоорганизации. ------------------------------------------------------------------- Энтропия характеризует функционирование системы. 2 S -многомерная случайная величина Y (Y1 , Y2 , .., Ym ) Если случайный вектор Y имеет многомерное нормальное распределение, то m 1 H (Y ) H (Yi ) ln R 2 i 1 3 Энтропийно-вероятностная модель Система и ее составляющие: Энтропийновероятностная модель позволяет выделить элементы сложной системы и связи между ними в качестве отдельных переменных Y2 rY1Y2 H(Y2) rY2Y3 rY1Y3 Y1 Y3 H(Y1) H(Y3) rY2Y5 rY1Y5 rY2Y4 rY3Y5 Y5 rY1Y4 rY3Y4 Y4 H(Y5) rY5Y4 H(Y4) точки роста 4 Утверждение 1. Пусть X1, X2 – две непрерывные случайные величины с конечными дисперсиями, определенные на всей числовой оси, и описываемые однотипными распределениями. Тогда 2 2 H ( X 2 ) H ( X 1 ) ln ln 1 1 12, 22, 1, 2 – дисперсии и параметры масштаба случайных величин X1 и X2. 5 Пример 1. 1) Для нормально распределенных случайных величин X1 и X2 с дисперсиями 12 и 22 разность энтропий равна H ( X 2 ) H ( X 1 ) ln( 2 2e ) ln( 1 2e ) ln 2 1 2) Для экспоненциально распределенных случайных величин X1 и X2 с параметрами масштаба 1, 2 разность энтропий равна H ( X 2 ) H ( X 1 ) ln( 2 e) ln( 1e) ln( 2 e) ln( 1e) ln 2 1 3) Рассмотрим случайные величины X1 и X2, распределенные по 2 1 логнормальному закону с параметрами масштаба 1 e , 2 e и параметром формы s. Энтропия для логнормального закона с параметрами масштаба и формы s равна 2H ( X ) 2 ln( s 2e ) 2 s 2 s С учетом того, что дисперсия равна (e 1) e , получим H ( X 2 ) H ( X 1 ) ln( s 2 2e ) ln( s1 2e ) ln 2 ln 2 1 1 6 Утверждение 2. Пусть имеем две системы непрерывных случайных величин Y (1) (Y1(1) , Y2(1) ,..., Ym(1) ) и Y ( 2) (Y1( 2) , Y2( 2 ,..., Ym( 2) ) Тогда разность совместных энтропий систем случайных величин равна m Y k 1 Y H (Y) H (Y ) H (Y ) ln ( 2) (1) ( 2) k (1) k m 1 RY2( 2 ) / Y ( 2 ) ...Y ( 2 ) 1 1 k k 1 ln 2 k 2 1 RY2(1) / Y (1) ...Y (1) k 1 k 1 7 где Y ( j ) / Y ( j ) ...Y ( j ) Y ( j ) 1 R k 1 2 Yk( j ) / Y1( j ) ... Yk(j1) R k 1 k 2 Yk( j ) / Y1( j ) ...Yk(j1) коэффициенты детерминации соответствующих зависимостей k 2, 3, ..., m j 1, 2 8 Обозначив m H (Y) Σ ln k 1 Y (2) k Y (1) k m 1 RY2( 2 ) / Y ( 2 ) ...Y ( 2 ) 1 1 k k 1 H (Y) R ln 2 k 2 1 RY2(1) / Y (1) ...Y (1) k 1 k 1 представим систему как H (Y) H (Y) Σ H (Y) R где H (Y) Σ , H (Y) R приращения энтропии за счет изменений дисперсий и корреляций случайных величин . 9 Анализ энтропийно-динамической модели в экономике В основе практического применения энтропийно-динамической модели в экономике лежат следующие идеи: Гипотеза: Поведение системы можно считать стохастическим Формирование системы признаков с помощью факторного анализа Мониторинг состояния системы в динамике (анализ изменения энтропии) 10 Пример 2. Рассмотрим перечень макроэкономических показателей из раздела «Основные социальноэкономические показатели РФ» ежегодно издаваемых Государственным комитетом по статистике РФ сборников «Россия в цифрах» с 2000 по 2011 годы. На основе факторного анализа было установлено, что исходная система представима в виде трех факторов (главных компонент) Y (Y1 , Y2 , Y3 ) которые объясняют 93,2% всей вариации исходных признаков. Фактор: Y1 – национальное богатство, фактор Y2 – дефицит (профицит) бюджета с учетом курса национальной валюты и уровня безработицы в стране, фактор Y3 – индекс цен производителей промышленности. 11 Проведем далее сравнительный анализ поведения макросистемы в двух периодах (до 2005 года включительно и после) на основе анализа энтропии случайного вектора. Тогда получим H (Y) H (Y) Σ H (Y) R 1,172 1,084 2,256 Данный результат может свидетельствовать об ухудшении в целом макроэкономических показателей во втором периоде, вызванным экономическим кризисом в сопоставлении с тем, что первый период характеризовался ростом экономического развития страны. 12 Анализ изменения каждой из компонент показывает о том, что на рост энтропии хаотичности в наибольшей степени повлиял второй элемент системы (Y2), а на увеличение энтропии самоорганизации – ослабление взаимодействия между компонентами Y1 и Y2. 13 Выводы: Предложено энтропийное моделирование динамики стохастических систем. В его основе лежит представление системы в виде случайного вектора, каждая из компонент которого представляет собой непрерывную случайную величину. Данный подход позволяет решать задачи мониторинга состояния стохастических систем в экономике. Энтропийно-динамическая модель не показывает количественное изменение исследуемых параметров, но дает более глубокую оценку влияния этого изменения. Например, если известно, что какое-либо среднее значение количественного показателя понизилось, то с помощью энтропийно-динамической модели можно ответить было ли это понижение равномерным и организованным. Энтропийно-динамическая модель исследует систему комплексно. Результаты могут быть получены как по отдельным элементам системы, так и по всей системе в целом, что практически невозможно проанализировать при количественной оценке показателей системы. 14