4 курс - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет Математики
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Автор программы: Рыбников Л.Г., к.ф.-м.н., leo.rybnikov@gmail.com
Одобрена на заседании кафедры алгебры «___»____________ 2010 г
Зав. кафедрой А.Н. Рудаков
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2010 г
Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2010 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2010
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2010 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Группы и Алгебры Ли» являются получение представления
о структуре алгебр Ли, классических матричных групп Ли; знания об
основных понятиях теории представлений алгебр Ли и групп Ли; умения решать
различные конкретные задачи, пользуясь алгебрами Ли.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать об основных понятиях теории представлений алгебр Ли и групп Ли.
 Уметь решать различные конкретные задачи, пользуясь алгебрами Ли.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения техники теории представлений в
различных областях математики.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и
блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
5
Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
Всего
часов
Алгебры Ли: начальные сведения
Группы Ли: начальные сведения
Нильпотентные, разрешимые,
полупростые алгебры и группы Ли.
Классификация полупростых
комплексных алгебр Ли.
Теория представлений
полупростых алгебр и групп Ли.
Итого:
180
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
5
5
5
6
6
6
16
22
22
5
6
34
6
6
30
26
30
124
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
Формы контроля знаний студентов
6
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
Форма
контроля
Контрольная
работа
Зачет
1
*
1 год
2 3
Экзамен
4
1
Параметры **
4
8
письменная работа 80
минут
Письменный 240 мин.
v
Письменный 240 мин.
1
8
v
2 год
2 3
8
2 контрольные работы
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма контроля - сдача задач из текущих листочков(15-20 задач по каждой
теме).
Контрольная работа: студент должен продемонстрировать умение пользоваться
основными техническими (вычислительными) приемами, которые используются в изученном
разделе теории групп и алгебр Ли. Предлагается 3--4 задачи на 90 минут.
Коллоквиум: устный, на 2,5 часа. Задания носят исследовательский характер и
предъявляют повышенные требования к теоретической подготовке студента.
Экзамен (зачет): письменная работа, состоящая из 5-6 задач на 4 часа. Преобладают
задачи, требующие хорошего понимания происходящего в курсе групп и алгебр Ли отчетного
модуля
6.1
Содержание дисциплины
7
Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по
разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным и практическим
занятиям.
1. Раздел 1 Алгебры Ли: начальные сведения
№
Тема
1.
Определение и примеры алгебр Ли. Алгебры Ли
дифференцирований. Классификация комплексных
алгебр Ли размерности не выше 3. Примеры
представлений алгебр Ли.
2.
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
10
2
2
6
10
2
2
6
В задачах: примеры представлений алгебр sl2 и
Гейзенберга
векторными
полями
и
дифференциальными операторами. Классификация
вещественных алгебр Ли размерности не выше 3.
Гомоморфизмы представлений алгебр Ли. Тензорное
произведение. Универсальная обертывающая алгебра и
теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
В задачах: ряд Пуанкаре свободной алгебры Ли.
Коумножение
и
примитивные
элементы
в
универсальной обертывающей алгебре.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
3.
Представления алгебры Ли sl_2 (so3): модули Верма и
конечномерные модули. Оператор Казимира. Характер
sl2-модуля. Тензорное произведение sl2-модулей.
12
В задачах: описание универсальной обертывающей sl2
как sl2-модуля. Главная sl2-тройка в алгебре Ли gl_n и
алгебра Ли gl_t для нецелых t.
Итого:
2
2
1
32
8
3
1
6
6
2
20
Литература по разделу:
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО,
2003.
Парамонова И.М., Шейнман О.К.
Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
2. Раздел 2. Группы Ли: начальные сведения
№
Тема
4.
Определение и примеры групп Ли, примеры
представлений.
Присоединенное
представление,
функтор Lie. Лево- и правоинвариантные векторные
поля. Инвариантная мера.
5.
6.
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
10
2
2
6
10
2
2
6
12
2
2
8
В задачах: универсальная обертывающая алгебра как
алгебра инвариантных дифференциальных операторов
и как алгебра обобщенных функций относительно
свертки.
Подгруппы Ли. Односвязная накрывающая группы Ли.
Накрытие SU2 \to SO3. Представления групп SU_2 и
SL2(C). Действие группы Ли на многообразии.
