Презентации 11-21

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РТФ
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
Автор курса лекций:
Коберниченко Виктор Григорьевич, к.т.н., доцент, заведующий
кафедрой теоретических основ радиотехники УГТУ-УПИ
Екатеринбург 2008
Цели и задачи изучения дисциплины
Дисциплина "Цифровая обработка сигналов" (ЦОС)
занимает промежуточное положение между курсами,
формирующими базовую подготовку в области
телекоммуникационных систем, такими как "Теория
электрических цепей» и «Теория электрической связи», и
специальными курсами .
Предметом изучения в курсе ЦОС являются
математические модели сигналов и физических
процессов, происходящих при их преобразовании в
цифровых устройствах, а также алгоритмы этих
преобразований..
Цифровая обработка сигналов
3
Формируемые компетенции
.
Целью преподавания дисциплины “Цифровая
обработка сигналов" является формирование
следующих профессиональных компетенций:
 способность самостоятельного анализа цифровых
устройств;
 способность применять современные методы
исследования с использованием компьютерной
техники;
способность проводить математическое
моделирование процессов и объектов на базе
стандартных пакетов автоматизированного
проектирования и исследований.
Цифровая обработка сигналов
4
Модуль2
Дискретные и цифровые системы
Изменение частоты
дискретизации в линейных
цифровых фильтрах
Содержание
• Линейные цифровые фильтры и их характеристики
• Формы реализации линейных дискретных фильтров
• Этапы проектирования цифровых фильтров
• Синтез ЦФ с КИХ. Метод взвешивания
• Синтез цифровых фильтров с бесконечной импульсной
характеристикой. Метод билинейного преобразования
• Восходящие и нисходящие дискретные системы.
• Анализ простейшей нисходящей дискретной системы
• Реализация линейных цифровых фильтров с помощью алгоритма
БПФ
Цифровая обработка сигналов
6
Лекция 11
Линейные цифровые фильтры и
их характеристики
Содержание
Системная функция и комплексная частотная характеристика
цифрового фильтра (ЦФ).
Рекурсивные и нерекурсивные фильтры.
Цифровая обработка сигналов
8
Цифровые фильтры
Под цифровым фильтром (ЦФ) в общем случае понимают систему,
преобразующую один цифровой сигнал в другой. Цифровой фильтр
реализуется или как программа на ЦВМ, или аппаратным способом в
виде цифровой схемы, содержащей регистры, сумматоры, умножители
и т.п. Эта схема может быть реализована и на универсальном
кристалле (БИС).
x(n)
Вход
Цифровая обработка сигналов
ДФ
(ЦФ)
y(n)
Выход
9
Линейные цифровые фильтры
ЦФ называется линейным, если выходная последовательность при
нулевых начальных условиях при воздействии вида
xn  a1x1n  a2 x2 n
описывается как
yn  a1 y1 n  a2 y2 n
где и соответственно отклики ЦФ на x1 n  и x2 n
Цифровая обработка сигналов
10
Разностное уравнение ДФ (ЦФ)
M
a
m 0
N
m
y (n  m)  bi x(n  i )
i 0
Рекурсивный фильтр
N
M
i 0
m 1
y (n)   bi x(n  i )   am y (n  m), n  0
Нерекурсивный (трансверсальный) фильтр
N
y (n)   bi x(n  i )
i 0
Цифровая обработка сигналов
11
Импульсная характеристика ЦФ
N
Из уравнения НФ y (n)   bi x(n  i ) следует, что импульсная
i 0
N
~
Характеристика h(n)   bi (n  i ) , т.е. bi =h(i).
i 0
Импульсная характеристика НФ имеет конечную длительность (КИХфильтр).
Цифровая обработка сигналов
12
Условие устойчивости ЦФ
Линейный ЦФ называется устойчивым, если воздействие любой
ограниченной входной последовательности дает ограниченную
выходную последовательность, такую, что


