Лекция 14-2

ФИЗИКА
Электричество и магнетизм. Колебания и волны
к. пед.н., доцент Полицинский Е.В.
Полицинский Е.В.
LOGO
Рассматриваем следующие вопросы:
1
Вычисление разности потенциалов по
напряжённости поля
2
Проводники и диэлектрики в
электрическом поле
3
Поляризация
4
Теорема Гаусса для электростатического
поля в диэлектрике
5
Условия на границе раздела двух
диэлектрических сред
Полицинский Е.В.
LOGO
Вычисление разности потенциалов по напряжённости поля
1. Поле бесконечно заряженной плоскости:

d   Edx, E 
,
2  0
x2
x2
x1
x1
1  2   Edx  


dx 
 ( x2  x1 ).
2  0
2  0
Таким образом, разность потенциалов между точками на расстоянии
x1 и x2 от плоскости:

(40).
1  2 
 ( x2  x1 )
2  0
2. Поле двух бесконечных параллельных разноимённо заряженных
плоскостей:
d
d
d   Edx, E 



, 1  2   Edx   dx   d .

0
2  0
0
0 0
Таким образом,
расстоянием d:
разность
потенциалов
1  2 

d
0
между
плоскостями
(41) .
с
Полицинский Е.В.
LOGO
3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности с зарядом q:
d   Edr , E 
r2
1  2  
r1
Таким образом,
1  2 
1
4   0
1
4   0


Q
r2
(r  R); E  0 (r  R)
Q
Q
1 1
dr 
(  )
2
r
4     0 r1 r2
Q
1 1
 (  ) (r1  R, r2  R r2  r1 )
4     0 r1 r2
(42).
Потенциал поля
вне сферической
Потенциал
поля вне поверхности:
сферической поверхности:

1
4   0

Q
r
(43).
Здесь в формуле (42) приняли r1  r и r2  .
Внутри сферической поверхности потенциал
всюду одинаков и равен потенциалу
поверхности (рис. 22):
Рис. 27. Зависимость  (r)для сферической
поверхности с зарядом q

Q
4   0  R
(44).
Полицинский Е.В.
LOGO
4. Поле объёмно заряженного шара радиусом R и зарядом Q.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях r1 и r2
от центра шара:
1  2 
Q
1 1
 (  ) (r1  R, r2  R r2  r1 )
4     0 r1 r2
1  2 
Q
 (r22  r12 ) (r1  R, r2  R r2  r1 )
3
8   0R
(45).
Разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на
расстояниях r1 и r2 от центра шара:
(46).
5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра
радиусом R:
d   Edr , E 
1


2   0 r
(r  R);

dr

r2
1  2   Edr 

ln
.
2     0 r r 2     0 r1
r
r2
r2
1
1
Таким образом, разность потенциалов между точками, лежащими на
расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра:
1  2 

r
ln 2
2     0 r1
где τ – линейная плотность заряда.
(r1  R, r2  R r2  r1 )
(47),
Полицинский Е.В.
Полицинский Е.В.
LOGO
Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Вещество, внесенное в электрическое поле, может существенно изменить его. Это
связано с тем, что вещество состоит из заряженных частиц. В отсутствие внешнего поля
частицы распределяются внутри вещества так, что создаваемое ими электрическое
поле в среднем по объемам, включающим большое число атомов или молекул, равно
нулю. При наличии внешнего поля происходит перераспределение заряженных
частиц, и в веществе возникает собственное электрическое поле.
Полное электрическое поле
складывается в соответствии с принципом
суперпозиции из внешнего поля и внутреннего поля
создаваемого заряженными
частицами вещества.
Вещество многообразно по своим электрическим свойствам. Наиболее широкие
классы вещества составляют проводники и диэлектрики.
Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов (электронов),
которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему
проводника. Типичные проводники – металлы.
В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный
свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки.
Полицинский Е.В.
LOGO
В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение
свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают
нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды (рис. 28). Этот
процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности
проводника заряды – индукционными зарядами.
Индукционные заряды создают своё
собственное поле
которое компенсирует
внешнее поле
во всем объеме
проводника:
(внутри
проводника).
Полное электростатическое поле внутри
проводника равно нулю, а потенциалы во
всех точках одинаковы и равны потенциалу
на поверхности проводника.
Рис. 28. Электростатическая индукция
Все внутренние области проводника, внесенного в электрическое поле, остаются
электронейтральными.
LOGO
Полицинский Е.В.
LOGO
Если удалить некоторый объем, выделенный внутри проводника, и образовать пустую
полость, то электрическое поле внутри полости будет равно нулю. На этом основана
электростатическая защита – чувствительные к электрическому полю приборы для
исключения влияния поля помещают в металлические ящики (рис. 29).
Если поместить проводник во внешнее
электрическое поле и его зарядить, то на
заряды проводника будет действовать
электростатическое поле, в результате чего
они начнут перемещаться до тех пор, пока
не
установится
равновесное
распределение зарядов, при котором
электростатическое
поле
внутри
Рис. 29. Электростатическая защита
проводника обращается в ноль E  0 .
( поле в металлической полости равно нулю)
Иначе, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы
упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что
противоречит закону сохранения энергии.
Полицинский Е.В.
LOGO
Следствия этого :
•потенциал во всех точках проводника одинаков;
•поверхность проводника является эквипотенциальной;
•вектор направлен по нормали к каждой точке поверхности;
•при помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободные заряды
(электроны и ионы) начнут перемещаться: положительные по полю, а отрицательные
против поля (рис. 30). На одном конце проводника будет избыток положительных
зарядов, на другом – отрицательных.
Процесс будет продолжаться до тех пор,
пока
напряжённость
поля
внутри
проводника не станет равна нулю, а
линии напряжённости вне проводника –
перпендикулярными его поверхности
(рис. 31).
Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то некомпенсированные заряды