Действие алгебры Ли полями скоростей.
В задачах: накрытия SU2\times SU2 \to SO4, SU_4 \to
SO6 и др. Вычисление фундаментальных групп
классических групп Ли. Гармонический анализ на
сфере. Теорема Бореля--Вейля для CP1.
Экспоненциальное отображение и его свойства.
Виртуальные подгруппы Ли. Существование (б/док) и
единственность односвязной группы Ли с данной
алгеброй Ли.
В задачах: ряд Кэмпбелла--Хаусдорфа, существование
и единственность формальной группы Ли с данной
алгеброй Ли, дифференциал экспоненциального
отображения.
Итого:
1
32
3
7
6
6
3
20
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
Литература по разделу:
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО,
2003.
Парамонова И.М., Шейнман О.К.
Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
3. Раздел 3. Нильпотентные, разрешимые, полупростые алгебры и группы Ли.
№
Тема
7.
Нильпотентные и разрешимые группы и алгебры Ли:
теоремы Энгеля
(док. в задачах) и Ли. Форма
Киллинга
и
разрешимый
радикал.
Критерий
Картана.
8.
9.
В задачах: полное доказательство теорем Энгеля и Ли.
Компактные группы и алгебры Ли. Инвариантное
интегрирование. Полная приводимость. Теорема
Петера—Вейля (б/док).
В задачах: Алгебраичность компактных групп Ли.
Доказательство Теоремы Петера—Вейля.
Полупростые компактные группы Ли. Конечность
фундаментальной группы полупростой компактной
группы Ли. Максимальные торы. Сюръективность
экспоненты.
В задачах: когомологии
вычисление для U_n.
компактных
групп
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
10
2
2
6
10
2
2
6
16
4
4
8
Ли,
Итого:
1
36
3
7
8
8
3
20
Литература по разделу:
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО,
2003.
Парамонова И.М., Шейнман О.К.
Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли.–М.: Наука, 1984.
Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
Желобенко Д.П. Введение в теорию представлений.–М.:Факториал, 2002.
Желобенко Д П Компактные группы ли и их представления.–М.:МЦНМО, 2007.
4. Раздел 4. Классификация полупростых комплексных алгебр Ли.
№
Тема
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
работа
10. Полупростые комплексные алгебры Ли: полная
приводимость
конечномерных
представлений,
разложение Жордана, картановские подалгебры.
16
2
2
12
20
2
6
12
20
4
4
12
В задачах: картановские подалгебры в классических
алгебрах Ли.
11. Полупростые комплексные алгебры Ли: системы
корней, группа Вейля.
В задачах: многообразие флагов -- проективное
алгебраическое многообразие. Все картановские
подалгебры
сопряжены.
Группа
Вейля
как
нормализатор максимального тора.
12. Классификация полупростых комплексных алгебр Ли.
Матрица
Картана
и
соотношения
Серра.
Существование
и
единственность
компактной
вещественной формы полупростой комплексной
алгебры Ли.
В задачах: Конструкции исключительных простых
групп и алгебр Ли. Полярное разложение комплексной
полупростой группы Ли.
Итого:
1
56
3
7
8
12
3
36
Литература по разделу:
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО,
2003.
Парамонова И.М., Шейнман О.К.
Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
5. Раздел 5. Теория представлений полупростых алгебр и групп Ли.
№
Тема
Всего
часов
Лекци
и
семина
ры
Самос
тоятел
ьная
работа
30
4
6
20
30
4
6
20
8
7
12
13. Представления полупростых алгебр Ли: категория О,
классификация конечномерных представлений.
В задачах: спинорное представление, дуальные пары,
базисы Гельфанда-Цетлина.
14. Формулы Вейля для характера и размерности
конечномерного неприводимого представления.
В задачах: алгебры Каца--Муди, представления sl2 с
крышкой и комбинаторные тождества.
Итого:
1
60
3
40
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
Литература по разделу:
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО,
2003.
Парамонова И.М., Шейнман О.К.
Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли.–М.: Наука, 1984.
Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. – М.: Мир, 1993
Желобенко Д П Компактные группы ли и их представления.–М.:МЦНМО, 2007.