y n   
2
n  
ЦФ устойчив, если его импульсная характеристика удовлетворяет
условию

 hn  
n 
Цифровая обработка сигналов
13
Физически реализуемый ЦФ
ЦФ называется физически реализуемым, если его импульсная
характеристика
hn  0
при .
Для физически реализуемого ЦФ
n0
y n  
n
 xk hn  k 
k  
Выходной сигнал физически реализуемого ЛИВ ЦФ представляет
собой апериодическую дискретную свертку входного сигнала и
импульсной характеристики ЦФ
Цифровая обработка сигналов
14
Системная (передаточная) функции ЦФ
~
Z{ y (n)} Y ( z )
~
H ( z) 
 ~
Z{x(n)} X ( z )
Поскольку Y~( z )  X~ ( z ) H~ ( z ), то отсюда следует, что H(z) – zпреобразование импульсной характеристики ЦФ.

~
H ( z )   h( n) z  n
n 0
Комплексная частотная характеристика из H(z) путём подстановки
z  e jwTд
Цифровая обработка сигналов
15
Комплексная частотная характеристика
дискретного фильтра
Определение
*
~ jwTд
H (e )  H ( jw) | H ( jw) | e j ( w)
Для описания ЛИВ – систем в частотной области используется
специальный класс входных воздействий – дискретные
комплексные гармонические последовательности
{x (n)}  { A exp[ j (wnTд   )]}
Re{ x(n)}  { A cos[ j ( wnTд   )]}
( w  2 Пn
Цифровая обработка сигналов
1
)nTд    wnTд    2 Пn 2
Tд
16
КЧХ
Для выбранного класса входных последовательностей отклик
совпадает с входной последовательностью с точностью до
комплексного множителя

y (n)   h(m)e
jw( n  m )Tд
e

jwnTд
m 0
~ jwTд
 jwmTд

h
(
m
)
e

x
(
n
)
H
(e )

m 0

~ jwTд
H (e )   h(m)e  jwmTд
m 0
Цифровая обработка сигналов
17
Свойства КЧХ ЦФ
Периодическая функция с периодом 1/Tд.
Для действительных h(n) модуль Н – чётная функция, а φ(w) –
нечётная
Цифровая обработка сигналов
18
Вид АЧХ и ФЧХ ЦФ
Цифровая обработка сигналов
19
Импульсная характристика
нерекурсивного фильтра
Импульсная характеристика НФ имеет конечную длительность
(КИХ-фильтр).
N
~
h(n)   bi (n  i )
i 0
Цифровая обработка сигналов
bi =h(i).
20
Эквивалентность рекурсивной и
нерекурсивной структур ЦФ.
Пересчитаем системную функцию РФ к системной функции НФ