располагаются только на поверхности проводника, причём D=σ и E     .
0
LOGO
Полицинский Е.В.
LOGO
Электростатическое поле в диэлектрической среде
Диэлектрики – вещества, не проводящие электрического тока.
Диэлектрик, как и всякое другое вещество, состоит из атомов и молекул, каждая из
которых в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды
ядер молекул суммарным зарядом +q, находящихся в, так сказать, «центре тяжести»
положительных зарядов, а заряд всех электронов – суммарным отрицательным
зарядом -q, находящимся в «центре тяжести» отрицательных зарядов, то молекулы
можно рассматривать как электрические диполи с электрическим моментом.
Различают три типа диэлектриков:
1. Диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которых в
отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент
(например N 2 , H 2 , O2 , CO2 ).
2. Диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии
имеют ненулевой дипольный момент (например H 2O, SO2 , CO ).
3. Ионные диэлектрики (например NaCl , KCl ). Ионные кристаллы представляют собой
пространственные решётки с правильным чередованием ионов разных знаков.
Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению
отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика.
LOGO
Полицинский Е.В.
LOGO
Поляризация – процесс ориентации диполей или появления под воздействием
внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.
Существует три типа поляризации:
1. Электронная (деформированная).
Поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в
возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счёт
деформации электронных орбит (рис. 32, 33).
Рис. 32. Поляризация диэлектрика
с неполярными молекулами
Рис. 33. Поляризация неполярного диэлектрика
2. Ориентационная (дипольная).
Поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации
имеющихся дипольных моментов молекул по полю.
Полицинский Е.В.
LOGO
Тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате
совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение)
возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта
ориентация тем сильнее, чем больше напряжённость электрического поля и ниже
температура (рис. 34, 35).
Рис. 34. Поляризация диэлектрика с полярными молекулами
Рис. 35. Ориентационный механизм поляризации полярного диэлектрика
3. Ионная.
Поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решётками, заключающаяся в
смещении подрешётки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных – против
поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.
Полицинский Е.В.
Полицинский Е.В.
LOGO
Поляризованность
Поместим пластинку из однородного диэлектрика во внешнее электрическое поле,
созданное двумя бесконечными параллельными разноимённо заряженными
плоскостями. Во внешнем электрическом поле диэлектрик объёмом V поляризуется, т.е.
приобретает дипольный момент:
pV   pi ,
i
p i – дипольный момент одной молекулы.
где
Для количественного описания поляризации диэлектрика используется векторная
величина – поляризованность – которая определяется как дипольный момент одной
молекулы:
pV 
P
 i
V
V
где V – объём диэлектрика;
p i – дипольный
pi
(48),
момент молекулы.
В случае изотропного диэлектрика, при не слишком больших (за исключением
сегнетоэлектриков) поляризованность линейно зависит от напряжённости внешнего
поля:
P    0  E
(49),
где  – диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика
(безразмерная величина, как правило, составляет несколько единиц).
Полицинский Е.В.
LOGO
Диэлектрическая проницаемость среды
Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные
заряды, которые называются связанными (в отличие от свободных зарядов, которые
создают внешнее поле). Поле внутри диэлектрика, создаваемое связанными зарядами,
направлено против внешнего поля, создаваемого свободными зарядами (рис. 36).
Результирующее поле внутри диэлектрика: E = E0 – E|. В нашем примере поле,
создаваемое двумя бесконечно заряженными плоскостями с поверхностной плотностью
σ/: E    .
Поэтому E  E    .
|
|
|
0
0
0
Полный
дипольный
момент
диэлектрической
пластинки с толщиной d и площадью грани S:
pV  P V  P  S  d ,
с другой стороны
pV  q  d   |  S  d .
Отсюда  |  P.
E  E0 
 0  E
|
P
 E0   E0 
;
0
0
0
E  E0    E.
Откуда напряжённость результирующего поля внутри
диэлектрика равна:
Рис. 36. Поляризация диэлектрика
E
E0
E
 0
1 