8
Образовательные технологии
На лекции даются все необходимые определения, доказываются ключевые теоремы курса,
обсуждаются логические и неформальные связи между ними, а также теоремами из других
разделов математики и физики. Кроме того, приводятся примеры использования этих
результатов для решения конкретных задач.
После этого студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, содержащий
как рутинные упражнения для усвоения стандартных вычислительных приёмов, так и теоремы
для самостоятельного доказательства (или прочтения в учебнике), которые будут существенно
использоваться в дальнейшем. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально
сдаваться (устно или письменно) преподавателям во время семинарских занятий.
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Студенты,
испытывающие затруднения при решении некоторых задач иногда соединяются в группы для
совместной работы над не получающейся задачей, возможно, под чьим-нибудь руководством
(преподавателя или уже разобравшего задачу студента).Однако разобранные таким образом
задачи всё равно должны сдаваться каждым студентом индивидуально.
Общее число решённых каждым студентом задач в течение каждого модуля учитывается, и
оказывает заметное влияние на итоговую отметку за модуль (см. п.9 ниже). Крайний срок сдачи
задач из листков, выдававшихся в каждом модуле – последнее семинарское занятие этого
модуля.
8.1
Методические рекомендации преподавателю
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1
Тематика заданий текущего контроля
Примеры задач контрольных работ:
1. Разложите в прямую сумму неприводимых симметрический квадрат тензорного куба
2-мерного неприводимого представления алгебры Ли sl_2.
2. Найдите все идеалы алгебры Ли нестрого верхнетреугольных матриц 3х3.
3. Выпишите в координатах левоинвариантные векторные поля на группе Ли GL_2.
9.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к коллоквиуму:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
1. Опишите все комплексные алгебры Ли размерности не выше 3 с точностью до
изоморфизма. Какие из них разрешимы, нильпотентны, полупросты? Найдите в них все идеалы.
2. Сформулируйте и докажите теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта.
3. Опишите все конечномерные представления алгебры Ли sl_2 с точностью до
изоморфизма.
4. Приведите примеры связных/несвязных, одновязных/неодносвязных,
компактных/некомпактных, абелевых/неабелевых групп Ли. В каждом примере найдите
соответствующую алгебру Ли.
5. Сформулируйте и докажите основные свойства экспоненциального отображения.
Приведите примеры, когда экспоненциальное отображение открыто/не открыто,
сюръективно/несюръективно.
6. Сформулируйте и докажите теорему Энгеля.
7. Сформулируйте и докажите теорему Ли.
8. Сформулируйте и докажите критерий Картана.
9. Докажите полную приводимость представлений компактных групп Ли.
Сформулируйте теорему Петера--Вейля.
10. Докажите, что фундаментальная группа полупростой компактной группы Ли
конечна.
11. Дайте определение картановской подалгебры и укажите такие в классических
алгебрах Ли.
12. Дайте определение системы корней и группы Вейля. Докажите, что полупростые
комплексные алгебры Ли с точностью до изоморфизма нумеруются системами корней.
13. Опишите неприводимые конечномерные представления полупростой алгебры Ли с
точностью до изоморфизма.
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Примеры экзаменационных задач:
1. Вычислите след оператора Казимира на тензорном квадрате присоединенного
представления алгебры Ли sl_2.
2. Найдите размерности весовых подпространств неприводимого представления алгебры
Ли sl_3 со старшим весом 2\omega_1+\omega_2.
3. Найдите все группы Ли с алгеброй Ли su_2+su_2.
9.3
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Окол + n3* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность
решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель
выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед
промежуточным (итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления
накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Группы и Алгебры Ли для направления 010100.62 «Математика» подготовки
бакалавра
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из
результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой
составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
11.2 Основная литература
Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО,
1.
2003.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Парамонова И.М., Шейнман О.К.
Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли.–М.: Наука, 1984.
Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
Желобенко Д.П. Введение в теорию представлений.–М.:Факториал, 2002.
Желобенко Д П Компактные группы ли и их представления.–М.:МЦНМО, 2007.
Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. – М.: Мир, 1993
11.3 Дополнительная литература
8.
Постников М.М. Группы и алгебры Ли.– М.: Наука, 1982.
9.
Э. Б.Винберг, А.Л.Онищик Семинар по группам Ли и алгебраическим группам,
УРСС, Москва 1995