Лекция32

27.3. Переменный
ток
Рассмотренные
установившиеся
вынужденные
электромагнитные колебания можно рассматривать как
протекание в цепи, содержащей резистор, катушку
индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный
ток можно считать квазистационарным, т. е. для него
мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи
практически одинаковы, так как их изменения происходят
достаточно медленно, а электромагнитные возмущения
распространяются по цепи со скоростью, равной скорости
света. Для мгновенных значений квазистационарных токов
выполняются закон Ома и вытекающие из него правила
Кирхгофа, которые будут использованы применительно к
переменным токам (эти законы уже использовались при
рассмотрении электромагнитных колебаний).
Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в
цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и
конденсатор, при приложении к ней переменного напряжения
U = Um cos ωt, (27.26.1)
где Um - амплитуда напряжения.
27.3.1. Переменный ток, текущий через резистор
сопротивлением R (L  0, С  0) (рис. 27.5, а). При
выполнении условия квазистационарности ток через резистор
определяется законом Ома:
I = U/R = (Um/R) cos ωt = Im cos ωt,
где амплитуда силы тока Im = U/R.
Для наглядного изображения соотношений между
переменными
напряжениями воспользуемся
Рис. 27.5.
методом
векторных
диаграмм. На рис. 27.5,б
дана векторная диаграмма
амплитудных значений тока
1т и напряжения Um на
резисторе (сдвиг фаз между
1т и Um равен нулю).
27.3.2. Переменный ток, текущий через катушку
индуктивностью L (R  0, С  0) (рис. 27.6, а). Если в цепи
приложено переменное напряжение (27.3.1), то в ней потечет
переменный ток, в результате чего возникнет
э. д. с.
самоиндукции
dI
  L .
dt
Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет
dI
вид
U cos t  L
0
m
откуда
dt
dI
L  U m cos t
dt
,
Так как внешнее напряжение приложено
к катушке
dI
UL  L
индуктивности, то
dt
(27.3.2)
(27.3.3)
есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (27.3.2)
следует, что
dI  (U m / L) cos tdt ,
или после интегрирования, учитывая, что постоянная
интегрирова-ния равна нулю (так как отсутствует
постоянная составляющая тока), получим
Рис. 27.6.
Рис. 27.7.
Um
Um

  (27.3.4)


Iгде

sin t 
cost .   I m cost  ,
L
L 
2
2

Величина I m  U m / L
RL = ωL
(27.3.5)
называется реактивным индуктивным
сопротивлением (или индуктивным сопротивлением).
Из выражения (27.3.4) вытекает, что для постоянного
тока (ω = 0) катушка индуктивности не оказывает
сопротивления. Подстановка значения Um = ωLIm в
выражение (27.3.2) с учетом (27.3.3) приводит к
следующему значению падения напряжения на
катушке индуктивности:
UL = ωLIm cosωt. (27.3.6)
Сравнение выражений (27.26.27) и (27.26.6) приводит к выводу, что
падение напряжения UL опережает по фазе ток I, текущий через
катушку, на π/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 27.6,б).
27.3.3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С
(R  0, L  0) (рис. 27.7, а). Если переменное напряжение (27.3.1)
приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается и в цепи
потечет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно
пренебречь, то
Q / C  U C  U m cos t
Сила тока
где
dQ
(27.3.7)
I
 CU m sin t  I m cos(t   / 2),
dt
Um
I m  CU m 
.
[1 /(C )]
называется реактивным емкостным
Величина RC 
сопротивлением
(или
сопротивлением). Для постоянного
1 /(емкостным
C )
тока (ω = 0) Rc = , т. е. постоянный ток через конденсатор течь не
может. Падение напряжения на конденсаторе
1
UC 
I m cos t.
C
(27.3.8)
Сравнение выражений (27.3.7) и (27.3.8) приводит к выводу,
что падение напряжения UC отстает по фазе от текущего через
конденсатор тока I на π/2. Это показано на векторной диаграмме
(рис. 27.7, б).
27.3.4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно
включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор.
На рис. 27.8, а представлена цепь, содержащая резистор
сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор
емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение
(27.3.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на
всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL,
UC. На рис. 27.8, б представлена векторная диаграмма амплитуд
падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и
конденсаторе (Uc).
Амплитуда Um приложенного напряжения должна быть равна
геометрической сумме амплитуд этих падений напряжений. Как
видно из рис. 27.8, б, угол φ определяет разность фаз между
напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также
формулу (27.16))
tg 
 L  1 / C
(27.3.9)
R
Из прямоугольного треугольника
получаем
2
Рис. 27.8.
1  

2
( RI m ) 2   L 
I m   U m
C  

откуда амплитуда силы тока
имеет значение
Um
Im 
2
(27.3.10)
1


R 2   L 

C 

совпадающее с (27.1.15). Следовательно, если напряжение в цепи
изменяется по закону
U = Um cos ωt, то в цепи течет ток
I = Im cos (ωt -φ),
(27.3.11)
где φ и Im определяются соответственно формулами (27.3.9) и
2
(27.3.10). Величина 
(27.3.12)
1

2
2
2
Z  R  L 
  R  ( RL  RC )
C 

называется полным сопротивлением цепи, а величина
Z = RL – RC = (ωL- 1/ωC) — реактивным сопротивлением.
Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор.
В данном случае падения напряжений UR и UL в сумме равны
приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного
случая представлена на рис. 27.9, из которого следует, что
 tg φ = ωL/R,

 Im = Um/R2 + (ωL)2.
(27.3.13)
Рис. 27.9.
Рис. 27.10.
Выражения (27.3.9) и (27.3.10) совпадают с (27.3.13), если в
них 1/(ωС) = 0, т. е. С = . Следовательно, отсутствие
конденсатора в цепи означает С = , а не С = 0. Данный
вывод можно трактовать следующим образом: сближая
обкладки конденсатора до их полного соприкосновения,
придем к цепи, в которой конденсатор отсутствует
(расстояние между обкладками стремится к нулю, а емкость
— к бесконечности).