(50).
Полицинский Е.В.
LOGO
Безразмерная величина
  1  
E0
E
(51)
называется диэлектрической проницаемостью среды. Она характеризует способность
диэлектриков поляризовываться в электрическом поле и показывает, во сколько раз
поле ослабляется диэлектриком.
Электрическое смещение
Напряжённость электростатического поля зависит от свойств среды (от ε). Кроме того,
вектор напряжённости E , переходя через границу диэлектриков, претерпевает
скачкообразное изменение, поэтому для описания (непрерывного) электрического
поля системы зарядов с учётом поляризационных свойств диэлектриков вводится
вектор электрического смещения (электрической индукции), который для изотропной
среды записывается как:
D   0    E   0  (1   )  E   0  E  P
(52).
Единица электрического смещения – Кл/м2.
Вектор описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в
вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии
диэлектрика.
Полицинский Е.В.
LOGO
Аналогично линиям напряжённости можно ввести линии электрического
смещения. Через область поля, где находятся связанные заряды, линии
вектора D проходят не прерываясь.
Для произвольной замкнутой поверхности
поверхность
ФD 
S поток вектора сквозь эту
 D  d S   D dS
n
S
(53),
S
где Dn – проекция вектора D на нормаль n к площадке dS.
Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:
поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых
внутри этой поверхности свободных электрических зарядов.
n
(54).
 D  d S   DndS   qi
S
i 1
S
Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объёмной плотностью   dq / dV :
(55),
 D  d S     dV
S
или
divD   .
V
Полицинский Е.В.
LOGO
Условия на границе раздела двух диэлектрических сред
При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядов, циркуляция вектора
по контуру:
 Edl  0,  E 1  E 2  0; E 1  E 2 (рис. 37).
ABCDA
Учитывая, что D     0  E , D 1  1
D 2
Рис. 37. Контур на границе раздела
двух диэлектриков
Рассмотрим границу раздела двух однородных изотропных
диэлектриков при отсутствии на ней свободных зарядов (рис.
38).
По теореме Гаусса поток вектора D через цилиндр ничтожно
малой высоты равен нулю (нет свободных зарядов).
Dn1∙∆S – Dn2∙∆S = 0  Dn1= Dn2.
Рис. 38. Граница раздела диэлектриков
Учли, что
2
(56).
Dn1   0  1  En1; Dn 2   0   2  En 2 .
En1

 2
En 2
1
(57).
Полицинский Е.В.
LOGO
Сегнетоэлектрики – диэлектрики, обладающие в определённом интервале температур
спонтанной (самопроизвольной) поляризованностью, т.е. поляризованностью в
отсутствие внешнего электрического поля. Примеры: Сегнетова соль NaKC4 H 4O6  4 H 2O ;
титан бария BaTiO3 .
В отсутствие внешнего электрического поля сенетоэлектрик – как бы мозаика из
доменов – областей с различными направлениями поляризованности P ( направление
P на примере титана бария показано на рисунке (рис. 39) стрелами и знаками ,  ).
Рис. 39. Направления P в диэлектрике
В смежных доменах эти направления различные, и
дипольный момент диэлектрика равен нулю. Во внешнем
поле происходит переориентация дипольных моментов
сегнетоэлектрика по полю, а возникшее при этом
суммарное поле доменов будет поддерживать их
некоторую ориентацию и после прекращения действия
внешнего поля. Поэтому сигнетоэлектрики имеют
аномально
большие
значения
диэлектрической
проницаемости (для сегнетовой соли, например εmax
104).
Полицинский Е.В.
LOGO
Точка Кюри – определённая температура для каждого сегнетоэлектрика, выше которой
он становится обычным диэлектриком.
Сегнетоэлектрики имеют одну точку Кюри (исключение – сегнетова соль (-18 и
+24оС)). Вблизи точки Кюри наблюдается резкий рост теплоёмкости вещества.
Превращение сегнетоэлектрика в обычный диэлектрик сопровождается фазовым
переходом II рода.
Петля гистерезиса
Для сегнетоэлектриков связь между поляризованностью P и напряжённостью
E нелинейная и зависит от значений E в предыдущие моменты времени. С увеличением
E внешнего поля P растёт, достигая насыщения (кривая 1, рис. 40). Уменьшение P с
уменьшением E происходит по кривой 2, и при E = 0 сегнетоэлектрик сохраняет
остаточную поляризованность Pос.
Чтобы её уничтожить, надо приложить электрическое
поле обратного направления (-Eс). Eс – коэрцитивная
сила. Если E изменять далее, то P изменяется по кривой
3 петли гистерезиса.
Рис. 40. Зависимость Р(Е) для сегнетоэлектриков