b0  b1 z 1  ...  bN z  N
l

C
z

l
1
M
1  a1 z  ...  aM z
l 0
0l 
- ВИХ-фильтр
l
bl  Cl   ai Cl i
i 1
l
Cl  bl   ai Cl i
i 1
Рекурсивное соотношение
аi=0 при i>M. bl=0 при i>N.
Но импульсная характеристика рекурсивного фильтра
содержит бесконечное число отсчётов БИХ-фильтр .
Цифровая обработка сигналов
21
Лекция 12
Формы реализации линейных
дискретных фильтров
Содержание
Функциональные схемы ЦФ.
Прямая, каноническая и каскадная формы реализации ЦФ.
Эквивалентность рекурсивной и нерекурсивной структур.
ЦФ с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и
бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Цифровая обработка сигналов
23
Передаточные функции нерекурсивного и
рекурсивного фильтров
Системная функция рекурсивного фильтра
N
~
H ( z) 
i
b
z
i
i 0
M
1   am z m
m 1
Системная функция нерекурсивного фильтра
L
~
H ( z )   cl z l
l 0
Цифровая обработка сигналов
24
Функциональная схемы
нерекурсивного фильтра
Цифровая обработка сигналов
25
Функциональная схема рекурсивного
фильтра (прямая форма)
Цифровая обработка сигналов
26
Каноническая форма
Запишем в виде
~
~
~
Y ( z)  X ( z)H ( z)
~
F ( z) 
1
M
1   a m z m
~
X ( z)
~
~ ~
Y ( z)  F ( z)B ( z)
N
~
B ( z )   bi z i
i 0
m 1
M
f ( n )  x ( n )   a m f ( n  m)
m 1
Цифровая обработка сигналов
N
y (n)   bi f (n  i )
i 1
27
Функциональная схема рекурсивного
фильтра (каноническая форма)
Цифровая обработка сигналов
28
Каскадная форма реализации ЦФ
Передаточная функция фильтра представляется в виде
произведения
L1
H ( z)   H k ( z)
k 1
На практике обычно используют однотипные звенья второго и
первого порядка, передаточная функция которых имеет вид
b0 k  b1k z 1  b2 z 2
H ( z) 
1  a1k z 1  a2 k z 2
Цифровая обработка сигналов
29
Каскадная форма реализации ЦФ
x(n)
Н
Н
1
2
Н
y(n)
k
N
~
H ( z) 
 0  (1   i z 1 )
i 1
M
 (1   z
i
1
)
1  1 z 1 1   m z 1
1
 0
...
...
.
1
1
1
1  1 z
1  mz
1  k z
i 1
Цифровая обработка сигналов
30
Лекция 13
Этапы проектирования цифровых
фильтров
Проектирование ЦФ по аналоговому
прототипу
Учет искажений оси частот при билинейном zпреобразовании.
Проектирование аналогового прототипа.
Переход с помощью билинейного z-преобразования к
дискретному фильтру.
Выбор структуры ЦФ.
Квантование коэффициентов дискретного фильтра
(переход к цифровому фильтру).
Анализ влияния ограничения разрядности и
коррекция коэффициентов ЦФ.
Цифровая обработка сигналов
32
Проектирование аналогового прототипа
Проектирование аналогового
прототипа ЦФ заключается в
выборе вида аппроксимации
АЧХ, расчете порядка фильтра и
определении коэффициентов
его передаточной функции.
Определение требований к
фильтру
Цифровая обработка сигналов
33
Виды аппроксимации АЧХ фильтра
Цифровая обработка сигналов
34
Фильтр Баттерворта
Первые (2N - 1) производные АЧХ ФНЧ Баттерворта N-го
порядка равны нулю при ω = 0. По этой причине фильтры
Баттерворта также называются фильтрами с максимально
плоскими (гладкими) АЧХ
H ( w) 
Расчет порядка фильтра
Цифровая обработка сигналов
1
 w
1   
 w0 
2N
w0  wc (10 0,1H c  1) 1 / 2 N ;
 10 0,1H з  1 

lg  0,1H c
10
1

N
,
 wз 
2 lg  
 wc 
35
Фильтры Чебышева
АЧХ фильтра Чебышева
H( w ) 
1
w
1  T (
)
wc
2
2
N
cos( N arccos x), x  1
TN ( x)  
 ch( Narchx), x  1
Цифровая обработка сигналов
36
АЧХ фильтров Чебышева прямого и
инверсного.
Цифровая обработка сигналов
37
Расчет порядка фильтра Чебышева
Порядок фильтра определяется из соотношения
1
wз
1  T ( )
wc
2
 H з2
2
N
Н з2  1

wз
wз 
TN ( )
 ср  Narch( )
wc

wc 

arch [100,1H з  1)(100,1H c  1)]
N
arch( wз / wc )
Цифровая обработка сигналов
38
Инверсный фильтр Чебышева
АЧХ
H(  ) 
1
c
1  / T (
)

2
2
N
Расчет порядка по аналогичным формулам
Цифровая обработка сигналов
39
Фильтр Кауэра
Выражение для АЧХ фильтра Кауэра
H ( w) 
1
1   2 RN2 ( w, L)
,
RN(w,L) – эллиптическая функция Якоби; L – параметр,
характеризующий пульсации функции RN(w, L).
Расчет порядка
K ( h) K 1  g 2
N
,
2
K ( g )K 1  h




