Общая математическая модель распределения вычислительных ресурсов в многопроцессорных системах М.Х. Прилуцкий, С.Ю. Петри Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Н.Новгород Введение • Процесс управления решением совокупности задач в многопроцессорных системах формально можно представить как проблему распределения ограниченных ресурсов в сетевых канонических структурах (см. [1-3]) . • Формальная постановка проблемы позволяет использовать хорошо разработанный аппарат решения задач распределения ресурсов к решению задач управления многопроцессорными системами. Представление задачи • Процесс решения задачи представляется в виде совокупности деятельностей. • Последовательность выполнения деятельностей задается ориентированным графом без петель и контуров. Ресурсы и деятельности Взаимодействие ресурсов и деятельностей. • Деятельность в процессе выполнения потребляет и производит ресурсы. • Роль ресурсов играют вычислительные устройства и каналы связи, а роль деятельностей операции и подпрограммы. Содержательная постановка задачи • Ресурсы, используемые в процессе выполнения деятельностей, будем подразделять на ресурсы общедоступного и ресурсы эксклюзивного типа. • При моделировании вычислительного процесса эксклюзивным ресурсом является канал передачи данных, а общедоступными ресурсами являются отдельные процессоры. Содержательная постановка задачи • Процесс распределения ресурсов учитывает технологические, ресурсные, и организационные условия. • К технологическим условиям относятся ограничения на интенсивности потребления ресурсов на последовательность и длительности выполнения деятельностей. • К ресурсным условиям относятся ограничения на количества потребления деятельностями ресурсов. • К организационным условиям относятся ограничения на возможные сроки начала и окончания выполнения деятельностей. Математическая модель Исходные параметры модели • T = {1,..,T0}- множество тактов планирования • J – множество различных деятельностей, • I - множество ресурсов, используемых в системе, • Все ресурсы разбиваются на два подмножества: IЭ – множество эксклюзивных ресурсов и IO – множество общедоступных ресурсов, IЭIО =I, IЭIО=. • Vit – количество ресурса i, которое поступит в систему в такт t, iI, tT. • K(j) – множество деятельностей, непосредственно предшествующих деятельности j, K(j)J, jJ. Математическая модель Исходные параметры модели • R=(rij) матрица ресурсоемкостей, где rij обозначает количество ресурса i, которое требуется для выполнения деятельности j, jJ, iI.. t ij и t ij , соответственно, минимальная и максимальная • длительности потребления деятельностью j ресурс i, iI, jJ. • hj – начальные сроки jJH . • dj – директивные сроки jJD . Математическая модель Варьируемые параметры математической модели • X=(x ij ) и Y=( y ij ) матрицы времен начала и окончания x ij потребления деятельностями ресурсов T, y ijT; • z ijt величины интенсивности потребления деятельностью j ресурса i в такт t, iI, jJ, tT; • u ijk величины , определяющие очередность расходования эксклюзивного ресурса i деятельностью j в такт t: если ресурс i деятельнос ть j начинает потреблять 1, uijk раньше, чем деятельность k, в противном случае, iIЭ, j,kJ. 0, Математическая модель Ограничения математической модели • Ограничения математической модели учитывают технологические, организационные и ресурсные условия. • Технологические условия: (1) xij max max ylk , iI, jJ. lI kK ( j ) если xij t y ij , mij z ijt M ij , и z 0, если t x , y , iI, jJ, tT. ijt ij ij t ij yij xij t ij , iI, jJ, x ij ≥ y ik , либо xik ≥ y ij (2) (3) , iIЭ, j,kJ, (4) Математическая модель Ограничения математической модели • Организационные условия: xij h j , iI, jJН. iI, jJD. yij d j , • (5) (6) Ресурсные условия: iI, jJ . zijt rij, (7) z (8) tT jJ ijt Vit , iI, tT . x ij T, y ij T, z ijt 0 , iI, jJ, tT. (9) • Неформализованные условия (4) могут быть приведены к формальному виду: iIЭ, j,kJ, (10) (T0 ( y ik xik ))u ijk xij y ik , (To ( yik xik ))(1 u ijk ) xik yij , iIЭ, j,kJ, Постановка задачи В рамках построенной общей математической модели ставятся различные оптимизационные задачи такие, как задача равномерного расходования ресурсов, задача наилучшего выполнения организационных условий по начальным и (или) директивным срокам и др. Алгоритмы решения задачи • Алгоритмы эволюционно-генетического типа. Особь в популяции соответствует построенному расписанию, а функция приспособленности задается в соответствии с критериями задачи. • Алгоритм Метрополиса. Основан на аналогии с процессом охлаждения термодинамической системы, с применением функции распределения вероятностей Больцмана. • Детерминированные алгоритмы ограниченного перебора. Литература • 1. Прилуцкий М.Х., Батищев Д.И., Гудман Э.Д., Норенков И.П. Метод декомпозиций для решения комбинаторных задач упорядочения и распределения ресурсов// Информационные технологии. Москва, N1, 1997, с.29-33 • 2. Прилуцкий М.Х., Батищев Д.И., Гудман Э.Д., Норенков И.П. Метод комбинирования эвристик для решения комбинаторных задач упорядочения и распределения ресурсов. //Информационные технологии. Москва, N2, 1997, с.29-32 • 3. М.Х.Прилуцкий, Д.В.Попов. Распределение и упорядочение работ в многостадийных системах. «Моделирование и оптимизация сложных систем». Межвузовский тематический сборник научных трудов ВГАВТ, ННовгород, 1999, стр. 84-93.