Программа по алгебре Группа 161, 2007/2008 учебный год, 1

Программа по алгебре
Группа 161, 2007/2008 учебный год, 1 семестр
1. Высказывания и логические связки. Кванторы общности и существования.
2. Множества и операции над ними: пересечение, объединение, разность,
симметрическая разность, декартово произведение. Пустое множество.
Подмножества, множество подмножеств данного множества.
3. Отображения. График отображения. Образ и полный прообраз. Композиция
отображений. Теорема об ассоциативности композиции.
4. Тождественное
отображение;
его
свойства.
Обратимые
отображения.
Сюръeктивные, инъективные и биективные отображения. Их свойства. Теорема о
композиции обратимых отображений.
5. Отношения на множествах. Типы бинарных отношений.
6. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Теорема о разбиении на
классы. Фактормножество.
7. Группы. Простейшие свойства (еяинственность нейтрального элемента,
единственность обратного к данному, разрешимость уравнений ax=b и xa=b в
группе, обратный к произведению).
8. Группы перестановок. Представление перестановки в виде непересекающихся
циклов. Транспозиции. Число инверсий. Четные и нечетные перестановки..
Теорема о том, что умножение на транспозицию меняет четность перестановки.
9. Кольца, тела, поля. Примеры. Простейшие свойства.
10. Кольцо многочленов. Степень многочлена.\Свойства степени.
11. Поле комплексных чисел (как множество пар). Алгебраическая форма записи
комплексного числа, вещественная и мнимая часть комплексного числа.
12. Комплексное сопряжение и его свойства.
13. Модуль и аргумент комплексного числка. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
14. Неравенство треугольника.
15. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула
Муавра.
16. Следствия формулы Муавра: извлечение корня n-ой степени из комплексного
числа.
17. Корни из единицы. Первообразные корни из единицы.
18. Решение уравнений 3-й степени. Формулы Кардано.
19. Решение уравнений 4-й степени (метод Феррари).
20. Элементарная геометрия комплексных чисел. Доказательство теорем о точке
пересечения высот и точке пересечения медиан треугольника при помощи
комплексных чисел.
21. Тело кватернионов.
22. Произведение сумм двух квадратов. Произведение сумм четырех квадратов.
23. Делимость в кольцах. Простейшие свойства. Обратимые элементы.
Мультипликативная группа кольца. Ассоциированные элементы. Область
целостности.
24. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел и в кольце многочленов над
полем.
25. Евклидовы кольца. Евклидовость колец Z и K[x].
26. Наибольший общий делитель. Теорема о существовании и линейном
представлении наибольшего обшего делителя в евклидовом кольце.
27. Взаимно простые элементы евклидова кольца. Свойства (2 теоремы)..
28. Линейные уравнения в евклидовых кольцах. Критерий существования решений.
Формнула общего решения уравнения с двумя неизвестными.
29. Простые, составные и неприводимые (неразложимые) элементы кольца. Теорема о
том,то в любой области целостности простой элемент неприводим. Совпадение
простоты и неприводимости в евклидовых кольцах.
30. Пример кольца с неоднозначным разлоцением на множители.
31. Теорема об обрыве цепочек делителей.
32. Основная теорема арифметики для евклидовых колец (теорема об однозначном
разложении на множители).
33. Сравнения в кольце. Простейшие свойства сравнений.
34. Китайская теорема об остатках.
35. Кольцо вычетов по модулю m.
36. Критерий обратимости элемента кольца вычетов. Теорема о том, когда кольцо
вычетов евклидова кольца является полем.
37. Функция Эйлера. Мультипликативность функции Эйлера. Явная формула для
функции Эйлера..
38. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма.
39. Алгоритм RSA.
40. Поле комплексных чисек как факторкольцо R[x]/(x2+1).
41. Корни многочлена. Теорема Безу.
42. Кратные корни многочлена. Теорема о числе корней многочлена.
43. Формальное и функциональное равенство многочленов.
44. Характеристика поля.
45. Производная многочлена. Ее свойства.
46. Кратные корни многочлена и производная.
47. Алгебраически замкнутые поля. Теорема о равносильных переформулировках
алгебраической
замкнутости.Основная
теорема
высшей
алгебры
(без
доказательства).
48. Следствие из одчсновной теоремы высшей алгебры: неприводимые многочлены с
вещественными коэффициентами.
49. Интерполяционная задача. Существование и единсвенность решения. Метод
Ньютона, метод Лагранжа.
50. Поле частных коммутативной области целостности. Поле частных кольца
многочленов над полем.
51.Простейшие дроби. Теорема о разлоцении на простейшие: существование и
единственность.