где К — символ полного эллиптического интеграла 1-го рода,
h= wc/wз
g   / (1 / H з2 )  1;
Цифровая обработка сигналов
40
Лекция 14. Синтез ЦФ с КИХ.
Метод взвешивания
Методы синтеза дискретных фильтров
с КИХ
Системная функция с КИХ задается выражением
L
H^(z) =
С z
l 0
l
l
Комплексная частотная характеристика нерекурсивного фильтра имеет
вид:
L
J
j
l
(
е
)

C
e

H(jΩ) = H^
 1
l 0
  T Д
.
Один из методов синтеза фильтров с КИХ основывается на разложении
заданной комплексной частотной характеристики H(jΩ), имеющей
периодический характер по частоте (с периодом, равным 2) в ряд
Фурье

H(jΩ) =  h(n) exp(-jnΩ)
n  
Цифровая обработка сигналов
42
Коэффициенты этого разложения определяются по общим

правилам:
1
h(n) = 2  H(jΩ) exp(jnΩ)dΩ

Метод «окна» заключается в модификации коэффициентов
Фурье, следующим образом:
hk(n) = h(n)w(n),
где w(n) – конечная весовая последовательность, называемая
«окном»: w(n) = 0 при n<0, n>N.
Цифровая обработка сигналов
43
Основные весовые функции
Временное окно
Естесвенное
(прямоугольное)
Бартлетта
(треугольное)
Вельша
(параболическое)
Хана
Хемминга
Блекмана
Лапласа – Гаусса
(колокольное)
Кайзера
Макса, Фока,
Бертье
Весовая функция w(n)
1
1-2|n|/(N-1)
2
1-4 n /( N  1)
2
0,5{1+cos[2πn/(N-1)]}
0,54+0,46cos[2 π n/(N-1)]
0,42+0,5cos[2 πn/(N-1)]+0,08cos[4πn/(N-1)]
exp[-2 (n) 2 /( N  1) 2], где ξ - величина усечения кривой
Лапласа-Гауса, измеренная в единицах с.к.о., выраженных в долях
от (N-1)/2
I 0 [ / 1  {2n /( N  1)} 2 ] / I 0 () где I 0 ()- функция Бесселя,
β=(2-3)π.
sin[2πn/(N-1)]/[2πn/(N-1)]
Примечание: все весовые функции задаются на интервале -(N-1)/2<n<(N-1)/2;
для прочих n значение весовой функции равно 0.
Цифровая обработка сигналов
44
Импульсная характеристика идеального ФНЧ (а);
АЧХ ФНЧ с прямоугольным «окном» (Н =101) (б)
Цифровая обработка сигналов
45
Простейшим фильтром с КИХ является так называемый
однородный фильтр с системной функцией вида
H^(z)=
L 1
1
z

l 0
т.е. КИХ – фильтр с одинаковыми коэффициентами
С 0  С1  .....  С L 1  1
Однородный фильтр может быть реализован без операций
умножения и представляет собой сумматор L отсчетов.
Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра
описывается формулой
H(Ω)=|H^ (е ) |=
j
Цифровая обработка сигналов
sin( L / 2)
sin(  / 2)
46
Лекция 15. Синтез цифровых
фильтров с бесконечной
импульсной характеристикой.
Метод билинейного
преобразования
Синтез рекурсивных фильтров
Методы
расчета
БИХ-фильтра
По аналоговому
прототипу
(дискретизация)
Прямой расчет
в Z-плоскости
Задача синтеза заключается в отыскании реализуемой передаточной
N
функции вида:
bi z  i

H ( z )  i  0M
1   a i z i
i 0
удовлетворяющей заданным требованиям.
Цифровая обработка сигналов
48
Требования к процедуре перехода
Цифровая обработка сигналов
49
Метод инвариантности ИХ
ИХ ЦФ представляет собой выборки ИХ АФ
h(n)=hА(f)|t=nТд= hА(nТД)
Передаточная функция Н(z) ЦФ с помощью z-преобразования ИХ.
~
H ( z )  Z {h A (nТ Д )}

~
H ( z )   h A ( n) z  n
n 0
Соотношения между КЧХ АФ и ЦФ
1
~ jTД
H (e
)
ТД
Цифровая обработка сигналов
2
Н А [ j ( 
)]

TД
к  

50
Частотные характеристики аналогового и цифрового фильтов.
Цифровая обработка сигналов
51
Метод билинейного преобразования
Преобразование определяется следующим выражением:
1
2 1 z
2 z 1
р

1
Т Д 1 z
Т Д z 1
z 1 1 z 1 3 1 z 1 5
ln z  2[
 (
)  (
)  ...]
z 1 3 z 1
5 z 1
Цифровая обработка сигналов
52
Вывод основного сооношения
Рассмотрим идеальный аналоговый интегратор, с передаточной
1
функцией
Н А ( р) 
Его ИХ имеет вид
g (t ) 
р
1 t0
0 t0
Амплитудно-частотная и импульсная характеристики идеального
аналогового интегратора
Цифровая обработка сигналов
53
Реакция такого интегратора на произвольное воздействие x(t)
t
y(t )   x() y(t  )d
0
Если 0  t  t , то
1
2
При
0    t1 , t 2
t2
t1
0
0
y(t 2 )  y(t1 )   x() g (t 2  )d   x() g (t1  )d
g (t 2  )  g (t1  )  1
t2
y (t 2 )  y (t1 )   x()d
t1
Цифровая обработка сигналов
54
При t1 → t 2
t 2  t1
y(t 2 )  y(t1 ) 
[ x(t1 )  x(t 2 )]
2
Если t 2  t1  T Д , то получим равнение цифрового интегратора
y (nT Д )  y[( n  1)T Д ] 
TД
2
[ x(n)  x(n  1)]
системной функции цифрового интегратора
Y ( z) T Д z  1
H ( z) 

X ( z)
2 z 1
Цифровая обработка сигналов
55
Сравнивая Н(z) с HA(p), получаем правило замены
2 z 1
p
TД z 1
Замена точного интегрирования приближенным
Переход от p- плоскости к z- плоскости при билинейном преобразовании
Цифровая обработка сигналов
56
Деформация шкалы частот
Пусть w и wц – частотные переменные в описании амплитудночастотных характеристик АФ и ЦФ соответственно. Тогда из
соотношения
р
получаем
j Т
2 z 1
Т Д z 1
2 е ц Д 1
j 
T Д е jцТ Д  1
2

tg( Ц Т Д / 2)
и
ТД
При wц≤0,3/ТД w≈wц
Цифровая обработка сигналов
57
Деформация шкалы частот при билинейном преобразовании
Цифровая обработка сигналов
58
Лекция 16
Восходящие и нисходящие
дискретные системы
Содержание
Экспандер частоты дискретизации.
Преобразование спектра.
Компрессор частоты дискретизации.
Эффект наложения спектров при децимации.
Цифровая обработка сигналов
60
Лекция 17
Анализ простейшей нисходящей
дискретной системы
Анализ простейшей нисходящей
дискретной системы
Процедура предварительной фильтрации описывается выражением
n
y (n)   h(l ) x(n  l )
l 0
где h(n)- импульсная характеристика ПФ.
y1()  y (m) 
m
 h(l ) x(m  l )
l 0
Структура простейшей НДС
Цифровая обработка сигналов
62
Сигнал на входе и выходе компрессора частоты дискретизации
Цифровая обработка сигналов
63
Спектр выходного сигнала КЧД представляет собой сумму
спектров входного сигнала, сдвинутых один относительно другого
по оси частот на величину 2π/mTД
1 m1
Y1(j  )   (Y [ j  2q / mTД ])
m g 0
спектр выходной последовательности ПФ определяется спектром
входной последовательности НДС и КЧХ ПФ:
Y(jw) = X((jw))Hnф(jw).
Выражение, связывающее спектры входного и выходного
сигналов в простейшей НДС
Y1(jц) =
1 m 1
X[j(w+2πq/mTД)]H[j(w+2πq/mTД)]

m q 0
Цифровая обработка сигналов
64
Спектральная плотность сигнала на входе и выходе простейшей нисходящей
дискретной системы (m=2)
Цифровая обработка сигналов
65
Лекция 18
Реализация линейных цифровых
фильтров с помощью
алгоритма БПФ
Вычисление свёрток с помощью ДПФ
Дискретный фильтр в переменных вход-выход описывается
уравнением апериодической свертки
y( n ) 
n
 x( m )h( n  m )
m  
Круговая свёртка
N 1
N 1
l 0
l 0
y (n)   g (l ) x(n  l )  x(l ) g (n  l )
1
y ( n) 
N
Цифровая обработка сигналов
N 1
nk
Y
(
k
)
W

N
k 0
67
Схема реализации дискретного фильтра в
частотной области
Цифровая обработка сигналов
68
Преобразование сигнала в ЦФ
Цифровая обработка сигналов
69
Апериодическая свертка
Линейная свертка
х(n) n=0,1,2,…,N1-1.
Y(n) n=0,1,2,…,N2-1
n
y (n)   x(m)h(n  m), n  0,1,2,..., N 1  N 2  2
m 0
 x(n), n  0,1,..., N1  1
x1 (n)  
0, n  N1 ,..., N1  N 2  2
 h(n), n  0,1,..., N 2  1
h1 (n)  
0, n  N 2 ,..., N1  N 2  2
Тогда линейная свёртка последовательностей x(n) и h(n) будет
равна N1+N2-1 – точной круговой свёртке последовательностей
x1(n) и h1(n) и может быть вычислена с использованием ДПФ с
учётом коэффициента 1/N.
y(n) 
N1  N 2  2
 x (m)h (n  m), n  0,1,..., N
m 0
Цифровая обработка сигналов
1
1
1
 N2  2
70
Информационное обеспечение модуля
Литература по разделу:
1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие для
студентов вузов, обучающихся по направлению подгот. дипломир.
специалистов "Информатика и вычисл. техника" / А. Б. Сергиенко. - М. ;
СПб. ; Нижний Новгород [и др.]: Питер, 2005. - 604 с.: ил.; 24 см. - (Учебник
для вузов).
2. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций : Учеб. пособие по
специальности 201 100 "Радиосвязь, радиовещание и телевидение" / А. И.
Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов и др. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003.
- 608 с.: ил.; 24 см. - (Учебное пособие).
3. Солонина А. И. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов:
учеб. пособие для студентов, обучающихся по направлению 654400
"Телекоммуникации" / А. Солонина, Д. Улахович, Л. Яковлев. - СПб.: БХВПетербург, 2002. - 454 с.: ил.; 24 см. - (Учебное пособие).
4. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. –
М.: ООО «Бином-Пресс», 2006. -656 с.
5. Гадзиковский В. И. Теоретические основы цифровой обработки сигналов /
В. И. Гадзиковский. - М.: Радио и связь, 2004. - 344 с.
Цифровая обработка сигналов
71
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Презентации к лекционному курсу «Цифровая обработка
сигналов» является частью учебно-методического комплекса
«Теоретические основы радиотехники и связи»
Автор курса лекций:
Коберниченко Виктор Григорьевич, к.т.н., доцент, заведующий
кафедрой теоретических основ радиотехники УГТУ-УПИ
Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре ТОР РИРТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
Никакая часть данной презентации не может быть воспроизведена
в какой бы то ни было форме без письменного разрешения
автора
Цифровая обработка сигналов
72